MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsumid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madetsumid 20482
Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
madetsumid ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid
StepHypRef Expression
1 fveq2 6411 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌𝑆)‘𝑃) = ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2 fveq1 6410 . . . . . . 7 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
32oveq1d 6892 . . . . . 6 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
43mpteq2dv 4946 . . . . 5 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
54oveq2d 6893 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
61, 5oveq12d 6895 . . 3 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
763ad2ant3 1158 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8 madetsumid.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 madetsumid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
108, 9matrcl 20432 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1110simpld 484 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
12 madetsumid.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13 madetsumid.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1412, 13coeq12i 5494 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16 eqid 2813 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1716symgid 18025 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1817adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1915, 18fveq12d 6418 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20 crngring 18763 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21 zrhpsgnmhm 20140 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 madetsumid.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2322oveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
2421, 23syl6eleqr 2903 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
2520, 24sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26 eqid 2813 . . . . . . . . 9 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27 eqid 2813 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2822, 27ringidval 18708 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
2926, 28mhm0 17551 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3119, 30eqtrd 2847 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r𝑅))
32 fvresi 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3332adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3433oveq1d 6892 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
3534mpteq2dva 4945 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
3635oveq2d 6893 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
3731, 36oveq12d 6895 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3811, 37sylan2 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3920adantr 468 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
408, 9, 22matgsumcl 20481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2813 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42 madetsumid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4341, 42, 27ringlidm 18776 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4439, 40, 43syl2anc 575 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4538, 44eqtrd 2847 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46453adant3 1155 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
477, 46eqtrd 2847 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3398  cmpt 4930   I cid 5225  cres 5320  ccom 5322  cfv 6104  (class class class)co 6877  Fincfn 8195  Basecbs 16071  .rcmulr 16157  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309   MndHom cmhm 17541  SymGrpcsymg 18001  pmSgncpsgn 18113  mulGrpcmgp 18694  1rcur 18706  Ringcrg 18752  CRingccrg 18753  ℤRHomczrh 20059   Mat cmat 20427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-ot 4386  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-xnn0 11633  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-rp 12050  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-word 13513  df-lsw 13514  df-concat 13515  df-s1 13516  df-substr 13517  df-splice 13518  df-reverse 13519  df-s2 13820  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17796  df-ghm 17863  df-gim 17906  df-cntz 17954  df-oppg 17980  df-symg 18002  df-pmtr 18066  df-psgn 18115  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-cring 18755  df-oppr 18828  df-dvdsr 18846  df-unit 18847  df-invr 18877  df-dvr 18888  df-rnghom 18922  df-drng 18956  df-subrg 18985  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-cnfld 19958  df-zring 20030  df-zrh 20063  df-dsmm 20290  df-frlm 20305  df-mat 20428
This theorem is referenced by:  mdetdiag  20620
  Copyright terms: Public domain W3C validator