Theorem cdlemftr3 41590

Description: Special case of cdlemf 41588 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemftr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle3 41037	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
5		df-rex 3088	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
7		cdlemftr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemftr.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemftr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	7, 1, 2, 3, 8, 9	cdlemfnid 41589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
11	10	adantrrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ↔ 𝑢 = (𝑅‘𝑓))
13	12	anbi1i 636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14	13	rexbii 3110	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15	11, 14	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))
17	15, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
18	17	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
19	18	eximdv 1950	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
20	6, 19	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
21		rexcom4 3290	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
22		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
23	22	exbii 1881	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
24		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑅‘𝑓) ∈ V
25		neeq1 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
26		neeq1 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
27		neeq1 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑍 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))
28	25, 26, 27	3anbi123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
29	28	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))))
30	24, 29	ceqsexv 3499	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
31	23, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
32	31	rexbii 3110	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
33		r19.41v 3193	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
34	33	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
35	21, 32, 34	3bitr3ri 305	. 2 ⊢ (∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
36	20, 35	sylib 221	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  Atomscatm 40288  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  trLctrl 41183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-undef 8274  df-map 8833  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184

This theorem is used by:  cdlemftr2  41591  cdlemk26-3  41931  cdlemk11t  41971