Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr3 38488
Description: Specialization of lhpmcvr2 38487. TODO: Use this to simplify many uses of (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 to become 𝑃 𝑋. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))

Proof of Theorem lhpmcvr3
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3l 1228 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
3 simpl2l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
4 simpl1r 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐻)
5 lhpmcvr2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lhpmcvr2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 38461 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑊𝐵)
9 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
10 lhpmcvr2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 lhpmcvr2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
13 lhpmcvr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
145, 10, 11, 12, 13atmod3i1 38327 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
151, 2, 3, 8, 9, 14syl131anc 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = (𝑋 (𝑃 𝑊)))
16 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
18 eqid 2736 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1910, 11, 18, 13, 6lhpjat2 38484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2016, 17, 19syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2120oveq2d 7373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (𝑃 𝑊)) = (𝑋 (1.‘𝐾)))
22 hlol 37823 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
231, 22syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
245, 12, 18olm11 37689 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2523, 3, 24syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (1.‘𝐾)) = 𝑋)
2615, 21, 253eqtrd 2780 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
27 simpl1l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2827hllatd 37826 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simpl3l 1228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐴)
305, 13atbase 37751 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃𝐵)
32 simpl2l 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑋𝐵)
33 simpl1r 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐻)
3433, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑊𝐵)
355, 12latmcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3628, 32, 34, 35syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
375, 10, 11latlej1 18337 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
3828, 31, 36, 37syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 (𝑃 (𝑋 𝑊)))
39 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
4038, 39breqtrd 5131 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑃 𝑋)
4126, 40impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑋 ↔ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  1.cp1 18313  Latclat 18320  OLcol 37636  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451
This theorem is referenced by:  dihvalcq2  39710
  Copyright terms: Public domain W3C validator