MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 27187
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 27169 . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑍)
84, 7unitss 20309 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sselid 3977 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
116, 10ffvelcdmd 7090 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 27177 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1411, 13absrpcld 15422 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 27167 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
162, 4znfi 21487 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18 ssfi 9192 . . . . . . 7 (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
20 hashcl 14342 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2221nn0red 12558 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
2322recnd 11267 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
249ne0d 4332 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
25 hashnncl 14352 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2619, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2724, 26mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
2827nnne0d 12287 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
2923, 28reccld 12008 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
3014, 22, 29cxpmuld 26665 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
3123, 28recidd 12010 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
3231oveq2d 7431 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1))
3311abscld 15410 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11267 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
35 cxpexp 26596 . . . . . 6 (((abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3634, 21, 35syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3711, 21absexpd 15426 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38 cnring 21312 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
39 cnfldbas 21277 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
40 cnfld0 21314 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
41 cndrng 21320 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
4239, 40, 41drngui 20624 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4442, 43unitsubm 20319 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4538, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46 eldifsn 4787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
4711, 13, 46sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5148, 49, 50submmulg 19067 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
5245, 21, 47, 51syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
53 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
541, 2, 3, 7, 53, 49, 5dchrghm 27183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
5521nn0zd 12609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
567, 53unitgrpbas 20315 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
5856, 57, 50ghmmulg 19176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
5954, 55, 9, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
605, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6160nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
622zncrng 21472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
63 crngring 20179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
657, 53unitgrp 20316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
6856, 67oddvds2 19515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
6966, 19, 9, 68syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
7156, 67, 57, 70oddvds 19496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7266, 9, 55, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7369, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑍) = (1r𝑍)
757, 53, 74unitgrpid 20318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7773, 76eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r𝑍))
7877fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)))
799fvresd 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
8079oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
8159, 78, 803eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
827, 741unit 20307 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
83 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 ((1r𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8464, 82, 833syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8552, 81, 843eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
86 cnfldexp 21326 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
8711, 21, 86syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
881, 2, 3dchrmhm 27168 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8988, 5sselid 3977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9190, 74ringidval 20117 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92 cnfld1 21315 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
9343, 92ringidval 20117 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9491, 93mhm0 18745 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9589, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9685, 87, 953eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
9796fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98 abs1 15271 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
9997, 98eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
10036, 37, 993eqtr2d 2774 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101100oveq1d 7430 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10230, 32, 1013eqtr3d 2776 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10334cxp1d 26634 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋𝐴)))
104291cxpd 26635 . 2 (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105102, 103, 1043eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  cdif 3942  wss 3945  c0 4319  {csn 4625   class class class wbr 5143  cres 5675  cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   · cmul 11138   / cdiv 11896  cn 12237  0cn0 12497  cz 12583  cexp 14053  chash 14316  abscabs 15208  cdvds 16225  Basecbs 17174  s cress 17203  0gc0g 17415   MndHom cmhm 18732  SubMndcsubmnd 18733  Grpcgrp 18884  .gcmg 19017   GrpHom cghm 19161  odcod 19473  mulGrpcmgp 20068  1rcur 20115  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  Unitcui 20288  fldccnfld 21273  ℤ/nczn 21422  𝑐ccxp 26483  DChrcdchr 27159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-qus 17485  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-nsg 19073  df-eqg 19074  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-od 19477  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-rsp 21099  df-2idl 21138  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-zring 21367  df-zrh 21423  df-zn 21426  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26484  df-cxp 26485  df-dchr 27160
This theorem is referenced by:  dchrinv  27188  dchrabs2  27189  sum2dchr  27201  dchrisum0flblem1  27435
  Copyright terms: Public domain W3C validator