Theorem ledi 31832

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ledi	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))

Proof of Theorem ledi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4174	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵))
2		ineq1 4174	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶))
3	1, 2	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)))
4		ineq1 4174	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
5	3, 4	sseq12d 3978	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
6		ineq2 4175	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)))
7	6	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)))
8		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶))
9	8	ineq2d 4181	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)))
10	7, 9	sseq12d 3978	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐵) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶))))
11		ineq2 4175	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
12	11	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))))
13		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶) = (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
14	13	ineq2d 4181	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))))
15	12, 14	sseq12d 3978	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ 𝐶)) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ 𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))))
16		h0elch 31547	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
17	16	elimel 4562	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
18	16	elimel 4562	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∈ Cℋ
19	16	elimel 4562	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ) ∈ Cℋ
20	17, 18, 19	ledii 31828	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ)) ∨ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ))) ⊆ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∩ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, 0ℋ) ∨ℋ if(𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶, 0ℋ)))
21	5, 10, 15, 20	dedth3h 4553	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  (class class class)co 7411   C_ℋ cch 31221   ∨_ℋ chj 31225  0_ℋc0h 31227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31291  ax-hfvadd 31292  ax-hvcom 31293  ax-hvass 31294  ax-hv0cl 31295  ax-hvaddid 31296  ax-hfvmul 31297  ax-hvmulid 31298  ax-hvmulass 31299  ax-hvdistr1 31300  ax-hvdistr2 31301  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his2 31375  ax-his3 31376  ax-his4 31377  ax-hcompl 31494

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-lm 23354  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cfil 25382  df-cau 25383  df-cmet 25384  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-gdiv 30788  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-vs 30891  df-nmcv 30892  df-ims 30893  df-dip 30993  df-ssp 31014  df-ph 31105  df-cbn 31155  df-hnorm 31260  df-hba 31261  df-hvsub 31263  df-hlim 31264  df-hcau 31265  df-sh 31499  df-ch 31513  df-oc 31544  df-ch0 31545  df-shs 31600  df-chj 31602

This theorem is referenced by:  fh1  31910  fh2  31911