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Theorem cdlemftr3 39949
Description: Special case of cdlemf 39947 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle3 39396 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
5 df-rex 3065 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
64, 5sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 39948 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1110adantrrr 722 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
12 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ↔ 𝑒 = (π‘…β€˜π‘“))
1312anbi1i 623 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1413rexbii 3088 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1511, 14sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
16 simprrr 779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))
1715, 16jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
1817ex 412 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
1918eximdv 1912 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
21 rexcom4 3279 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
22 anass 468 . . . . . 6 (((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
2322exbii 1842 . . . . 5 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
24 fvex 6898 . . . . . 6 (π‘…β€˜π‘“) ∈ V
25 neeq1 2997 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋))
26 neeq1 2997 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  π‘Œ ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ))
27 neeq1 2997 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑍 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1432 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍) ↔ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
2928anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3520 . . . . 5 (βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3123, 30bitri 275 . . . 4 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3231rexbii 3088 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
33 r19.41v 3182 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3433exbii 1842 . . 3 (βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 302 . 2 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3620, 35sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   I cid 5566   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  39950  cdlemk26-3  40290  cdlemk11t  40330
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