MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsumid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madetsumid 22362
Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
madetsumid ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid
StepHypRef Expression
1 fveq2 6897 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌𝑆)‘𝑃) = ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2 fveq1 6896 . . . . . . 7 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
32oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
43mpteq2dv 5250 . . . . 5 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
54oveq2d 7436 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
61, 5oveq12d 7438 . . 3 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
763ad2ant3 1133 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8 madetsumid.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 madetsumid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
108, 9matrcl 22311 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1110simpld 494 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
12 madetsumid.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13 madetsumid.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1412, 13coeq12i 5866 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1716symgid 19355 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1915, 18fveq12d 6904 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20 crngring 20184 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21 zrhpsgnmhm 21515 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 madetsumid.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2322oveq2i 7431 . . . . . . . . . 10 ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
2421, 23eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
2520, 24sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2822, 27ringidval 20122 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
2926, 28mhm0 18750 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3119, 30eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r𝑅))
32 fvresi 7182 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3433oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
3534mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
3635oveq2d 7436 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
3731, 36oveq12d 7438 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3811, 37sylan2 592 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
398, 9, 22matgsumcl 22361 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
40 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41 madetsumid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4240, 41, 27ringlidm 20204 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4320, 39, 42syl2an2r 684 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4438, 43eqtrd 2768 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
45443adant3 1130 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
467, 45eqtrd 2768 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  cmpt 5231   I cid 5575  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421   MndHom cmhm 18737  SymGrpcsymg 19320  pmSgncpsgn 19443  mulGrpcmgp 20073  1rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  ℤRHomczrh 21424   Mat cmat 22306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-efmnd 18820  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-gim 19212  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-symg 19321  df-pmtr 19396  df-psgn 19445  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-mat 22307
This theorem is referenced by:  mdetdiag  22500
  Copyright terms: Public domain W3C validator