MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsumid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madetsumid 21075
Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
madetsumid ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌𝑆)‘𝑃) = ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
32oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
43mpteq2dv 5149 . . . . 5 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
54oveq2d 7167 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
61, 5oveq12d 7169 . . 3 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
763ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8 madetsumid.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 madetsumid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
108, 9matrcl 21026 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1110simpld 498 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
12 madetsumid.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13 madetsumid.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1412, 13coeq12i 5722 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1716symgid 18531 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1817adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1915, 18fveq12d 6670 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20 crngring 19311 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21 zrhpsgnmhm 20282 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 madetsumid.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2322oveq2i 7162 . . . . . . . . . 10 ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
2421, 23eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
2520, 24sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2822, 27ringidval 19255 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
2926, 28mhm0 17966 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3119, 30eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r𝑅))
32 fvresi 6928 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3332adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3433oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
3534mpteq2dva 5148 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
3635oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
3731, 36oveq12d 7169 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3811, 37sylan2 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
398, 9, 22matgsumcl 21074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41 madetsumid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4240, 41, 27ringlidm 19326 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4320, 39, 42syl2an2r 684 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4438, 43eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45443adant3 1129 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
467, 45eqtrd 2859 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cmpt 5133   I cid 5447  cres 5545  ccom 5547  cfv 6345  (class class class)co 7151  Fincfn 8507  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  0gc0g 16715   Σg cgsu 16716   MndHom cmhm 17956  SymGrpcsymg 18497  pmSgncpsgn 18619  mulGrpcmgp 19241  1rcur 19253  Ringcrg 19299  CRingccrg 19300  ℤRHomczrh 20202   Mat cmat 21021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-word 13869  df-lsw 13917  df-concat 13925  df-s1 13952  df-substr 14005  df-pfx 14035  df-splice 14114  df-reverse 14123  df-s2 14212  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-efmnd 18036  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-gim 18401  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-symg 18498  df-pmtr 18572  df-psgn 18621  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-dvr 19438  df-rnghom 19472  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-cnfld 20101  df-zring 20173  df-zrh 20206  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-mat 21022
This theorem is referenced by:  mdetdiag  21213
  Copyright terms: Public domain W3C validator