Theorem dchrabs 25538

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 25520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 19133	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sseldi 3857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelrnd 6677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 25528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 14669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 25518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 20408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 8533	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 13532	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 11768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24	9	ne0d 4188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
25		hashnncl 13542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	24, 26	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
28	27	nnne0d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
29	23, 28	reccld 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
30	14, 22, 29	cxpmuld 25020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
31	23, 28	recidd 11212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
32	31	oveq2d 6992	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
33	11	abscld 14657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 10468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		cxpexp 24952	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
36	34, 21, 35	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
37	11, 21	absexpd 14673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38		cnring 20269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		cnfldbas 20251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
40		cnfld0 20271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
41		cndrng 20276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
42	39, 40, 41	drngui 19231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43		eqid 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44	42, 43	unitsubm 19143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
45	38, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46		eldifsn 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
47	11, 13, 46	sylanbrc 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48		eqid 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50		eqid 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
51	48, 49, 50	submmulg 18055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
52	45, 21, 47, 51	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53		eqid 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
54	1, 2, 3, 7, 53, 49, 5	dchrghm 25534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
55	21	nn0zd 11898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
56	7, 53	unitgrpbas 19139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57		eqid 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58	56, 57, 50	ghmmulg 18141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
59	54, 55, 9, 58	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	nnnn0d 11767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	2	zncrng 20393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
63		crngring 19031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
65	7, 53	unitgrp 19140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67		eqid 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
68	56, 67	oddvds2 18454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
69	66, 19, 9, 68	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70		eqid 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
71	56, 67, 57, 70	oddvds 18437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
72	66, 9, 55, 71	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	69, 72	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74		eqid 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
75	7, 53, 74	unitgrpid 19142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
76	64, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	73, 76	eqtr4d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
78	77	fveq2d 6503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
79	9	fvresd 6519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
80	79	oveq2d 6992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
81	59, 78, 80	3eqtr3d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
82	7, 74	1unit 19131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
83		fvres 6518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
84	64, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
85	52, 81, 84	3eqtr2d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86		cnfldexp 20280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
87	11, 21, 86	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
88	1, 2, 3	dchrmhm 25519	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
89	88, 5	sseldi 3857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90		eqid 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
91	90, 74	ringidval 18976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92		cnfld1 20272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
93	43, 92	ringidval 18976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
94	91, 93	mhm0 17811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	89, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
96	85, 87, 95	3eqtr3d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
97	96	fveq2d 6503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98		abs1 14518	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
99	97, 98	syl6eq 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
100	36, 37, 99	3eqtr2d 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101	100	oveq1d 6991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
102	30, 32, 101	3eqtr3d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
103	34	cxp1d 24990	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
104	29	1cxpd 24991	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105	102, 103, 104	3eqtr3d 2823	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968   ∖ cdif 3827   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179  {csn 4441   class class class wbr 4929   ↾ cres 5409  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ↑cexp 13244  ♯chash 13505  abscabs 14454   ∥ cdvds 15467  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  0_gc0g 16569   MndHom cmhm 17801  SubMndcsubmnd 17802  Grpcgrp 17891  ._gcmg 18011   GrpHom cghm 18126  odcod 18414  mulGrpcmgp 18962  1_rcur 18974  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021  Unitcui 19112  ℂ_fldccnfld 20247  ℤ/nℤczn 20352  ↑_𝑐ccxp 24840  DChrcdchr 25510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-ec 8091  df-qs 8095  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-qus 16638  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-nsg 18061  df-eqg 18062  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-od 18418  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668  df-rsp 19669  df-2idl 19726  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-zn 20356  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-cxp 24842  df-dchr 25511

This theorem is referenced by:  dchrinv  25539  dchrabs2  25540  sum2dchr  25552  dchrisum0flblem1  25786