MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 26618
Description: Lemma for sumdchr 26620. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sumdchr2.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sumdchr2.1 1 = (1rβ€˜π‘)
sumdchr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sumdchr2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sumdchr2.x (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯, 1   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2748 . 2 ((β™―β€˜π·) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·) ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
2 eqeq2 2748 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0 ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
3 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝐴 = 1 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘₯β€˜ 1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
74, 5, 6dchrmhm 26589 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
97, 8sselid 3942 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
10 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘)
1210, 11ringidval 19915 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
13 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
14 cnfld1 20822 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
1513, 14ringidval 19915 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
1612, 15mhm0 18610 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2798 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
1918an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
2019sumeq2dv 15588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
224, 6dchrfi 26603 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
25 fsumconst 15675 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
27 hashcl 14256 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2928nn0cnd 12475 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3029mulid1d 11172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π·) Β· 1) = (β™―β€˜π·))
3126, 30eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3231adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3320, 32eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·))
34 df-ne 2944 . . 3 (𝐴 β‰  1 ↔ Β¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
3621adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
37 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 β‰  1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3938adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 26615 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
4136adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 26590 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
4539adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4744, 46ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
4842, 47fsumcl 15618 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
49 0cnd 11148 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 26590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
5251, 45ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚)
53 subcl 11400 . . . . . 6 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5452, 24, 53sylancl 586 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
55 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
56 subeq0 11427 . . . . . . . 8 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5752, 24, 56sylancl 586 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5857necon3bid 2988 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1))
5955, 58mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0)
60 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
6160fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄))
6261cbvsumv 15581 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄)
63 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 26596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
6665fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄))
6751adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
6867ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐡)
6944ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ Fn 𝐡)
7035fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ V)
72 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐡 ∧ π‘₯ Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7368, 69, 71, 46, 72syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7466, 73eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7574sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7662, 75eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
77 fveq1 6841 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
784dchrabl 26602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
79 ablgrp 19567 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8041, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏))) = (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))
8281, 6, 63grplactf1o 18851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8380, 50, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8481, 6grplactval 18849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8550, 84sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8677, 42, 83, 85, 47fsumf1o 15608 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
8742, 52, 47fsummulc2 15669 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
8876, 86, 873eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
8948mulid2d 11173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
9088, 89oveq12d 7375 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)))
9148subidd 11500 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = 0)
9290, 91eqtrd 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = 0)
9324a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
9452, 93, 48subdird 11612 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))))
9554mul01d 11354 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
9692, 94, 953eqtr4d 2786 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0))
9748, 49, 54, 59, 96mulcanad 11790 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9840, 97rexlimddv 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9934, 98sylan2br 595 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
1001, 2, 33, 99ifbothda 4524 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6491  βŸΆwf 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6495  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘f cof 7615  Fincfn 8883  β„‚cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   Β· cmul 11056   βˆ’ cmin 11385  β„•cn 12153  β„•0cn0 12413  β™―chash 14230  Ξ£csu 15570  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   MndHom cmhm 18599  Grpcgrp 18748  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  β„‚fldccnfld 20796  β„€/nβ„€czn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-rpss 7660  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-ga 19070  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-od 19310  df-gex 19311  df-pgp 19312  df-lsm 19418  df-pj1 19419  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-cyg 19655  df-dprd 19774  df-dpj 19775  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrhash  26619  sumdchr  26620
  Copyright terms: Public domain W3C validator