Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr3 38344
Description: Specialization of lhpmcvr2 38343. TODO: Use this to simplify many uses of (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 to become 𝑃 𝑋. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))

Proof of Theorem lhpmcvr3
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3l 1228 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
3 simpl2l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
4 simpl1r 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐻)
5 lhpmcvr2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lhpmcvr2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 38317 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐵)
9 simpr 486 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
10 lhpmcvr2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 lhpmcvr2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
13 lhpmcvr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
145, 10, 11, 12, 13atmod3i1 38183 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
151, 2, 3, 8, 9, 14syl131anc 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
16 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
18 eqid 2737 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1910, 11, 18, 13, 6lhpjat2 38340 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2016, 17, 19syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2120oveq2d 7357 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (𝑃 𝑊)) = (𝑋 (1.‘𝐾)))
22 hlol 37679 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
231, 22syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
245, 12, 18olm11 37545 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2523, 3, 24syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2615, 21, 253eqtrd 2781 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
27 simpl1l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2827hllatd 37682 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simpl3l 1228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐴)
305, 13atbase 37607 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐵)
32 simpl2l 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑋𝐵)
33 simpl1r 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐻)
3433, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐵)
355, 12latmcl 18255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3628, 32, 34, 35syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
375, 10, 11latlej1 18263 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
3828, 31, 36, 37syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
39 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
4038, 39breqtrd 5122 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 𝑋)
4126, 40impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5096  cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  meetcmee 18127  1.cp1 18239  Latclat 18246  OLcol 37492  Atomscatm 37581  HLchlt 37668  LHypclh 38303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-psubsp 37822  df-pmap 37823  df-padd 38115  df-lhyp 38307
This theorem is referenced by:  dihvalcq2  39566
  Copyright terms: Public domain W3C validator