Theorem dchrzrh1 27164

Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrh1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Proof of Theorem dchrzrh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrzrh1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	dchrrcl 27160	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		dchrmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	7	zncrng 21465	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20176	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10		dchrelbas4.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
12	10, 11	zrh1 21425	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
13	6, 8, 9, 12	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
14	13	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
15	2, 7, 3	dchrmhm 27161	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
16	15, 1	sselid 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
17		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
18	17, 11	ringidval 20114	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
19		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfld1 21308	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	19, 20	ringidval 20114	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	18, 21	mhm0 18742	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
23	16, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
24	14, 23	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  Basecbs 17171   MndHom cmhm 18729  mulGrpcmgp 20065  1_rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  ℂ_fldccnfld 21266  ℤRHomczrh 21412  ℤ/nℤczn 21415  DChrcdchr 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-dchr 27153

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27414  dchrvmasum2lem  27416