Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr2 38478
Description: Alternate way to express that the meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem lhpmcvr2
StepHypRef Expression
1 lhpmcvr2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lhpmcvr2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 lhpmcvr2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 eqid 2736 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lhpmcvr2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmcvr 38477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
7 simpll 765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
8 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
91, 5lhpbase 38452 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
109ad2antlr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
11 lhpmcvr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 2, 11, 3, 4, 12cvrval5 37869 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
147, 8, 10, 13syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
156, 14mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  lecple 17139  joincjn 18199  meetcmee 18200  ccvr 37715  Atomscatm 37716  HLchlt 37803  LHypclh 38438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-lhyp 38442
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  38481  cdleme29ex  38828  cdleme29c  38830  cdlemefrs29cpre1  38852  cdlemefr29exN  38856  cdleme32d  38898  cdleme32f  38900  cdleme48gfv1  38990  cdlemg7fvbwN  39061  cdlemg7aN  39079  dihlsscpre  39688  dihvalcqpre  39689  dihord6apre  39710  dihord4  39712  dihord5b  39713  dihord5apre  39716  dihmeetlem1N  39744  dihglblem5apreN  39745  dihglbcpreN  39754
  Copyright terms: Public domain W3C validator