Theorem dchrzrh1 27132

Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrh1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Proof of Theorem dchrzrh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrzrh1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	dchrrcl 27128	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	7	zncrng 21439	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20150	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
12	10, 11	zrh1 21399	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
13	6, 8, 9, 12	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
14	13	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
15	2, 7, 3	dchrmhm 27129	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
16	15, 1	sselid 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
18	17, 11	ringidval 20088	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
19		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfld1 21282	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	19, 20	ringidval 20088	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	18, 21	mhm0 18724	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
24	14, 23	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17153   MndHom cmhm 18711  mulGrpcmgp 20039  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  ℂ_fldccnfld 21240  ℤRHomczrh 21386  ℤ/nℤczn 21389  DChrcdchr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-dchr 27121

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27382  dchrvmasum2lem  27384