Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinvcl 25941
 Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchrmulid2.t · = (+g𝐺)
dchrmulid2.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   · (𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrn0.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6 dchrmulid2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
82, 7dchrrcl 25928 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑥))
1110oveq2d 7171 . . . 4 (𝑘 = 𝑥 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑥)))
12 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑦))
1312oveq2d 7171 . . . 4 (𝑘 = 𝑦 → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋𝑦)))
14 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
1514oveq2d 7171 . . . 4 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))))
16 fveq2 6662 . . . . 5 (𝑘 = (1r𝑍) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(1r𝑍)))
1716oveq2d 7171 . . . 4 (𝑘 = (1r𝑍) → (1 / (𝑋𝑘)) = (1 / (𝑋‘(1r𝑍))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 25930 . . . . . 6 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
194, 5unitss 19486 . . . . . . 7 𝑈𝐵
2019sseli 3890 . . . . . 6 (𝑘𝑈𝑘𝐵)
21 ffvelrn 6845 . . . . . 6 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
2218, 20, 21syl2an 598 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
23 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
246adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑋𝐷)
2520adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐵)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 25938 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
2723, 26mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
2822, 27reccld 11452 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (1 / (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
29 1t1e1 11841 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
3029eqcomi 2767 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 = (1 · 1))
322, 3, 7dchrmhm 25929 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
336adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋𝐷)
3432, 33sseldi 3892 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
35 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
3619, 35sseldi 3892 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
37 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
3819, 37sseldi 3892 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
39 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
4039, 4mgpbas 19318 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
41 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (.r𝑍) = (.r𝑍)
4239, 41mgpplusg 19316 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
44 cnfldmul 20177 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
4543, 44mgpplusg 19316 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4640, 42, 45mhmlin 18034 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
4831, 47oveq12d 7173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
49 1cnd 10679 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 ∈ ℂ)
5018adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5150, 36ffvelrnd 6848 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
5250, 38ffvelrnd 6848 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 25938 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥𝑈))
5435, 53mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 25938 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑦) ≠ 0 ↔ 𝑦𝑈))
5637, 55mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋𝑦) ≠ 0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 11500 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))) = ((1 · 1) / ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
5848, 57eqtr4d 2796 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (1 / (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦))) = ((1 / (𝑋𝑥)) · (1 / (𝑋𝑦))))
5932, 6sseldi 3892 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
60 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (1r𝑍) = (1r𝑍)
6139, 60ringidval 19326 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
62 cnfld1 20196 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
6343, 62ringidval 19326 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6461, 63mhm0 18035 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
6665oveq2d 7171 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11373 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2809 . . . 4 (𝜑 → (1 / (𝑋‘(1r𝑍))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 25927 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2856 . 2 (𝜑𝐾𝐷)
71 dchrmulid2.t . . . 4 · = (+g𝐺)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 25936 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = (𝐾f · 𝑋))
734fvexi 6676 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
75 ovex 7188 . . . . . . 7 (1 / (𝑋𝑘)) ∈ V
76 c0ex 10678 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4473 . . . . . 6 if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) ∈ V)
7918ffvelrnda 6847 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
801a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0)))
8118feqmptd 6725 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑘𝐵 ↦ (𝑋𝑘)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7429 . . . 4 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
84 ovif 7250 . . . . . . 7 (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘)))
8579adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
866adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑋𝐷)
87 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 25938 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑋𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘𝑈))
8988biimpar 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → (𝑋𝑘) ≠ 0)
9085, 89recid2d 11455 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑘𝑈) → ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)) = 1)
9190ifeq1da 4454 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))))
9279mul02d 10881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 · (𝑋𝑘)) = 0)
9392ifeq2d 4443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, 1, (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝑈, ((1 / (𝑋𝑘)) · (𝑋𝑘)), (0 · (𝑋𝑘))) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9584, 94syl5eq 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘)) = if(𝑘𝑈, 1, 0))
9695mpteq2dva 5130 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))) = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2812 . . . 4 (𝜑1 = (𝑘𝐵 ↦ (if(𝑘𝑈, (1 / (𝑋𝑘)), 0) · (𝑋𝑘))))
9882, 97eqtr4d 2796 . . 3 (𝜑 → (𝐾f · 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2793 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 515 1 (𝜑 → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 · 𝑋) = 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409  ifcif 4423   ↦ cmpt 5115  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∘f cof 7408  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   · cmul 10585   / cdiv 11340  ℕcn 11679  Basecbs 16546  +gcplusg 16628  .rcmulr 16629   MndHom cmhm 18025  mulGrpcmgp 19312  1rcur 19324  Unitcui 19465  ℂfldccnfld 20171  ℤ/nℤczn 20277  DChrcdchr 25920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-0g 16778  df-imas 16844  df-qus 16845  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-nsg 18349  df-eqg 18350  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-lidl 20019  df-rsp 20020  df-2idl 20078  df-cnfld 20172  df-zring 20244  df-zn 20281  df-dchr 25921 This theorem is referenced by:  dchrabl  25942
 Copyright terms: Public domain W3C validator