MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinvcl 26617
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmulid2.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmulid2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐾(π‘˜)

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchrmulid2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
82, 7dchrrcl 26604 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
96, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘₯))
1110oveq2d 7378 . . . 4 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘₯)))
12 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘¦))
1312oveq2d 7378 . . . 4 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘¦)))
14 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)))
1514oveq2d 7378 . . . 4 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
16 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
1716oveq2d 7378 . . . 4 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 26606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
194, 5unitss 20096 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2019sseli 3945 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
21 ffvelcdm 7037 . . . . . 6 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2218, 20, 21syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
246adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2520adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 26614 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2723, 26mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
2822, 27reccld 11931 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 1t1e1 12322 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
3029eqcomi 2746 . . . . . . 7 1 = (1 Β· 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
322, 3, 7dchrmhm 26605 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
336adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3432, 33sselid 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
35 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3619, 35sselid 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
37 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3819, 37sselid 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
4039, 4mgpbas 19909 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
41 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
4239, 41mgpplusg 19907 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
43 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
44 cnfldmul 20818 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4543, 44mgpplusg 19907 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
4640, 42, 45mhmlin 18616 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4831, 47oveq12d 7380 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
49 1cnd 11157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5018adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
5150, 36ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5250, 38ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 26614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
5435, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 26614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
5637, 55mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 11979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
5848, 57eqtr4d 2780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))))
5932, 6sselid 3947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
60 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
6139, 60ringidval 19922 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
62 cnfld1 20838 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6343, 62ringidval 19922 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6461, 63mhm0 18617 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6665oveq2d 7378 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11852 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2793 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 26603 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
71 dchrmulid2.t . . . 4 Β· = (+gβ€˜πΊ)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 26612 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = (𝐾 ∘f Β· 𝑋))
734fvexi 6861 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
75 ovex 7395 . . . . . . 7 (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ V
76 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4541 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V)
7918ffvelcdmda 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
801a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)))
8118feqmptd 6915 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7642 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
84 ovif 7459 . . . . . . 7 (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
8579adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
866adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 26614 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
8988biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
9085, 89recid2d 11934 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 1)
9190ifeq1da 4522 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9279mul02d 11360 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 0)
9392ifeq2d 4511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9584, 94eqtrid 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9695mpteq2dva 5210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2796 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9882, 97eqtr4d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141   MndHom cmhm 18606  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Unitcui 20075  β„‚fldccnfld 20812  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrabl  26618
  Copyright terms: Public domain W3C validator