Theorem dchrabs 27313

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 27295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 20397	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sselid 4000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelcdmd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 27303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 15493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 27293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 21596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 9236	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 14401	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24	9	ne0d 4360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
25		hashnncl 14411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	24, 26	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
28	27	nnne0d 12339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
29	23, 28	reccld 12059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
30	14, 22, 29	cxpmuld 26788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
31	23, 28	recidd 12061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
32	31	oveq2d 7461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
33	11	abscld 15481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		cxpexp 26719	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
36	34, 21, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
37	11, 21	absexpd 15497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38		cnring 21421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		cnfldbas 21386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
40		cnfld0 21423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
41		cndrng 21429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
42	39, 40, 41	drngui 20752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44	42, 43	unitsubm 20407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
45	38, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
47	11, 13, 46	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
51	48, 49, 50	submmulg 19153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
52	45, 21, 47, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
54	1, 2, 3, 7, 53, 49, 5	dchrghm 27309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
55	21	nn0zd 12661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
56	7, 53	unitgrpbas 20403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58	56, 57, 50	ghmmulg 19263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
59	54, 55, 9, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
61	60	nnnn0d 12609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	2	zncrng 21581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
63		crngring 20267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
65	7, 53	unitgrp 20404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
68	56, 67	oddvds2 19603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
69	66, 19, 9, 68	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
71	56, 67, 57, 70	oddvds 19584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
72	66, 9, 55, 71	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	69, 72	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
75	7, 53, 74	unitgrpid 20406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
76	64, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	73, 76	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
78	77	fveq2d 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
79	9	fvresd 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
80	79	oveq2d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
81	59, 78, 80	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
82	7, 74	1unit 20395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
83		fvres 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
84	64, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
85	52, 81, 84	3eqtr2d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86		cnfldexp 21435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
87	11, 21, 86	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)))
88	1, 2, 3	dchrmhm 27294	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
89	88, 5	sselid 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
91	90, 74	ringidval 20205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92		cnfld1 21424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
93	43, 92	ringidval 20205	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
94	91, 93	mhm0 18824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	89, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
96	85, 87, 95	3eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
97	96	fveq2d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98		abs1 15342	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
99	97, 98	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
100	36, 37, 99	3eqtr2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101	100	oveq1d 7460	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
102	30, 32, 101	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
103	34	cxp1d 26757	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
104	29	1cxpd 26758	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105	102, 103, 104	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3967   ⊆ wss 3970  ∅c0 4347  {csn 4648   class class class wbr 5169   ↾ cres 5701  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Fincfn 8999  ℂcc 11178  0cc0 11180  1c1 11181   · cmul 11185   / cdiv 11943  ℕcn 12289  ℕ₀cn0 12549  ℤcz 12635  ↑cexp 14108  ♯chash 14375  abscabs 15279   ∥ cdvds 16296  Basecbs 17253   ↾_s cress 17282  0_gc0g 17494   MndHom cmhm 18811  SubMndcsubmnd 18812  Grpcgrp 18968  ._gcmg 19102   GrpHom cghm 19247  odcod 19561  mulGrpcmgp 20156  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256  Unitcui 20376  ℂ_fldccnfld 21382  ℤ/nℤczn 21531  ↑_𝑐ccxp 26606  DChrcdchr 27285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-acn 10007  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ioc 13408  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14319  df-bc 14348  df-hash 14376  df-shft 15112  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-limsup 15513  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-dvds 16297  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-qus 17564  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-mulg 19103  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-ghm 19248  df-cntz 19352  df-od 19565  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-rhm 20493  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-lp 23158  df-perf 23159  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-cncf 24916  df-limc 25913  df-dv 25914  df-log 26607  df-cxp 26608  df-dchr 27286

This theorem is referenced by:  dchrinv  27314  dchrabs2  27315  sum2dchr  27327  dchrisum0flblem1  27561