Theorem cdlemftr3 40603

Description: Special case of cdlemf 40601 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemftr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle3 40050	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
5		df-rex 3057	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
7		cdlemftr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemftr.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemftr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	7, 1, 2, 3, 8, 9	cdlemfnid 40602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
11	10	adantrrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ↔ 𝑢 = (𝑅‘𝑓))
13	12	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14	13	rexbii 3079	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15	11, 14	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))
17	15, 16	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
19	18	eximdv 1918	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
20	6, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
21		rexcom4 3259	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
22		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
23	22	exbii 1849	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
24		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑅‘𝑓) ∈ V
25		neeq1 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
26		neeq1 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
27		neeq1 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑍 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))
28	25, 26, 27	3anbi123d 1438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
29	28	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))))
30	24, 29	ceqsexv 3487	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
31	23, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
32	31	rexbii 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
33		r19.41v 3162	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
34	33	exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
35	21, 32, 34	3bitr3ri 302	. 2 ⊢ (∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
36	20, 35	sylib 218	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  lecple 17165  Atomscatm 39301  HLchlt 39388  LHypclh 40022  LTrncltrn 40139  trLctrl 40196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8203  df-map 8752  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197

This theorem is referenced by:  cdlemftr2  40604  cdlemk26-3  40944  cdlemk11t  40984