MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 27180
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrabs.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrabs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrabs.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrabs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 27162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
84, 7unitss 20304 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
108, 9sselid 3976 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
116, 10ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 27170 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 ∈ π‘ˆ))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) β‰  0)
1411, 13absrpcld 15419 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 27160 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
162, 4znfi 21480 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘) ∈ Fin)
18 ssfi 9189 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘) ∈ Fin ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
20 hashcl 14339 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2221nn0red 12555 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
2322recnd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„‚)
249ne0d 4331 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
25 hashnncl 14349 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2619, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„• ↔ π‘ˆ β‰  βˆ…))
2724, 26mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•)
2827nnne0d 12284 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) β‰  0)
2923, 28reccld 12005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)) ∈ β„‚)
3014, 22, 29cxpmuld 26658 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ))↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
3123, 28recidd 12007 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
3231oveq2d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐((β™―β€˜π‘ˆ) Β· (1 / (β™―β€˜π‘ˆ)))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1))
3311abscld 15407 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ ℝ)
3433recnd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ β„‚)
35 cxpexp 26589 . . . . . 6 (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
3634, 21, 35syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
3711, 21absexpd 15423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
38 cnring 21305 . . . . . . . . . . 11 β„‚fld ∈ Ring
39 cnfldbas 21270 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
40 cnfld0 21307 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
41 cndrng 21313 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚fld ∈ DivRing
4239, 40, 41drngui 20619 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
43 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
4442, 43unitsubm 20314 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4538, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
46 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π΄) β‰  0))
4711, 13, 46sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
48 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
49 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
50 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
5148, 49, 50submmulg 19064 . . . . . . . . . 10 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜π΄) ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
5245, 21, 47, 51syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
53 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
541, 2, 3, 7, 53, 49, 5dchrghm 27176 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
5521nn0zd 12606 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€)
567, 53unitgrpbas 20310 . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
57 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
5856, 57, 50ghmmulg 19173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)))
5954, 55, 9, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)))
605, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6160nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
622zncrng 21465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
63 crngring 20176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
657, 53unitgrp 20311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
67 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
6856, 67oddvds2 19512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ))
6966, 19, 9, 68syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ))
70 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
7156, 67, 57, 70oddvds 19493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„€) β†’ (((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))))
7266, 9, 55, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((odβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))))
7369, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
74 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
757, 53, 74unitgrpid 20313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
7773, 76eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴) = (1rβ€˜π‘))
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))𝐴)) = ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)))
799fvresd 6911 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄) = (π‘‹β€˜π΄))
8079oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
8159, 78, 803eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))(π‘‹β€˜π΄)))
827, 741unit 20302 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
83 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 ((1rβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8464, 82, 833syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 β†Ύ π‘ˆ)β€˜(1rβ€˜π‘)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8552, 81, 843eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
86 cnfldexp 21319 . . . . . . . . 9 (((π‘‹β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
8711, 21, 86syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜π΄)) = ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)))
881, 2, 3dchrmhm 27161 . . . . . . . . . 10 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
8988, 5sselid 3976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
90 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
9190, 74ringidval 20114 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
92 cnfld1 21308 . . . . . . . . . . 11 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
9343, 92ringidval 20114 . . . . . . . . . 10 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
9491, 93mhm0 18742 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9589, 94syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9685, 87, 953eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ)) = 1)
9796fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = (absβ€˜1))
98 abs1 15268 . . . . . 6 (absβ€˜1) = 1
9997, 98eqtrdi 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π΄)↑(β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
10036, 37, 993eqtr2d 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ)) = 1)
101100oveq1d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐(β™―β€˜π‘ˆ))↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
10230, 32, 1013eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))))
10334cxp1d 26627 . 2 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜π΄))↑𝑐1) = (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)))
104291cxpd 26628 . 2 (πœ‘ β†’ (1↑𝑐(1 / (β™―β€˜π‘ˆ))) = 1)
105102, 103, 1043eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜π΄)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β†‘cexp 14050  β™―chash 14313  abscabs 15205   βˆ₯ cdvds 16222  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  0gc0g 17412   MndHom cmhm 18729  SubMndcsubmnd 18730  Grpcgrp 18881  .gcmg 19014   GrpHom cghm 19158  odcod 19470  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  β„‚fldccnfld 21266  β„€/nβ„€czn 21415  β†‘𝑐ccxp 26476  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrinv  27181  dchrabs2  27182  sum2dchr  27194  dchrisum0flblem1  27428
  Copyright terms: Public domain W3C validator