MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrinvcl 26753
Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchrmullid.t Β· = (+gβ€˜πΊ)
dchrmullid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinvcl.n 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   Β· (π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐾(π‘˜)
Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0))
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchrmullid.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
7 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
82, 7dchrrcl 26740 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
96, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘₯))
1110oveq2d 7424 . . . 4 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘₯)))
12 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘¦))
1312oveq2d 7424 . . . 4 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜π‘¦)))
14 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)))
1514oveq2d 7424 . . . 4 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))))
16 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
1716oveq2d 7424 . . . 4 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) = (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))))
182, 3, 7, 4, 6dchrf 26742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
194, 5unitss 20189 . . . . . . 7 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2019sseli 3978 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ π‘ˆ β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
21 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2218, 20, 21syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
246adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2520adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 26750 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
2723, 26mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
2822, 27reccld 11982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 1t1e1 12373 . . . . . . . 8 (1 Β· 1) = 1
3029eqcomi 2741 . . . . . . 7 1 = (1 Β· 1)
3130a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
322, 3, 7dchrmhm 26741 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
336adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
3432, 33sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
35 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3619, 35sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
37 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3819, 37sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
39 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
4039, 4mgpbas 19992 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
41 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
4239, 41mgpplusg 19990 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
43 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
44 cnfldmul 20949 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4543, 44mgpplusg 19990 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
4640, 42, 45mhmlin 18678 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4734, 36, 38, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
4831, 47oveq12d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
49 1cnd 11208 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5018adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
5150, 36ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5250, 38ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 26750 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
5435, 53mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 26750 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0 ↔ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
5637, 55mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) β‰  0)
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 12030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((1 Β· 1) / ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
5848, 57eqtr4d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (1 / (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦))) = ((1 / (π‘‹β€˜π‘₯)) Β· (1 / (π‘‹β€˜π‘¦))))
5932, 6sselid 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
60 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
6139, 60ringidval 20005 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
62 cnfld1 20969 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6343, 62ringidval 20005 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6461, 63mhm0 18679 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6559, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
6665oveq2d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = (1 / 1))
67 1div1e1 11903 . . . . 5 (1 / 1) = 1
6866, 67eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘))) = 1)
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 26739 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)) ∈ 𝐷)
701, 69eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
71 dchrmullid.t . . . 4 Β· = (+gβ€˜πΊ)
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 26748 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = (𝐾 ∘f Β· 𝑋))
734fvexi 6905 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
75 ovex 7441 . . . . . . 7 (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) ∈ V
76 c0ex 11207 . . . . . . 7 0 ∈ V
7775, 76ifex 4578 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V
7877a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) ∈ V)
7918ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
801a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0)))
8118feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‹β€˜π‘˜)))
8274, 78, 79, 80, 81offval2 7689 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
83 dchr1cl.o . . . . 5 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
84 ovif 7505 . . . . . . 7 (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)))
8579adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
866adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 26750 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ ∈ π‘ˆ))
8988biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  0)
9085, 89recid2d 11985 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 1)
9190ifeq1da 4559 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9279mul02d 11411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = 0)
9392ifeq2d 4548 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9491, 93eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, ((1 / (π‘‹β€˜π‘˜)) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)), (0 Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9584, 94eqtrid 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜)) = if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
9695mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)))
9783, 96eqtr4id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ (if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, (1 / (π‘‹β€˜π‘˜)), 0) Β· (π‘‹β€˜π‘˜))))
9882, 97eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∘f Β· 𝑋) = 1 )
9972, 98eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 )
10070, 99jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 Β· 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11870  β„•cn 12211  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197   MndHom cmhm 18668  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Unitcui 20168  β„‚fldccnfld 20943  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zn 21055  df-dchr 26733
This theorem is referenced by:  dchrabl  26754
  Copyright terms: Public domain W3C validator