Theorem dchrzrh1 27232

Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrh1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Proof of Theorem dchrzrh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrzrh1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	dchrrcl 27228	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	7	zncrng 21526	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20224	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
12	10, 11	zrh1 21494	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
13	6, 8, 9, 12	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
14	13	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
15	2, 7, 3	dchrmhm 27229	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
16	15, 1	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
17		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
18	17, 11	ringidval 20162	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfld1 21379	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	19, 20	ringidval 20162	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	18, 21	mhm0 18760	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
24	14, 23	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177   MndHom cmhm 18747  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  ℂ_fldccnfld 21354  ℤRHomczrh 21481  ℤ/nℤczn 21484  DChrcdchr 27220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-imas 17470  df-qus 17471  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-nsg 19098  df-eqg 19099  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-2idl 21250  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-zn 21488  df-dchr 27221

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27482  dchrvmasum2lem  27484