Theorem madetsumid 22686

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2		fveq1 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃‘𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
3	2	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
4	3	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
5	4	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
6	1, 5	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
7	6	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10	8, 9	matrcl 22637	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
14	12, 13	coeq12i 5843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
17	16	symgid 19531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
18	17	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
19	15, 18	fveq12d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20		crngring 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21		zrhpsgnmhm 21800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	oveq2i 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
25	20, 24	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	22, 27	ringidval 20325	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
29	26, 28	mhm0 18905	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
30	25, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r‘𝑅))
32		fvresi 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
34	33	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
35	34	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
36	35	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
37	31, 36	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
38	11, 37	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
39	8, 9, 22	matgsumcl 22685	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41		madetsumid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	40, 41, 27	ringlidm 20413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
43	20, 39, 42	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
44	38, 43	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45	44	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46	7, 45	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527   Σ_g cgsu 17528   MndHom cmhm 18892  SymGrpcsymg 19499  pmSgncpsgn 19619  mulGrpcmgp 20276  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376  ℤRHomczrh 21715   Mat cmat 22632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-splice 14822  df-reverse 14831  df-s2 14922  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-efmnd 18981  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-gim 19389  df-cntz 19447  df-oppg 19476  df-symg 19500  df-pmtr 19572  df-psgn 19621  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-mat 22633

This theorem is used by:  mdetdiag  22824