Theorem madetsumid 22379

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃‘𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
3	2	oveq1d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
4	3	mpteq2dv 5245	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
5	4	oveq2d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
6	1, 5	oveq12d 7433	. . 3 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
7	6	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10	8, 9	matrcl 22328	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 493	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
14	12, 13	coeq12i 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
17	16	symgid 19358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
18	17	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
19	15, 18	fveq12d 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20		crngring 20187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21		zrhpsgnmhm 21518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	oveq2i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
25	20, 24	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	22, 27	ringidval 20125	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
29	26, 28	mhm0 18748	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r‘𝑅))
32		fvresi 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
34	33	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
35	34	mpteq2dva 5243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
36	35	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
37	31, 36	oveq12d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
38	11, 37	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
39	8, 9, 22	matgsumcl 22378	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41		madetsumid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	40, 41, 27	ringlidm 20207	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
43	20, 39, 42	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
44	38, 43	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45	44	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46	7, 45	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  0_gc0g 17418   Σ_g cgsu 17419   MndHom cmhm 18735  SymGrpcsymg 19323  pmSgncpsgn 19446  mulGrpcmgp 20076  1_rcur 20123  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  ℤRHomczrh 21427   Mat cmat 22323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-efmnd 18823  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-symg 19324  df-pmtr 19399  df-psgn 19448  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mat 22324

This theorem is referenced by:  mdetdiag  22517