Theorem climeldmeqmpt2 43099

Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeldmeqmpt2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climeldmeqmpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeldmeqmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
climeldmeqmpt2.t	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
climeldmeqmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeldmeqmpt2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climeldmeqmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climeldmeqmpt2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑈(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeldmeqmpt2.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfmpt1 5177	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5177	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climeldmeqmpt2.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climeldmeqmpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
6	5	mptexd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
7		climeldmeqmpt2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	7	mptexd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
9		climeldmeqmpt2.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		climeldmeqmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	sselda 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12		climeldmeqmpt2.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		fvmpt4 42644	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
14	11, 12, 13	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
15		climeldmeqmpt2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
16	15	sselda 3918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝐵)
17		fvmpt4 42644	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
18	16, 12, 17	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
19	14, 18	eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19	climeldmeqf 43087	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2112  Vcvv 3423   ⊆ wss 3884   ↦ cmpt 5152  dom cdm 5579  ‘cfv 6415  ℤcz 12224  ℤ_≥cuz 12486   ⇝ cli 15096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-pre-sup 10855

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-sup 9106  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-div 11538  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-rp 12635  df-seq 13625  df-exp 13686  df-cj 14713  df-re 14714  df-im 14715  df-sqrt 14849  df-abs 14850  df-clim 15100

This theorem is referenced by: (None)