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Theorem cdlemftr3 39074
Description: Special case of cdlemf 39072 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle3 38521 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
5 df-rex 3071 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
64, 5sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 39073 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1110adantrrr 724 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
12 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ↔ 𝑒 = (π‘…β€˜π‘“))
1312anbi1i 625 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1413rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1511, 14sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
16 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))
1715, 16jca 513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
1817ex 414 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
1918eximdv 1921 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
21 rexcom4 3270 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
22 anass 470 . . . . . 6 (((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
2322exbii 1851 . . . . 5 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
24 fvex 6856 . . . . . 6 (π‘…β€˜π‘“) ∈ V
25 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋))
26 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  π‘Œ ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ))
27 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑍 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍) ↔ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
2928anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3493 . . . . 5 (βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3123, 30bitri 275 . . . 4 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3231rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
33 r19.41v 3182 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3433exbii 1851 . . 3 (βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 302 . 2 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3620, 35sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  39075  cdlemk26-3  39415  cdlemk11t  39455
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