MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 27322
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 27304 . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑍)
84, 7unitss 20402 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sselid 4006 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
116, 10ffvelcdmd 7119 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 27312 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1411, 13absrpcld 15497 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 27302 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
162, 4znfi 21601 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18 ssfi 9240 . . . . . . 7 (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
20 hashcl 14405 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2221nn0red 12614 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
2322recnd 11318 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
249ne0d 4365 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
25 hashnncl 14415 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2619, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2724, 26mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
2827nnne0d 12343 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
2923, 28reccld 12063 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
3014, 22, 29cxpmuld 26797 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
3123, 28recidd 12065 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
3231oveq2d 7464 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1))
3311abscld 15485 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11318 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
35 cxpexp 26728 . . . . . 6 (((abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3634, 21, 35syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3711, 21absexpd 15501 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
38 cnring 21426 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
39 cnfldbas 21391 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
40 cnfld0 21428 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
41 cndrng 21434 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
4239, 40, 41drngui 20757 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
43 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4442, 43unitsubm 20412 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4538, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46 eldifsn 4811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
4711, 13, 46sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
48 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5148, 49, 50submmulg 19158 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
5245, 21, 47, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
53 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
541, 2, 3, 7, 53, 49, 5dchrghm 27318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
5521nn0zd 12665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
567, 53unitgrpbas 20408 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
57 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
5856, 57, 50ghmmulg 19268 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
5954, 55, 9, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
605, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6160nnnn0d 12613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
622zncrng 21586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
63 crngring 20272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
657, 53unitgrp 20409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
6856, 67oddvds2 19608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
6966, 19, 9, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
70 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
7156, 67, 57, 70oddvds 19589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7266, 9, 55, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7369, 72mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
74 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑍) = (1r𝑍)
757, 53, 74unitgrpid 20411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7773, 76eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r𝑍))
7877fveq2d 6924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)))
799fvresd 6940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
8079oveq2d 7464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
8159, 78, 803eqtr3d 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
827, 741unit 20400 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
83 fvres 6939 . . . . . . . . . 10 ((1r𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8464, 82, 833syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8552, 81, 843eqtr2d 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
86 cnfldexp 21440 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
8711, 21, 86syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
881, 2, 3dchrmhm 27303 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8988, 5sselid 4006 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
90 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9190, 74ringidval 20210 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92 cnfld1 21429 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
9343, 92ringidval 20210 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9491, 93mhm0 18829 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9589, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9685, 87, 953eqtr3d 2788 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
9796fveq2d 6924 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
98 abs1 15346 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
9997, 98eqtrdi 2796 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
10036, 37, 993eqtr2d 2786 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
101100oveq1d 7463 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10230, 32, 1013eqtr3d 2788 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10334cxp1d 26766 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋𝐴)))
104291cxpd 26767 . 2 (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
105102, 103, 1043eqtr3d 2788 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cdif 3973  wss 3976  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  cres 5702  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  cc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947  cn 12293  0cn0 12553  cz 12639  cexp 14112  chash 14379  abscabs 15283  cdvds 16302  Basecbs 17258  s cress 17287  0gc0g 17499   MndHom cmhm 18816  SubMndcsubmnd 18817  Grpcgrp 18973  .gcmg 19107   GrpHom cghm 19252  odcod 19566  mulGrpcmgp 20161  1rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  Unitcui 20381  fldccnfld 21387  ℤ/nczn 21536  𝑐ccxp 26615  DChrcdchr 27294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-od 19570  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-dchr 27295
This theorem is referenced by:  dchrinv  27323  dchrabs2  27324  sum2dchr  27336  dchrisum0flblem1  27570
  Copyright terms: Public domain W3C validator