MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 26624
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrabs.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrabs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrabs.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrabs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 26606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
84, 7unitss 20096 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
108, 9sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
116, 10ffvelcdmd 7041 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 26614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  0)
1411, 13absrpcld 15340 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 26604 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
162, 4znfi 20982 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ Fin)
18 ssfi 9124 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘) ∈ Fin ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
20 hashcl 14263 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2221nn0red 12481 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
2322recnd 11190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
249ne0d 4300 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
25 hashnncl 14273 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2619, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2724, 26mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
2827nnne0d 12210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  0)
2923, 28reccld 11931 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
3014, 22, 29cxpmuld 26107 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ))↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
3123, 28recidd 11933 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
3231oveq2d 7378 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1))
3311abscld 15328 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ ℝ)
3433recnd 11190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ β„‚)
35 cxpexp 26039 . . . . . 6 (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
3634, 21, 35syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
3711, 21absexpd 15344 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
38 cnring 20835 . . . . . . . . . . 11 β„‚fld ∈ Ring
39 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
40 cnfld0 20837 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
41 cndrng 20842 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚fld ∈ DivRing
4239, 40, 41drngui 20205 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
4442, 43unitsubm 20106 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4538, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
46 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π΄) β‰  0))
4711, 13, 46sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
5148, 49, 50submmulg 18927 . . . . . . . . . 10 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
5245, 21, 47, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
541, 2, 3, 7, 53, 49, 5dchrghm 26620 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
5521nn0zd 12532 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€)
567, 53unitgrpbas 20102 . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
5856, 57, 50ghmmulg 19027 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)))
5954, 55, 9, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)))
605, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6160nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
622zncrng 20967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63 crngring 19983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
657, 53unitgrp 20103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
67 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
6856, 67oddvds2 19355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ))
6966, 19, 9, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ))
70 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
7156, 67, 57, 70oddvds 19336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€) β†’ (((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))))
7266, 9, 55, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))))
7369, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
757, 53, 74unitgrpid 20105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
7773, 76eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (1rβ€˜π‘))
7877fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)))
799fvresd 6867 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄) = (π‘‹β€˜π΄))
8079oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
8159, 78, 803eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
827, 741unit 20094 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
83 fvres 6866 . . . . . . . . . 10 ((1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8464, 82, 833syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8552, 81, 843eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
86 cnfldexp 20846 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
8711, 21, 86syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
881, 2, 3dchrmhm 26605 . . . . . . . . . 10 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
8988, 5sselid 3947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
9190, 74ringidval 19922 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
92 cnfld1 20838 . . . . . . . . . . 11 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
9343, 92ringidval 19922 . . . . . . . . . 10 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
9491, 93mhm0 18617 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9589, 94syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9685, 87, 953eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)) = 1)
9796fveq2d 6851 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜1))
98 abs1 15189 . . . . . 6 (absβ€˜1) = 1
9997, 98eqtrdi 2793 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
10036, 37, 993eqtr2d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = 1)
101100oveq1d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ))↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
10230, 32, 1013eqtr3d 2785 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
10334cxp1d 26077 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1) = (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)))
104291cxpd 26078 . 2 (πœ‘ β†’ (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
105102, 103, 1043eqtr3d 2785 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  abscabs 15126   βˆ₯ cdvds 16143  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  0gc0g 17328   MndHom cmhm 18606  SubMndcsubmnd 18607  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879   GrpHom cghm 19012  odcod 19313  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075  β„‚fldccnfld 20812  β„€/nβ„€czn 20919  β†‘𝑐ccxp 25927  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrinv  26625  dchrabs2  26626  sum2dchr  26638  dchrisum0flblem1  26872
  Copyright terms: Public domain W3C validator