Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr5N 36181
Description: Specialization of lhpmcvr2 36178. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑊,𝑝   𝐻,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem lhpmcvr5N
StepHypRef Expression
1 lhpmcvr2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lhpmcvr2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lhpmcvr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 lhpmcvr2.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
5 lhpmcvr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 lhpmcvr2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
71, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 36178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
873adant3 1123 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
9 simp3l 1215 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ¬ 𝑝 𝑊)
10 simp11 1217 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp12 1218 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
12 simp2 1128 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑝𝐴)
1312, 9jca 507 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
14 simp13l 1344 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑌𝐵)
15 simp13r 1345 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
16 simp11l 1340 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
1716hllatd 35518 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
181, 5atbase 35443 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
19183ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑝𝐵)
20 simp12l 1342 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simp11r 1341 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑊𝐻)
221, 6lhpbase 36152 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑊𝐵)
241, 4latmcl 17438 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
2517, 20, 23, 24syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
261, 2, 3latlej1 17446 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑝 (𝑝 (𝑋 𝑊)))
2717, 19, 25, 26syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑝 (𝑝 (𝑋 𝑊)))
28 simp3r 1216 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
2927, 28breqtrd 4912 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝑝 𝑋)
301, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr4N 36180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑝 𝑋)) → ¬ 𝑝 𝑌)
3110, 11, 13, 14, 15, 29, 30syl123anc 1455 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ¬ 𝑝 𝑌)
329, 31, 283jca 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
33323expia 1111 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
3433reximdva 3198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
358, 34mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  Atomscatm 35417  HLchlt 35504  LHypclh 36138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-lhyp 36142
This theorem is referenced by:  lhpmcvr6N  36182
  Copyright terms: Public domain W3C validator