Theorem dchrn0 27096

Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrn0	⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem dchrn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐴))
2	1	neeq1d 2999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
3		eleq1 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
5		dchrn0.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
7		dchrmhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		dchrn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		dchrn0.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10		dchrmhm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
11	6, 10	dchrrcl 27086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	6, 7, 8, 9, 12, 10	dchrelbas2 27083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
15	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16		dchrn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	4, 15, 16	rspcdva 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈))
18	17	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝑈)
19		ax-1ne0 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 1 ≠ 0)
21	12	nnnn0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	7	zncrng 21410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
23		crngring 20146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
25		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
26		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
27		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
28	9, 25, 26, 27	unitrinv 20292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
29	24, 28	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
30	29	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
31	14	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34	9, 25, 8	ringinvcl 20290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
35	24, 34	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
36		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
37	36, 8	mgpbas 20041	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
38	36, 26	mgpplusg 20039	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
39		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40		cnfldmul 21239	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	39, 40	mgpplusg 20039	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
42	37, 38, 41	mhmlin 18721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
43	32, 33, 35, 42	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
44	36, 27	ringidval 20084	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
45		cnfld1 21259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
46	39, 45	ringidval 20084	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
47	44, 46	mhm0 18722	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
48	32, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
49	30, 43, 48	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 1)
50		cnfldbas 21237	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
51	39, 50	mgpbas 20041	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
52	37, 51	mhmf 18717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
53	32, 52	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
54	53, 35	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	54	mul02d 11419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 0)
56	20, 49, 55	3netr4d 3017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
57		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘𝐴) = 0 → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
58	57	necon3i 2972	. . 3 ⊢ (((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
60	18, 59	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205   MndHom cmhm 18709  mulGrpcmgp 20035  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  Unitcui 20253  inv_rcinvr 20285  ℂ_fldccnfld 21233  ℤ/nℤczn 21362  DChrcdchr 27078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21021  df-rsp 21022  df-2idl 21095  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zn 21366  df-dchr 27079

This theorem is referenced by:  dchrinvcl  27099  dchrfi  27101  dchrghm  27102  dchreq  27104  dchrabs  27106  dchrabs2  27108  dchr1re  27109  dchrpt  27113  dchrsum  27115  sum2dchr  27120  rpvmasumlem  27333  dchrisum0flblem1  27354