Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr3 38579
Description: Special case of cdlemf 38577 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2738 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle3 38026 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
5 df-rex 3070 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
64, 5sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 38578 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1110adantrrr 722 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 eqcom 2745 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑢 = (𝑅𝑓))
1312anbi1i 624 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1413rexbii 3181 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1511, 14sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16 simprrr 779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))
1715, 16jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
1817ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
1918eximdv 1920 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
21 rexcom4 3233 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
22 anass 469 . . . . . 6 (((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
2322exbii 1850 . . . . 5 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
24 fvex 6787 . . . . . 6 (𝑅𝑓) ∈ V
25 neeq1 3006 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑋 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
26 neeq1 3006 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑌 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
27 neeq1 3006 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑍 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1435 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍) ↔ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
2928anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3479 . . . . 5 (∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3123, 30bitri 274 . . . 4 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3231rexbii 3181 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
33 r19.41v 3276 . . . 4 (∃𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3433exbii 1850 . . 3 (∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 302 . 2 (∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3620, 35sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5074   I cid 5488  cres 5591  cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  38580  cdlemk26-3  38920  cdlemk11t  38960
  Copyright terms: Public domain W3C validator