MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrinvcl 27141
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐾(π‘˜)
Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
82, 7dchrrcl 27128 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
96, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘₯))
1110oveq2d 7421 . . . 4 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘₯)))
12 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘¦))
1312oveq2d 7421 . . . 4 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘¦)))
14 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)))
1514oveq2d 7421 . . . 4 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
16 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
1716oveq2d 7421 . . . 4 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 27130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
194, 5unitss 20278 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2019sseli 3973 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
21 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2218, 20, 21syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
246adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2520adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 27138 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2723, 26mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
2822, 27reccld 11987 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 1t1e1 12378 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
3029eqcomi 2735 . . . . . . 7 1 = (1 Β· 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
322, 3, 7dchrmhm 27129 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
336adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3432, 33sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
35 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3619, 35sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
37 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3819, 37sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
39 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
4039, 4mgpbas 20045 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
41 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
4239, 41mgpplusg 20043 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
43 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
44 cnfldmul 21248 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4543, 44mgpplusg 20043 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
4640, 42, 45mhmlin 18723 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4831, 47oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
49 1cnd 11213 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5018adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
5150, 36ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5250, 38ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 27138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
5435, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 27138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
5637, 55mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 12035 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
5848, 57eqtr4d 2769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))))
5932, 6sselid 3975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
60 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
6139, 60ringidval 20088 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
62 cnfld1 21282 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6343, 62ringidval 20088 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6461, 63mhm0 18724 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6665oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11908 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 27127 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
71 dchrmullid.t . . . 4 Β· = (+gβ€˜πΊ)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 27136 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = (𝐾 ∘f Β· 𝑋))
734fvexi 6899 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
75 ovex 7438 . . . . . . 7 (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ V
76 c0ex 11212 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4573 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V)
7918ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
801a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)))
8118feqmptd 6954 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7687 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
84 ovif 7502 . . . . . . 7 (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
8579adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
866adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 27138 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
8988biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
9085, 89recid2d 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 1)
9190ifeq1da 4554 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9279mul02d 11416 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 0)
9392ifeq2d 4543 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9584, 94eqtrid 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9695mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9882, 97eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207   MndHom cmhm 18711  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Unitcui 20257  β„‚fldccnfld 21240  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zn 21393  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrabl  27142
  Copyright terms: Public domain W3C validator