Theorem dchrabs 27242

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 20327	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 27232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 15386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 27222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 21529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 9109	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24	9	ne0d 4296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
25		hashnncl 14301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	24, 26	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
28	27	nnne0d 12207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
29	23, 28	reccld 11922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
30	14, 22, 29	cxpmuld 26717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
31	23, 28	recidd 11924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
32	31	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
33	11	abscld 15374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		cxpexp 26648	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
36	34, 21, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
37	11, 21	absexpd 15390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38		cnring 21360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		cnfldbas 21328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
40		cnfld0 21362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
41		cndrng 21368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
42	39, 40, 41	drngui 20683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44	42, 43	unitsubm 20337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
45	38, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
47	11, 13, 46	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
51	48, 49, 50	submmulg 19063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
52	45, 21, 47, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
54	1, 2, 3, 7, 53, 49, 5	dchrghm 27238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
55	21	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
56	7, 53	unitgrpbas 20333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58	56, 57, 50	ghmmulg 19172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
59	54, 55, 9, 58	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	2	zncrng 21514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
63		crngring 20195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
65	7, 53	unitgrp 20334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
68	56, 67	oddvds2 19510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
69	66, 19, 9, 68	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
71	56, 67, 57, 70	oddvds 19491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
72	66, 9, 55, 71	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	69, 72	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
75	7, 53, 74	unitgrpid 20336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
76	64, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	73, 76	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
78	77	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
79	9	fvresd 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
80	79	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
81	59, 78, 80	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
82	7, 74	1unit 20325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
83		fvres 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
84	64, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
85	52, 81, 84	3eqtr2d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86		cnfldexp 21374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
87	11, 21, 86	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
88	1, 2, 3	dchrmhm 27223	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
89	88, 5	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
91	90, 74	ringidval 20133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92		cnfld1 21363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
93	43, 92	ringidval 20133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
94	91, 93	mhm0 18731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	89, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
96	85, 87, 95	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
97	96	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98		abs1 15232	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
99	97, 98	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
100	36, 37, 99	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101	100	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
102	30, 32, 101	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
103	34	cxp1d 26686	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
104	29	1cxpd 26687	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105	102, 103, 104	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ↑cexp 13996  ♯chash 14265  abscabs 15169   ∥ cdvds 16191  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  0_gc0g 17371   MndHom cmhm 18718  SubMndcsubmnd 18719  Grpcgrp 18878  ._gcmg 19012   GrpHom cghm 19156  odcod 19468  mulGrpcmgp 20090  1_rcur 20131  Ringcrg 20183  CRingccrg 20184  Unitcui 20306  ℂ_fldccnfld 21324  ℤ/nℤczn 21472  ↑_𝑐ccxp 26535  DChrcdchr 27214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-qus 17442  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-nsg 19069  df-eqg 19070  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-od 19472  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-drng 20679  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21178  df-rsp 21179  df-2idl 21220  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-cnfld 21325  df-zring 21417  df-zrh 21473  df-zn 21476  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-lp 23095  df-perf 23096  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-haus 23274  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-cncf 24842  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26536  df-cxp 26537  df-dchr 27215

This theorem is referenced by:  dchrinv  27243  dchrabs2  27244  sum2dchr  27256  dchrisum0flblem1  27490