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Theorem cdlemftr3 40094
Description: Special case of cdlemf 40092 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2725 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexle3 39541 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
5 df-rex 3061 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
64, 5sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 40093 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1110adantrrr 723 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
12 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ↔ 𝑒 = (π‘…β€˜π‘“))
1312anbi1i 622 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1413rexbii 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((π‘…β€˜π‘“) = 𝑒 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
1511, 14sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
16 simprrr 780 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))
1715, 16jca 510 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
1817ex 411 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
1918eximdv 1912 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑒(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
21 rexcom4 3276 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
22 anass 467 . . . . . 6 (((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
2322exbii 1842 . . . . 5 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))))
24 fvex 6905 . . . . . 6 (π‘…β€˜π‘“) ∈ V
25 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑋 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋))
26 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  π‘Œ ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ))
27 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ (𝑒 β‰  𝑍 ↔ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1432 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍) ↔ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
2928anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) β†’ ((𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3515 . . . . 5 (βˆƒπ‘’(𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍))) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3123, 30bitri 274 . . . 4 (βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3231rexbii 3084 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘’((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
33 r19.41v 3179 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3433exbii 1842 . . 3 (βˆƒπ‘’βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 ((𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 301 . 2 (βˆƒπ‘’(βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑒 = (π‘…β€˜π‘“) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑒 β‰  𝑋 ∧ 𝑒 β‰  π‘Œ ∧ 𝑒 β‰  𝑍)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
3620, 35sylib 217 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ ((π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑋 ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  π‘Œ ∧ (π‘…β€˜π‘“) β‰  𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  40095  cdlemk26-3  40435  cdlemk11t  40475
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