MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 27314
Description: Lemma for sumdchr 27316. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr2.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr2.1 1 = (1r𝑍)
sumdchr2.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr2.x (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2749 . 2 ((♯‘𝐷) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷) ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
2 eqeq2 2749 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0 ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
3 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝑥𝐴) = (𝑥1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
74, 5, 6dchrmhm 27285 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
97, 8sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑍)
1210, 11ringidval 20180 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
14 cnfld1 21406 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
1513, 14ringidval 20180 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
1612, 15mhm0 18807 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑥1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2799 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) → (𝑥𝐴) = 1)
1918an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 1 ) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) = 1)
2019sumeq2dv 15738 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑥𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
224, 6dchrfi 27299 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
25 fsumconst 15826 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
27 hashcl 14395 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
3029mulridd 11278 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐷) · 1) = (♯‘𝐷))
3126, 30eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3320, 32eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷))
34 df-ne 2941 . . 3 (𝐴1 ↔ ¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
3621adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
37 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴𝐵)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 27311 . . . 4 ((𝜑𝐴1 ) → ∃𝑦𝐷 (𝑦𝐴) ≠ 1)
4136adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 27286 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
4539adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐴𝐵)
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
4744, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
4842, 47fsumcl 15769 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
49 0cnd 11254 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
50 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 27286 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
5251, 45ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
53 subcl 11507 . . . . . 6 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
5452, 24, 53sylancl 586 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ≠ 1)
56 subeq0 11535 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5752, 24, 56sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5857necon3bid 2985 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑦𝐴) ≠ 1))
5955, 58mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0)
60 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
6160fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴))
6261cbvsumv 15732 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴)
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 27292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦f · 𝑥))
6665fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴))
6751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
6867ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦 Fn 𝐵)
6944ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 Fn 𝐵)
7035fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐵 ∈ V)
72 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐵𝑥 Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7368, 69, 71, 46, 72syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7466, 73eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7574sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7662, 75eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
77 fveq1 6905 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
784dchrabl 27298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
79 ablgrp 19803 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8041, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐺 ∈ Grp)
81 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))) = (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
8281, 6, 63grplactf1o 19062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8380, 50, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8481, 6grplactval 19060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8550, 84sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8677, 42, 83, 85, 47fsumf1o 15759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
8742, 52, 47fsummulc2 15820 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
8876, 86, 873eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
8948mullidd 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9088, 89oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)))
9148subidd 11608 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = 0)
9290, 91eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = 0)
9324a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
9452, 93, 48subdird 11720 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))))
9554mul01d 11460 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · 0) = 0)
9692, 94, 953eqtr4d 2787 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) − 1) · 0))
9748, 49, 54, 59, 96mulcanad 11898 . . . 4 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
9840, 97rexlimddv 3161 . . 3 ((𝜑𝐴1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
9934, 98sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
1001, 2, 33, 99ifbothda 4564 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  ifcif 4525  cmpt 5225   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  chash 14369  Σcsu 15722  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951  Abelcabl 19799  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  fldccnfld 21364  ℤ/nczn 21513  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-ga 19308  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-od 19546  df-gex 19547  df-pgp 19548  df-lsm 19654  df-pj1 19655  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-cyg 19896  df-dprd 20015  df-dpj 20016  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333  df-log 26598  df-cxp 26599  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrhash  27315  sumdchr  27316
  Copyright terms: Public domain W3C validator