Theorem lvolnleat 38917

Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvolnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1147	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
2		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		lvolnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		lvolnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lvolnleat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	lvolnle3at 38916	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
8	1, 2, 2, 2, 7	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
9	4, 5	hlatjidm 38702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
10	9	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
11	10	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
12	11, 10	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
13	12	breq2d 5160	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 ≤ 𝑃))
14	8, 13	mtbid 324	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17211  joincjn 18274  Atomscatm 38596  HLchlt 38683  LVolsclvol 38827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38509  df-ol 38511  df-oml 38512  df-covers 38599  df-ats 38600  df-atl 38631  df-cvlat 38655  df-hlat 38684  df-llines 38832  df-lplanes 38833  df-lvols 38834

This theorem is referenced by:  lvolneatN  38922  lvoln0N  38925  lplncvrlvol  38950