Theorem lvolnleat 40464

Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvolnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		lvolnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		lvolnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lvolnleat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	lvolnle3at 40463	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
8	1, 2, 2, 2, 7	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
9	4, 5	hlatjidm 40250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
10	9	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
11	10	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
12	11, 10	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
13	12	breq2d 5119	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 ≤ 𝑃))
14	8, 13	mtbid 327	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  lecple 17355  joincjn 18405  Atomscatm 40144  HLchlt 40231  LVolsclvol 40374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380  df-lvols 40381

This theorem is used by:  lvolneatN  40469  lvoln0N  40472  lplncvrlvol  40497