MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrn0 25838
Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrn0.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrn0 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))

Proof of Theorem dchrn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝐴))
21neeq1d 3049 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0))
3 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑈𝐴𝑈))
42, 3imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈)))
5 dchrn0.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
6 dchrmhm.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
7 dchrmhm.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8 dchrn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑍)
9 dchrn0.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10 dchrmhm.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
116, 10dchrrcl 25828 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
136, 7, 8, 9, 12, 10dchrelbas2 25825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
145, 13mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
1514simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
16 dchrn0.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
174, 15, 16rspcdva 3576 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈))
1817imp 410 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → 𝐴𝑈)
19 ax-1ne0 10599 . . . . 5 1 ≠ 0
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → 1 ≠ 0)
2112nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
227zncrng 20240 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
23 crngring 19306 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2801 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invr𝑍)
26 eqid 2801 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (.r𝑍)
27 eqid 2801 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
289, 25, 26, 27unitrinv 19428 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
2924, 28sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
3029fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r𝑍)))
3114simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3231adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3316adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝐴𝐵)
349, 25, 8ringinvcl 19426 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
3524, 34sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
36 eqid 2801 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3736, 8mgpbas 19242 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3836, 26mgpplusg 19240 . . . . . . 7 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
39 eqid 2801 . . . . . . . 8 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40 cnfldmul 20101 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
4139, 40mgpplusg 19240 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4237, 38, 41mhmlin 17959 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4332, 33, 35, 42syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4436, 27ringidval 19250 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
45 cnfld1 20120 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4639, 45ringidval 19250 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
4744, 46mhm0 17960 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
4832, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
4930, 43, 483eqtr3d 2844 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 1)
50 cnfldbas 20099 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
5139, 50mgpbas 19242 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
5237, 51mhmf 17957 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5332, 52syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5453, 35ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
5554mul02d 10831 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 0)
5620, 49, 553netr4d 3067 . . 3 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
57 oveq1 7146 . . . 4 ((𝑋𝐴) = 0 → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
5857necon3i 3022 . . 3 (((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
5956, 58syl 17 . 2 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
6018, 59impbida 800 1 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  cn 11629  0cn0 11889  Basecbs 16479  .rcmulr 16562   MndHom cmhm 17950  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  Unitcui 19389  invrcinvr 19421  fldccnfld 20095  ℤ/nczn 20200  DChrcdchr 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-imas 16777  df-qus 16778  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zn 20204  df-dchr 25821
This theorem is referenced by:  dchrinvcl  25841  dchrfi  25843  dchrghm  25844  dchreq  25846  dchrabs  25848  dchrabs2  25850  dchr1re  25851  dchrpt  25855  dchrsum  25857  sum2dchr  25862  rpvmasumlem  26075  dchrisum0flblem1  26096
  Copyright terms: Public domain W3C validator