Theorem lhpmcvr2 40612

Description: Alternate way to express that the meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmcvr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmcvr2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem lhpmcvr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpmcvr2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lhpmcvr2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpmcvr2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5		lhpmcvr2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	lhpmcvr 40611	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
7		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
8		simprl 780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 5	lhpbase 40586	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10	9	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11		lhpmcvr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		lhpmcvr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 2, 11, 3, 4, 12	cvrval5 40003	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)))
14	7, 8, 10, 13	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝑋 ∧ 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)))
15	6, 14	mpbid 234	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  lecple 17276  joincjn 18326  meetcmee 18327   ⋖ ccvr 39850  Atomscatm 39851  HLchlt 39938  LHypclh 40572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-lhyp 40576

This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  40615  cdleme29ex  40962  cdleme29c  40964  cdlemefrs29cpre1  40986  cdlemefr29exN  40990  cdleme32d  41032  cdleme32f  41034  cdleme48gfv1  41124  cdlemg7fvbwN  41195  cdlemg7aN  41213  dihlsscpre  41822  dihvalcqpre  41823  dihord6apre  41844  dihord4  41846  dihord5b  41847  dihord5apre  41850  dihmeetlem1N  41878  dihglblem5apreN  41879  dihglbcpreN  41888