MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinvcl 27306
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmullid.t · = (+g𝐺)
dchrmullid.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6 dchrmullid.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
82, 7dchrrcl 27293 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 fveq2 6919 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑥))
1110oveq2d 7461 . . . 4 (𝑘 = 𝑥 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑥)))
12 fveq2 6919 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑦))
1312oveq2d 7461 . . . 4 (𝑘 = 𝑦 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑦)))
14 fveq2 6919 . . . . 5 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
1514oveq2d 7461 . . . 4 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))))
16 fveq2 6919 . . . . 5 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(1r𝑍)))
1716oveq2d 7461 . . . 4 (𝑘 = (1r𝑍) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(1r𝑍))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 27295 . . . . . 6 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
194, 5unitss 20397 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2019sseli 3998 . . . . . 6 (𝑘𝑈𝑘𝐵)
21 ffvelcdm 7113 . . . . . 6 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2218, 20, 21syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
23 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
246adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋𝐷)
2520adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐵)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 27303 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
2723, 26mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
2822, 27reccld 12059 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (1 / (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
29 1t1e1 12451 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
3029eqcomi 2743 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 = (1 · 1))
322, 3, 7dchrmhm 27294 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
336adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋𝐷)
3432, 33sselid 4000 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
35 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3619, 35sselid 4000 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
37 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
3819, 37sselid 4000 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
39 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
4039, 4mgpbas 20162 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
41 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (.r𝑍) = (.r𝑍)
4239, 41mgpplusg 20160 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44 cnfldmul 21390 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
4543, 44mgpplusg 20160 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4640, 42, 45mhmlin 18823 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4831, 47oveq12d 7463 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
49 1cnd 11281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 ∈ ℂ)
5018adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5150, 36ffvelcdmd 7117 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
5250, 38ffvelcdmd 7117 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 27303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
5435, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 27303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑦𝑈))
5637, 55mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ≠ 0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 12107 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
5848, 57eqtr4d 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))))
5932, 6sselid 4000 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
60 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6139, 60ringidval 20205 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
62 cnfld1 21424 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
6343, 62ringidval 20205 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6461, 63mhm0 18824 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6665oveq2d 7461 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11981 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2790 . . . 4 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 27292 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐾𝐷)
71 dchrmullid.t . . . 4 · = (+g𝐺)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 27301 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐾f · 𝑋))
734fvexi 6933 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
75 ovex 7478 . . . . . . 7 (1 / (𝑋𝑘)) ∈ V
76 c0ex 11280 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4598 . . . . . 6 if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V)
7918ffvelcdmda 7116 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
801a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)))
8118feqmptd 6989 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7730 . . . 4 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
84 ovif 7544 . . . . . . 7 (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘)))
8579adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
866adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑋𝐷)
87 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 27303 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
8988biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
9085, 89recid2d 12062 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)) = 1)
9190ifeq1da 4579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))))
9279mul02d 11484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 · (𝑋𝑘)) = 0)
9392ifeq2d 4568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9584, 94eqtrid 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9695mpteq2dva 5269 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2793 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
9882, 97eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 511 1 (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  Vcvv 3482  ifcif 4548  cmpt 5252  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  f cof 7708  cc 11178  0cc0 11180  1c1 11181   · cmul 11185   / cdiv 11943  cn 12289  Basecbs 17253  +gcplusg 17306  .rcmulr 17307   MndHom cmhm 18811  mulGrpcmgp 20156  1rcur 20203  Unitcui 20376  fldccnfld 21382  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535  df-dchr 27286
This theorem is referenced by:  dchrabl  27307
  Copyright terms: Public domain W3C validator