Theorem ledi 29301

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ledi	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))

Proof of Theorem ledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4169	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵))
2		ineq1 4169	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶))
3	1, 2	oveq12d 7160	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)))
4		ineq1 4169	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
5	3, 4	sseq12d 3988	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
6		ineq2 4171	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)))
7	6	oveq1d 7157	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)))
8		oveq1 7149	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶))
9	8	ineq2d 4177	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)))
10	7, 9	sseq12d 3988	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶))))
11		ineq2 4171	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
12	11	oveq2d 7158	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))))
13		oveq2 7150	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
14	13	ineq2d 4177	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))))
15	12, 14	sseq12d 3988	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))))
16		h0elch 29016	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
17	16	elimel 4520	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
18	16	elimel 4520	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Cℋ
19	16	elimel 4520	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) ∈ Cℋ
20	17, 18, 19	ledii 29297	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
21	5, 10, 15, 20	dedth3h 4511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3923   ⊆ wss 3924  ifcif 4453  (class class class)co 7142   C_ℋ cch 28690   ∨_ℋ chj 28694  0_ℋc0h 28696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cc 9843  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601  ax-addf 10602  ax-mulf 10603  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-q 12336  df-rp 12377  df-xneg 12494  df-xadd 12495  df-xmul 12496  df-ioo 12729  df-ico 12731  df-icc 12732  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-rlim 14831  df-sum 15028  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-starv 16563  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-unif 16571  df-hom 16572  df-cco 16573  df-rest 16679  df-topn 16680  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-topgen 16700  df-pt 16701  df-prds 16704  df-xrs 16758  df-qtop 16763  df-imas 16764  df-xps 16766  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-submnd 17940  df-mulg 18208  df-cntz 18430  df-cmn 18891  df-psmet 20520  df-xmet 20521  df-met 20522  df-bl 20523  df-mopn 20524  df-fbas 20525  df-fg 20526  df-cnfld 20529  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537  df-cld 21610  df-ntr 21611  df-cls 21612  df-nei 21689  df-cn 21818  df-cnp 21819  df-lm 21820  df-haus 21906  df-tx 22153  df-hmeo 22346  df-fil 22437  df-fm 22529  df-flim 22530  df-flf 22531  df-xms 22913  df-ms 22914  df-tms 22915  df-cfil 23841  df-cau 23842  df-cmet 23843  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-shs 29069  df-chj 29071

This theorem is referenced by:  fh1  29379  fh2  29380