MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinvcl 25756
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmulid2.t · = (+g𝐺)
dchrmulid2.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6 dchrmulid2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
82, 7dchrrcl 25743 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑥))
1110oveq2d 7161 . . . 4 (𝑘 = 𝑥 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑥)))
12 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑦))
1312oveq2d 7161 . . . 4 (𝑘 = 𝑦 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑦)))
14 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
1514oveq2d 7161 . . . 4 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))))
16 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(1r𝑍)))
1716oveq2d 7161 . . . 4 (𝑘 = (1r𝑍) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(1r𝑍))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 25745 . . . . . 6 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
194, 5unitss 19339 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2019sseli 3960 . . . . . 6 (𝑘𝑈𝑘𝐵)
21 ffvelrn 6841 . . . . . 6 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2218, 20, 21syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
23 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
246adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋𝐷)
2520adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐵)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 25753 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
2723, 26mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
2822, 27reccld 11397 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (1 / (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
29 1t1e1 11787 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
3029eqcomi 2827 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 = (1 · 1))
322, 3, 7dchrmhm 25744 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
336adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋𝐷)
3432, 33sseldi 3962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
35 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3619, 35sseldi 3962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
37 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
3819, 37sseldi 3962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
39 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
4039, 4mgpbas 19174 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
41 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑍) = (.r𝑍)
4239, 41mgpplusg 19172 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44 cnfldmul 20479 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
4543, 44mgpplusg 19172 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4640, 42, 45mhmlin 17951 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4831, 47oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
49 1cnd 10624 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 ∈ ℂ)
5018adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5150, 36ffvelrnd 6844 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
5250, 38ffvelrnd 6844 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 25753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
5435, 53mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 25753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑦𝑈))
5637, 55mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ≠ 0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 11445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
5848, 57eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))))
5932, 6sseldi 3962 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
60 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6139, 60ringidval 19182 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
62 cnfld1 20498 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
6343, 62ringidval 19182 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6461, 63mhm0 17952 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6665oveq2d 7161 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11318 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67syl6eq 2869 . . . 4 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 25742 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2914 . 2 (𝜑𝐾𝐷)
71 dchrmulid2.t . . . 4 · = (+g𝐺)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 25751 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐾f · 𝑋))
734fvexi 6677 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
75 ovex 7178 . . . . . . 7 (1 / (𝑋𝑘)) ∈ V
76 c0ex 10623 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4511 . . . . . 6 if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V)
7918ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
801a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)))
8118feqmptd 6726 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7415 . . . 4 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
83 ovif 7240 . . . . . . 7 (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘)))
8479adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
856adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑋𝐷)
86 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
872, 3, 7, 4, 5, 85, 86dchrn0 25753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
8887biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
8984, 88recid2d 11400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)) = 1)
9089ifeq1da 4493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))))
9179mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 · (𝑋𝑘)) = 0)
9291ifeq2d 4482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9390, 92eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9483, 93syl5eq 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9594mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
96 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
9795, 96syl6reqr 2872 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
9882, 97eqtr4d 2856 . . 3 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 512 1 (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  ifcif 4463  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  cn 11626  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554   MndHom cmhm 17942  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  Unitcui 19318  fldccnfld 20473  ℤ/nczn 20578  DChrcdchr 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zn 20582  df-dchr 25736
This theorem is referenced by:  dchrabl  25757
  Copyright terms: Public domain W3C validator