Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr3 35829
Description: Specialization of lhpmcvr2 35828. TODO: Use this to simplify many uses of (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 to become 𝑃 𝑋. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))

Proof of Theorem lhpmcvr3
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1278 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3l 1286 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
3 simpl2l 1282 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
4 simpl1r 1280 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐻)
5 lhpmcvr2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lhpmcvr2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 35802 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐵)
9 simpr 471 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
10 lhpmcvr2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 lhpmcvr2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
13 lhpmcvr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
145, 10, 11, 12, 13atmod3i1 35668 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
151, 2, 3, 8, 9, 14syl131anc 1489 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
16 simpl1 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpl3 1231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
18 eqid 2771 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1910, 11, 18, 13, 6lhpjat2 35825 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2016, 17, 19syl2anc 565 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2120oveq2d 6808 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (𝑃 𝑊)) = (𝑋 (1.‘𝐾)))
22 hlol 35166 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
231, 22syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
245, 12, 18olm11 35032 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2523, 3, 24syl2anc 565 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2615, 21, 253eqtrd 2809 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
27 simpl1l 1278 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
28 hllat 35168 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2927, 28syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
30 simpl3l 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐴)
315, 13atbase 35094 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3230, 31syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐵)
33 simpl2l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑋𝐵)
34 simpl1r 1280 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐻)
3534, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐵)
365, 12latmcl 17259 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3729, 33, 35, 36syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
385, 10, 11latlej1 17267 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
3929, 32, 37, 38syl3anc 1476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
40 simpr 471 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
4139, 40breqtrd 4812 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 𝑋)
4226, 41impbida 794 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  1.cp1 17245  Latclat 17252  OLcol 34979  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  LHypclh 35788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-psubsp 35307  df-pmap 35308  df-padd 35600  df-lhyp 35792
This theorem is referenced by:  dihvalcq2  37053
  Copyright terms: Public domain W3C validator