MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrinvcl 27204
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐾(π‘˜)

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
82, 7dchrrcl 27191 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
96, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘₯))
1110oveq2d 7432 . . . 4 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘₯)))
12 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘¦))
1312oveq2d 7432 . . . 4 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘¦)))
14 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)))
1514oveq2d 7432 . . . 4 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
16 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
1716oveq2d 7432 . . . 4 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 27193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
194, 5unitss 20319 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2019sseli 3968 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
21 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2218, 20, 21syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
246adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2520adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 27201 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2723, 26mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
2822, 27reccld 12013 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 1t1e1 12404 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
3029eqcomi 2734 . . . . . . 7 1 = (1 Β· 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
322, 3, 7dchrmhm 27192 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
336adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3432, 33sselid 3970 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
35 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3619, 35sselid 3970 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
37 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3819, 37sselid 3970 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
39 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
4039, 4mgpbas 20084 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
41 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
4239, 41mgpplusg 20082 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
43 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
44 cnfldmul 21291 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4543, 44mgpplusg 20082 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
4640, 42, 45mhmlin 18749 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4831, 47oveq12d 7434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
49 1cnd 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5018adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
5150, 36ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5250, 38ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 27201 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
5435, 53mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 27201 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
5637, 55mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 12061 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
5848, 57eqtr4d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))))
5932, 6sselid 3970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
60 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
6139, 60ringidval 20127 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
62 cnfld1 21325 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6343, 62ringidval 20127 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6461, 63mhm0 18750 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6665oveq2d 7432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11934 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 27190 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
71 dchrmullid.t . . . 4 Β· = (+gβ€˜πΊ)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 27199 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = (𝐾 ∘f Β· 𝑋))
734fvexi 6906 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
75 ovex 7449 . . . . . . 7 (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ V
76 c0ex 11238 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4574 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V)
7918ffvelcdmda 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
801a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)))
8118feqmptd 6962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7702 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
84 ovif 7515 . . . . . . 7 (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
8579adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
866adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 27201 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
8988biimpar 476 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
9085, 89recid2d 12016 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 1)
9190ifeq1da 4555 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9279mul02d 11442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 0)
9392ifeq2d 4544 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9584, 94eqtrid 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9695mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9882, 97eqtr4d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  ifcif 4524   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   / cdiv 11901  β„•cn 12242  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233   MndHom cmhm 18737  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Unitcui 20298  β„‚fldccnfld 21283  β„€/nβ„€czn 21432  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zn 21436  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrabl  27205
  Copyright terms: Public domain W3C validator