Theorem dchrzrh1 27419

Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrh1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Proof of Theorem dchrzrh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrzrh1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	dchrrcl 27415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	7	zncrng 21705	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20333	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
12	10, 11	zrh1 21673	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
13	6, 8, 9, 12	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
14	13	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
15	2, 7, 3	dchrmhm 27416	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
16	15, 1	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
18	17, 11	ringidval 20271	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfld1 21558	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	19, 20	ringidval 20271	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	18, 21	mhm0 18858	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
23	16, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
24	14, 23	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275   MndHom cmhm 18845  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  ℂ_fldccnfld 21533  ℤRHomczrh 21660  ℤ/nℤczn 21663  DChrcdchr 27407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-zn 21667  df-dchr 27408

This theorem is used by:  dchrmusum2  27669  dchrvmasum2lem  27671