Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt2 41960
 Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt2.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt2.a (𝜑𝐴𝑊)
climeldmeqmpt2.t (𝜑𝐵𝑉)
climeldmeqmpt2.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt2.l (𝜑𝑍𝐵)
climeldmeqmpt2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt2
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt2.k . 2 𝑘𝜑
2 nfmpt1 5155 . 2 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
3 nfmpt1 5155 . 2 𝑘(𝑘𝐵𝐶)
4 climeldmeqmpt2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 climeldmeqmpt2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
65mptexd 6979 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶) ∈ V)
7 climeldmeqmpt2.t . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
87mptexd 6979 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) ∈ V)
9 climeldmeqmpt2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 climeldmeqmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
1110sselda 3965 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
12 climeldmeqmpt2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶𝑈)
13 fvmpt4 41492 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐶𝑈) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1411, 12, 13syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15 climeldmeqmpt2.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
1615sselda 3965 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐵)
17 fvmpt4 41492 . . . 4 ((𝑘𝐵𝐶𝑈) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1816, 12, 17syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
1914, 18eqtr4d 2857 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
201, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19climeldmeqf 41948 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐵𝐶) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2107  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ‘cfv 6348  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   ⇝ cli 14833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator