Theorem dchrabs 27198

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 20294	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sselid 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelcdmd 7018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 27188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 15358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 27178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 21496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 9082	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 14263	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24	9	ne0d 4289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
25		hashnncl 14273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	24, 26	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
28	27	nnne0d 12175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
29	23, 28	reccld 11890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
30	14, 22, 29	cxpmuld 26673	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
31	23, 28	recidd 11892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
32	31	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
33	11	abscld 15346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		cxpexp 26604	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
36	34, 21, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
37	11, 21	absexpd 15362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38		cnring 21327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		cnfldbas 21295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
40		cnfld0 21329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
41		cndrng 21335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
42	39, 40, 41	drngui 20650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44	42, 43	unitsubm 20304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
45	38, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46		eldifsn 4735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
47	11, 13, 46	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
51	48, 49, 50	submmulg 19031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
52	45, 21, 47, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
54	1, 2, 3, 7, 53, 49, 5	dchrghm 27194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
55	21	nn0zd 12494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
56	7, 53	unitgrpbas 20300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58	56, 57, 50	ghmmulg 19140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
59	54, 55, 9, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	nnnn0d 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	2	zncrng 21481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
63		crngring 20163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
65	7, 53	unitgrp 20301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
68	56, 67	oddvds2 19478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
69	66, 19, 9, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
71	56, 67, 57, 70	oddvds 19459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
72	66, 9, 55, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	69, 72	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
75	7, 53, 74	unitgrpid 20303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
76	64, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	73, 76	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
78	77	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
79	9	fvresd 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
80	79	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
81	59, 78, 80	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
82	7, 74	1unit 20292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
83		fvres 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
84	64, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
85	52, 81, 84	3eqtr2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86		cnfldexp 21341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
87	11, 21, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
88	1, 2, 3	dchrmhm 27179	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
89	88, 5	sselid 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
91	90, 74	ringidval 20101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92		cnfld1 21330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
93	43, 92	ringidval 20101	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
94	91, 93	mhm0 18702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	89, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
96	85, 87, 95	3eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
97	96	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98		abs1 15204	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
99	97, 98	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
100	36, 37, 99	3eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101	100	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
102	30, 32, 101	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
103	34	cxp1d 26642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
104	29	1cxpd 26643	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105	102, 103, 104	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  abscabs 15141   ∥ cdvds 16163  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   MndHom cmhm 18689  SubMndcsubmnd 18690  Grpcgrp 18846  ._gcmg 18980   GrpHom cghm 19124  odcod 19436  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  CRingccrg 20152  Unitcui 20273  ℂ_fldccnfld 21291  ℤ/nℤczn 21439  ↑_𝑐ccxp 26491  DChrcdchr 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-od 19440  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-2idl 21187  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-zrh 21440  df-zn 21443  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-cxp 26493  df-dchr 27171

This theorem is referenced by:  dchrinv  27199  dchrabs2  27200  sum2dchr  27212  dchrisum0flblem1  27446