Theorem madetsumid 22407

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃‘𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
3	2	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
4	3	mpteq2dv 5192	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
5	4	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
6	1, 5	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
7	6	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10	8, 9	matrcl 22358	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
11	10	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
14	12, 13	coeq12i 5812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
17	16	symgid 19332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
19	15, 18	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20		crngring 20182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21		zrhpsgnmhm 21541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
23	22	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
25	20, 24	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	22, 27	ringidval 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
29	26, 28	mhm0 18721	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r‘𝑅))
31	19, 30	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r‘𝑅))
32		fvresi 7119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
34	33	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
35	34	mpteq2dva 5191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
36	35	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
37	31, 36	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
38	11, 37	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
39	8, 9, 22	matgsumcl 22406	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41		madetsumid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
42	40, 41, 27	ringlidm 20206	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
43	20, 39, 42	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
44	38, 43	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45	44	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46	7, 45	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362   MndHom cmhm 18708  SymGrpcsymg 19300  pmSgncpsgn 19420  mulGrpcmgp 20077  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171  ℤRHomczrh 21456   Mat cmat 22353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14522  df-substr 14567  df-pfx 14597  df-splice 14675  df-reverse 14684  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18796  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-gim 19190  df-cntz 19248  df-oppg 19277  df-symg 19301  df-pmtr 19373  df-psgn 19422  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-mat 22354

This theorem is referenced by:  mdetdiag  22545