Theorem dchrn0 26742

Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrn0	⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem dchrn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐴))
2	1	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
3		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
5		dchrn0.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
7		dchrmhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		dchrn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		dchrn0.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10		dchrmhm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
11	6, 10	dchrrcl 26732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	6, 7, 8, 9, 12, 10	dchrelbas2 26729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16		dchrn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	4, 15, 16	rspcdva 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈))
18	17	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝑈)
19		ax-1ne0 11175	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 1 ≠ 0)
21	12	nnnn0d 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	7	zncrng 21091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
23		crngring 20061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
26		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
27		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
28	9, 25, 26, 27	unitrinv 20200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
29	24, 28	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
30	29	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
31	14	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
33	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34	9, 25, 8	ringinvcl 20198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
35	24, 34	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
36		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
37	36, 8	mgpbas 19987	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
38	36, 26	mgpplusg 19985	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
39		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40		cnfldmul 20942	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	39, 40	mgpplusg 19985	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
42	37, 38, 41	mhmlin 18675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
43	32, 33, 35, 42	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
44	36, 27	ringidval 20000	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
45		cnfld1 20962	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
46	39, 45	ringidval 20000	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
47	44, 46	mhm0 18676	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
48	32, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
49	30, 43, 48	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 1)
50		cnfldbas 20940	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
51	39, 50	mgpbas 19987	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
52	37, 51	mhmf 18673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
53	32, 52	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
54	53, 35	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	54	mul02d 11408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 0)
56	20, 49, 55	3netr4d 3018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
57		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘𝐴) = 0 → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
58	57	necon3i 2973	. . 3 ⊢ (((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
60	18, 59	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194   MndHom cmhm 18665  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161  inv_rcinvr 20193  ℂ_fldccnfld 20936  ℤ/nℤczn 21043  DChrcdchr 26724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zn 21047  df-dchr 26725

This theorem is referenced by:  dchrinvcl  26745  dchrfi  26747  dchrghm  26748  dchreq  26750  dchrabs  26752  dchrabs2  26754  dchr1re  26755  dchrpt  26759  dchrsum  26761  sum2dchr  26766  rpvmasumlem  26979  dchrisum0flblem1  27000