Theorem lvolnleat 40029

Description: An atom cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvolnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolnleat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Proof of Theorem lvolnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
2		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		lvolnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		lvolnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		lvolnleat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	lvolnle3at 40028	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
8	1, 2, 2, 2, 7	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
9	4, 5	hlatjidm 39815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
10	9	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
11	10	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)𝑃))
12	11, 10	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = 𝑃)
13	12	breq2d 5097	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ ((𝑃(join‘𝐾)𝑃)(join‘𝐾)𝑃) ↔ 𝑋 ≤ 𝑃))
14	8, 13	mtbid 324	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  lecple 17227  joincjn 18277  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  LVolsclvol 39939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946

This theorem is referenced by:  lvolneatN  40034  lvoln0N  40037  lplncvrlvol  40062