Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt2 45006
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt2.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt2.a (𝜑𝐴𝑊)
climeldmeqmpt2.t (𝜑𝐵𝑉)
climeldmeqmpt2.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt2.l (𝜑𝑍𝐵)
climeldmeqmpt2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt2
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt2.k . 2 𝑘𝜑
2 nfmpt1 5250 . 2 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
3 nfmpt1 5250 . 2 𝑘(𝑘𝐵𝐶)
4 climeldmeqmpt2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 climeldmeqmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
65mptexd 7230 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) ∈ V)
7 climeldmeqmpt2.t . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
87mptexd 7230 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) ∈ V)
9 climeldmeqmpt2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeqmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
1110sselda 3978 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
12 climeldmeqmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
13 fvmpt4 44536 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑈) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1411, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15 climeldmeqmpt2.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
1615sselda 3978 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐵)
17 fvmpt4 44536 . . . 4 ((𝑘𝐵𝐶𝑈) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1816, 12, 17syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1914, 18eqtr4d 2770 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
201, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19climeldmeqf 44994 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944  cmpt 5225  dom cdm 5672  cfv 6542  cz 12580  cuz 12844  cli 15452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator