Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr3 36639
Description: Special case of cdlemf 36637 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2825 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle3 36086 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
5 df-rex 3123 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
64, 5sylib 210 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 36638 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1110adantrrr 716 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 eqcom 2832 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑢 = (𝑅𝑓))
1312anbi1i 617 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1413rexbii 3251 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1511, 14sylib 210 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16 simprrr 800 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))
1715, 16jca 507 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
1817ex 403 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
1918eximdv 2016 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
21 rexcom4 3442 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
22 anass 462 . . . . . 6 (((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
2322exbii 1947 . . . . 5 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
24 fvex 6450 . . . . . 6 (𝑅𝑓) ∈ V
25 neeq1 3061 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑋 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
26 neeq1 3061 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑌 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
27 neeq1 3061 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑍 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1564 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍) ↔ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
2928anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3459 . . . . 5 (∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3123, 30bitri 267 . . . 4 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3231rexbii 3251 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
33 r19.41v 3299 . . . 4 (∃𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3433exbii 1947 . . 3 (∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 294 . 2 (∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3620, 35sylib 210 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4875   I cid 5251  cres 5348  cfv 6127  Basecbs 16229  lecple 16319  Atomscatm 35337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  LTrncltrn 36175  trLctrl 36232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-map 8129  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  36640  cdlemk26-3  36980  cdlemk11t  37020
  Copyright terms: Public domain W3C validator