Theorem madetsumid 22791

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6896	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2		fveq1 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃‘𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
3	2	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
4	3	mpteq2dv 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
5	4	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
6	1, 5	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
7	6	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10	8, 9	matrcl 22742	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
14	12, 13	coeq12i 5846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
17	16	symgid 19630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
18	17	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
19	15, 18	fveq12d 6903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20		crngring 20487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21		zrhpsgnmhm 21905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	oveq2i 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
25	20, 24	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	22, 27	ringidval 20424	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
29	26, 28	mhm0 19004	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
30	25, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r‘𝑅))
32		fvresi 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
34	33	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
35	34	mpteq2dva 5201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
36	35	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
37	31, 36	oveq12d 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
38	11, 37	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
39	8, 9, 22	matgsumcl 22790	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41		madetsumid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	40, 41, 27	ringlidm 20513	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
43	20, 39, 42	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
44	38, 43	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45	44	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46	7, 45	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Fincfn 8987  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625   Σ_g cgsu 17626   MndHom cmhm 18991  SymGrpcsymg 19598  pmSgncpsgn 19718  mulGrpcmgp 20375  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  ℤRHomczrh 21820   Mat cmat 22737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721  df-concat 14729  df-s1 14756  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-splice 14913  df-reverse 14922  df-s2 15013  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-efmnd 19080  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-gim 19488  df-cntz 19546  df-oppg 19575  df-symg 19599  df-pmtr 19671  df-psgn 19720  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zrh 21824  df-dsmm 22053  df-frlm 22068  df-mat 22738

This theorem is used by:  mdetdiag  22929