Theorem climeldmeqmpt2 46523

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeqmpt2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climeldmeqmpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeqmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
climeldmeqmpt2.t	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
climeldmeqmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeldmeqmpt2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climeldmeqmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climeldmeqmpt2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeqmpt2.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climeldmeqmpt2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climeldmeqmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
6	5	mptexd 7223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
7		climeldmeqmpt2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	7	mptexd 7223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
9		climeldmeqmpt2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		climeldmeqmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12		climeldmeqmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		fvmpt4 46067	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15		climeldmeqmpt2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐵)
17		fvmpt4 46067	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
18	16, 12, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
19	14, 18	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19	climeldmeqf 46511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887   ⇝ cli 15571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575

This theorem is used by: (None)