Theorem atss 30736

Description: A lattice element smaller than an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atss	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))

Proof of Theorem atss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat2 30730	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms ↔ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))
2		sseq1 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
4		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
5	3, 4	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))))
7	6	rspcv 3559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))))
8	7	adantld 490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐵 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))))
9	8	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))))
10	9	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
11	1, 10	sylan2b 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3889   C_ℋ cch 29319  0_ℋc0h 29325  HAtomscat 29355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979  ax-hilex 29389  ax-hfvadd 29390  ax-hvcom 29391  ax-hvass 29392  ax-hv0cl 29393  ax-hvaddid 29394  ax-hfvmul 29395  ax-hvmulid 29396  ax-hvmulass 29397  ax-hvdistr1 29398  ax-hvdistr2 29399  ax-hvmul0 29400  ax-hfi 29469  ax-his1 29472  ax-his2 29473  ax-his3 29474  ax-his4 29475

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-icc 13114  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-topgen 17182  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-top 22071  df-topon 22088  df-bases 22124  df-lm 22408  df-haus 22494  df-grpo 28883  df-gid 28884  df-ginv 28885  df-gdiv 28886  df-ablo 28935  df-vc 28949  df-nv 28982  df-va 28985  df-ba 28986  df-sm 28987  df-0v 28988  df-vs 28989  df-nmcv 28990  df-ims 28991  df-hnorm 29358  df-hvsub 29361  df-hlim 29362  df-sh 29597  df-ch 29611  df-ch0 29643  df-cv 30669  df-at 30728

This theorem is referenced by:  atsseq  30737