Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
2 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(AtomsβπΎ) =
(AtomsβπΎ) |
3 | | cdlemftr.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | lhpexle3 38521 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ’ β (AtomsβπΎ)(π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
5 | | df-rex 3071 |
. . . 4
β’
(βπ’ β
(AtomsβπΎ)(π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ’(π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
6 | 4, 5 | sylib 217 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ’(π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
7 | | cdlemftr.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | cdlemftr.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemftr.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | 7, 1, 2, 3, 8, 9 | cdlemfnid 39073 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π’ β (AtomsβπΎ) β§ π’(leβπΎ)π)) β βπ β π ((π
βπ) = π’ β§ π β ( I βΎ π΅))) |
11 | 10 | adantrrr 724 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) β βπ β π ((π
βπ) = π’ β§ π β ( I βΎ π΅))) |
12 | | eqcom 2740 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
βπ) = π’ β π’ = (π
βπ)) |
13 | 12 | anbi1i 625 |
. . . . . . . 8
β’ (((π
βπ) = π’ β§ π β ( I βΎ π΅)) β (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅))) |
14 | 13 | rexbii 3094 |
. . . . . . 7
β’
(βπ β
π ((π
βπ) = π’ β§ π β ( I βΎ π΅)) β βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅))) |
15 | 11, 14 | sylib 217 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) β βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅))) |
16 | | simprrr 781 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) β (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) |
17 | 15, 16 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) β (βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
18 | 17 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β ((π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) β (βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
19 | 18 | eximdv 1921 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (βπ’(π’ β (AtomsβπΎ) β§ (π’(leβπΎ)π β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) β βπ’(βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
20 | 6, 19 | mpd 15 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ’(βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
21 | | rexcom4 3270 |
. . 3
β’
(βπ β
π βπ’((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ’βπ β π ((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
22 | | anass 470 |
. . . . . 6
β’ (((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β (π’ = (π
βπ) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
23 | 22 | exbii 1851 |
. . . . 5
β’
(βπ’((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ’(π’ = (π
βπ) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)))) |
24 | | fvex 6856 |
. . . . . 6
β’ (π
βπ) β V |
25 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . 8
β’ (π’ = (π
βπ) β (π’ β π β (π
βπ) β π)) |
26 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . 8
β’ (π’ = (π
βπ) β (π’ β π β (π
βπ) β π)) |
27 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . 8
β’ (π’ = (π
βπ) β (π’ β π β (π
βπ) β π)) |
28 | 25, 26, 27 | 3anbi123d 1437 |
. . . . . . 7
β’ (π’ = (π
βπ) β ((π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π) β ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |
29 | 28 | anbi2d 630 |
. . . . . 6
β’ (π’ = (π
βπ) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π)))) |
30 | 24, 29 | ceqsexv 3493 |
. . . . 5
β’
(βπ’(π’ = (π
βπ) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) β (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |
31 | 23, 30 | bitri 275 |
. . . 4
β’
(βπ’((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |
32 | 31 | rexbii 3094 |
. . 3
β’
(βπ β
π βπ’((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |
33 | | r19.41v 3182 |
. . . 4
β’
(βπ β
π ((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β (βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
34 | 33 | exbii 1851 |
. . 3
β’
(βπ’βπ β π ((π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ’(βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π))) |
35 | 21, 32, 34 | 3bitr3ri 302 |
. 2
β’
(βπ’(βπ β π (π’ = (π
βπ) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β π)) β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |
36 | 20, 35 | sylib 217 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ ((π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π β§ (π
βπ) β π))) |