Theorem cdlemftr3 41317

Description: Special case of cdlemf 41315 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemftr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle3 40764	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
5		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
7		cdlemftr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemftr.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemftr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	7, 1, 2, 3, 8, 9	cdlemfnid 41316	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
11	10	adantrrr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ↔ 𝑢 = (𝑅‘𝑓))
13	12	anbi1i 635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14	13	rexbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15	11, 14	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))
17	15, 16	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
19	18	eximdv 1947	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
20	6, 19	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
21		rexcom4 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
22		anass 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
23	22	exbii 1878	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
24		fvex 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑅‘𝑓) ∈ V
25		neeq1 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
26		neeq1 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
27		neeq1 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑍 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))
28	25, 26, 27	3anbi123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
29	28	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))))
30	24, 29	ceqsexv 3503	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
31	23, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
32	31	rexbii 3112	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
33		r19.41v 3195	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
34	33	exbii 1878	. . 3 ⊢ (∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
35	21, 32, 34	3bitr3ri 305	. 2 ⊢ (∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
36	20, 35	sylib 221	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  lecple 17318  Atomscatm 40015  HLchlt 40102  LHypclh 40736  LTrncltrn 40853  trLctrl 40910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-riotaBAD 39705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8270  df-map 8827  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911

This theorem is referenced by:  cdlemftr2  41318  cdlemk26-3  41658  cdlemk11t  41698