HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ledi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledi 29947
Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ledi ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))

Proof of Theorem ledi
StepHypRef Expression
1 ineq1 4145 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵))
2 ineq1 4145 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐶) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶))
31, 2oveq12d 7325 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)))
4 ineq1 4145 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (𝐵 𝐶)))
53, 4sseq12d 3959 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (𝐵 𝐶))))
6 ineq2 4146 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)))
76oveq1d 7322 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)))
8 oveq1 7314 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (𝐵 𝐶) = (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶))
98ineq2d 4152 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (𝐵 𝐶)) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶)))
107, 9sseq12d 3959 . 2 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐵) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (𝐵 𝐶)) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶))))
11 ineq2 4146 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶C , 𝐶, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐶C , 𝐶, 0)))
1211oveq2d 7323 . . 3 (𝐶 = if(𝐶C , 𝐶, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐶C , 𝐶, 0))))
13 oveq2 7315 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶C , 𝐶, 0) → (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶) = (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ if(𝐶C , 𝐶, 0)))
1413ineq2d 4152 . . 3 (𝐶 = if(𝐶C , 𝐶, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶)) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ if(𝐶C , 𝐶, 0))))
1512, 14sseq12d 3959 . 2 (𝐶 = if(𝐶C , 𝐶, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐶C , 𝐶, 0))) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ if(𝐶C , 𝐶, 0)))))
16 h0elch 29662 . . . 4 0C
1716elimel 4534 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
1816elimel 4534 . . 3 if(𝐵C , 𝐵, 0) ∈ C
1916elimel 4534 . . 3 if(𝐶C , 𝐶, 0) ∈ C
2017, 18, 19ledii 29943 . 2 ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)) ∨ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ if(𝐶C , 𝐶, 0))) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∩ (if(𝐵C , 𝐵, 0) ∨ if(𝐶C , 𝐶, 0)))
215, 10, 15, 20dedth3h 4525 1 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104  cin 3891  wss 3892  ifcif 4465  (class class class)co 7307   C cch 29336   chj 29340  0c0h 29342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cc 10237  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997  ax-hilex 29406  ax-hfvadd 29407  ax-hvcom 29408  ax-hvass 29409  ax-hv0cl 29410  ax-hvaddid 29411  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulid 29413  ax-hvmulass 29414  ax-hvdistr1 29415  ax-hvdistr2 29416  ax-hvmul0 29417  ax-hfi 29486  ax-his1 29489  ax-his2 29490  ax-his3 29491  ax-his4 29492  ax-hcompl 29609
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-acn 9744  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-lm 22425  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cfil 24464  df-cau 24465  df-cmet 24466  df-grpo 28900  df-gid 28901  df-ginv 28902  df-gdiv 28903  df-ablo 28952  df-vc 28966  df-nv 28999  df-va 29002  df-ba 29003  df-sm 29004  df-0v 29005  df-vs 29006  df-nmcv 29007  df-ims 29008  df-dip 29108  df-ssp 29129  df-ph 29220  df-cbn 29270  df-hnorm 29375  df-hba 29376  df-hvsub 29378  df-hlim 29379  df-hcau 29380  df-sh 29614  df-ch 29628  df-oc 29659  df-ch0 29660  df-shs 29715  df-chj 29717
This theorem is referenced by:  fh1  30025  fh2  30026
  Copyright terms: Public domain W3C validator