Theorem cdlemftr3 39424

Description: Special case of cdlemf 39422 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemftr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle3 38871	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
5		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
7		cdlemftr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemftr.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemftr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	7, 1, 2, 3, 8, 9	cdlemfnid 39423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
11	10	adantrrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		eqcom 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ↔ 𝑢 = (𝑅‘𝑓))
13	12	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14	13	rexbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15	11, 14	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))
17	15, 16	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
18	17	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
19	18	eximdv 1920	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
20	6, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
21		rexcom4 3285	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
22		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
23	22	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
24		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑅‘𝑓) ∈ V
25		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
26		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
27		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑍 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))
28	25, 26, 27	3anbi123d 1436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
29	28	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))))
30	24, 29	ceqsexv 3525	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
31	23, 30	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
32	31	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
33		r19.41v 3188	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
34	33	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
35	21, 32, 34	3bitr3ri 301	. 2 ⊢ (∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
36	20, 35	sylib 217	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018

This theorem is referenced by:  cdlemftr2  39425  cdlemk26-3  39765  cdlemk11t  39805