Theorem madetsumid 22587

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2		fveq1 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃‘𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
3	2	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
4	3	mpteq2dv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
5	4	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
6	1, 5	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
7	6	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10	8, 9	matrcl 22538	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
14	12, 13	coeq12i 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
17	16	symgid 19471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
18	17	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
19	15, 18	fveq12d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20		crngring 20327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21		zrhpsgnmhm 21703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	oveq2i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	eleqtrrdi 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
25	20, 24	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	22, 27	ringidval 20265	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
29	26, 28	mhm0 18852	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
30	25, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r‘𝑅))
32		fvresi 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
34	33	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
35	34	mpteq2dva 5208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
36	35	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
37	31, 36	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
38	11, 37	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
39	8, 9, 22	matgsumcl 22586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41		madetsumid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	40, 41, 27	ringlidm 20352	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
43	20, 39, 42	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
44	38, 43	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45	44	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46	7, 45	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493   MndHom cmhm 18839  SymGrpcsymg 19439  pmSgncpsgn 19559  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  ℤRHomczrh 21618   Mat cmat 22533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14787  df-reverse 14796  df-s2 14885  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-efmnd 18928  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-symg 19440  df-pmtr 19512  df-psgn 19561  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-mat 22534

This theorem is referenced by:  mdetdiag  22725