Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr2 37269
Description: Alternate way to express that the meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem lhpmcvr2
StepHypRef Expression
1 lhpmcvr2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lhpmcvr2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 lhpmcvr2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 eqid 2824 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lhpmcvr2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmcvr 37268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
7 simpll 766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
8 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
91, 5lhpbase 37243 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
109ad2antlr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
11 lhpmcvr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 2, 11, 3, 4, 12cvrval5 36660 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
147, 8, 10, 13syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
156, 14mpbid 235 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  ccvr 36507  Atomscatm 36508  HLchlt 36595  LHypclh 37229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36421  df-ol 36423  df-oml 36424  df-covers 36511  df-ats 36512  df-atl 36543  df-cvlat 36567  df-hlat 36596  df-lhyp 37233
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  37272  cdleme29ex  37619  cdleme29c  37621  cdlemefrs29cpre1  37643  cdlemefr29exN  37647  cdleme32d  37689  cdleme32f  37691  cdleme48gfv1  37781  cdlemg7fvbwN  37852  cdlemg7aN  37870  dihlsscpre  38479  dihvalcqpre  38480  dihord6apre  38501  dihord4  38503  dihord5b  38504  dihord5apre  38507  dihmeetlem1N  38535  dihglblem5apreN  38536  dihglbcpreN  38545
  Copyright terms: Public domain W3C validator