Theorem cdlemftr3 38579

Description: Special case of cdlemf 38577 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemftr3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemftr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexle3 38026	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
5		df-rex 3070	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
7		cdlemftr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemftr.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemftr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	7, 1, 2, 3, 8, 9	cdlemfnid 38578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
11	10	adantrrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		eqcom 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ↔ 𝑢 = (𝑅‘𝑓))
13	12	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14	13	rexbii 3181	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑅‘𝑓) = 𝑢 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
15	11, 14	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simprrr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))
17	15, 16	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
18	17	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
19	18	eximdv 1920	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
20	6, 19	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
21		rexcom4 3233	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
22		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
23	22	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))))
24		fvex 6787	. . . . . 6 ⊢ (𝑅‘𝑓) ∈ V
25		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑋 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋))
26		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑌 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌))
27		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → (𝑢 ≠ 𝑍 ↔ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))
28	25, 26, 27	3anbi123d 1435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍) ↔ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
29	28	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑅‘𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍))))
30	24, 29	ceqsexv 3479	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
31	23, 30	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
32	31	rexbii 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ∃𝑢((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
33		r19.41v 3276	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
34	33	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑢∃𝑓 ∈ 𝑇 ((𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)))
35	21, 32, 34	3bitr3ri 302	. 2 ⊢ (∃𝑢(∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑢 = (𝑅‘𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ≠ 𝑋 ∧ 𝑢 ≠ 𝑌 ∧ 𝑢 ≠ 𝑍)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))
36	20, 35	sylib 217	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅‘𝑓) ≠ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  cdlemftr2  38580  cdlemk26-3  38920  cdlemk11t  38960