Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolnleat 36605
Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnleat.l = (le‘𝐾)
lvolnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat
StepHypRef Expression
1 3simpa 1142 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉))
2 simp3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
3 lvolnleat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 eqid 2826 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 lvolnleat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 lvolnleat.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
73, 4, 5, 6lvolnle3at 36604 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑃𝐴𝑃𝐴)) → ¬ 𝑋 ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
81, 2, 2, 2, 7syl13anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
94, 5hlatjidm 36391 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
1093adant2 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
1110oveq1d 7165 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
1211, 10eqtrd 2861 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
1312breq2d 5075 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → (𝑋 ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 𝑃))
148, 13mtbid 325 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑃𝐴) → ¬ 𝑋 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  lecple 16567  joincjn 17549  Atomscatm 36285  HLchlt 36372  LVolsclvol 36515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522
This theorem is referenced by:  lvolneatN  36610  lvoln0N  36613  lplncvrlvol  36638
  Copyright terms: Public domain W3C validator