Theorem dchrabs 27187

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 20309	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sselid 3977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelcdmd 7090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 27177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 15422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 27167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 21487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 9192	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 14342	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24	9	ne0d 4332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
25		hashnncl 14352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	24, 26	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
28	27	nnne0d 12287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
29	23, 28	reccld 12008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
30	14, 22, 29	cxpmuld 26665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
31	23, 28	recidd 12010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
32	31	oveq2d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
33	11	abscld 15410	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		cxpexp 26596	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
36	34, 21, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
37	11, 21	absexpd 15426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38		cnring 21312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		cnfldbas 21277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
40		cnfld0 21314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
41		cndrng 21320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
42	39, 40, 41	drngui 20624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44	42, 43	unitsubm 20319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
45	38, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46		eldifsn 4787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
47	11, 13, 46	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
51	48, 49, 50	submmulg 19067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
52	45, 21, 47, 51	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
54	1, 2, 3, 7, 53, 49, 5	dchrghm 27183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
55	21	nn0zd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
56	7, 53	unitgrpbas 20315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58	56, 57, 50	ghmmulg 19176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
59	54, 55, 9, 58	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	nnnn0d 12557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	2	zncrng 21472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
63		crngring 20179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
65	7, 53	unitgrp 20316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
68	56, 67	oddvds2 19515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
69	66, 19, 9, 68	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
71	56, 67, 57, 70	oddvds 19496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
72	66, 9, 55, 71	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	69, 72	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
75	7, 53, 74	unitgrpid 20318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
76	64, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	73, 76	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
78	77	fveq2d 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
79	9	fvresd 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
80	79	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
81	59, 78, 80	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
82	7, 74	1unit 20307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
83		fvres 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
84	64, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
85	52, 81, 84	3eqtr2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86		cnfldexp 21326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
87	11, 21, 86	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
88	1, 2, 3	dchrmhm 27168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
89	88, 5	sselid 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
91	90, 74	ringidval 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92		cnfld1 21315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
93	43, 92	ringidval 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
94	91, 93	mhm0 18745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	89, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
96	85, 87, 95	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
97	96	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98		abs1 15271	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
99	97, 98	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
100	36, 37, 99	3eqtr2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101	100	oveq1d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
102	30, 32, 101	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
103	34	cxp1d 26634	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
104	29	1cxpd 26635	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105	102, 103, 104	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945  ∅c0 4319  {csn 4625   class class class wbr 5143   ↾ cres 5675  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  ℂcc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ↑cexp 14053  ♯chash 14316  abscabs 15208   ∥ cdvds 16225  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  0_gc0g 17415   MndHom cmhm 18732  SubMndcsubmnd 18733  Grpcgrp 18884  ._gcmg 19017   GrpHom cghm 19161  odcod 19473  mulGrpcmgp 20068  1_rcur 20115  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  Unitcui 20288  ℂ_fldccnfld 21273  ℤ/nℤczn 21422  ↑_𝑐ccxp 26483  DChrcdchr 27159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-qus 17485  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-nsg 19073  df-eqg 19074  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-od 19477  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-rsp 21099  df-2idl 21138  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-zring 21367  df-zrh 21423  df-zn 21426  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26484  df-cxp 26485  df-dchr 27160

This theorem is referenced by:  dchrinv  27188  dchrabs2  27189  sum2dchr  27201  dchrisum0flblem1  27435