Theorem lvolnleat 39562

Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvolnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		lvolnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		lvolnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lvolnleat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	lvolnle3at 39561	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
8	1, 2, 2, 2, 7	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
9	4, 5	hlatjidm 39347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
10	9	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
11	10	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
12	11, 10	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
13	12	breq2d 5107	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 ≤ 𝑃))
14	8, 13	mtbid 324	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  lecple 17186  joincjn 18235  Atomscatm 39241  HLchlt 39328  LVolsclvol 39472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479

This theorem is referenced by:  lvolneatN  39567  lvoln0N  39570  lplncvrlvol  39595