Theorem lvolnleat 40608

Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvolnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		lvolnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		lvolnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lvolnleat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	lvolnle3at 40607	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
8	1, 2, 2, 2, 7	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
9	4, 5	hlatjidm 40394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
10	9	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
11	10	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
12	11, 10	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
13	12	breq2d 5115	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 ≤ 𝑃))
14	8, 13	mtbid 327	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  lecple 17415  joincjn 18465  Atomscatm 40288  HLchlt 40375  LVolsclvol 40518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525

This theorem is used by:  lvolneatN  40613  lvoln0N  40616  lplncvrlvol  40641