MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 27329
Description: Lemma for sumdchr 27331. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr2.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr2.1 1 = (1r𝑍)
sumdchr2.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr2.x (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2747 . 2 ((♯‘𝐷) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷) ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
2 eqeq2 2747 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0 ↔ Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0)))
3 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝑥𝐴) = (𝑥1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
74, 5, 6dchrmhm 27300 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
97, 8sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
10 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑍)
1210, 11ringidval 20201 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
13 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
14 cnfld1 21424 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
1513, 14ringidval 20201 . . . . . . . 8 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
1612, 15mhm0 18820 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑥1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2797 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) → (𝑥𝐴) = 1)
1918an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 1 ) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) = 1)
2019sumeq2dv 15735 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑥𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
224, 6dchrfi 27314 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
25 fsumconst 15823 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = ((♯‘𝐷) · 1))
27 hashcl 14392 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12587 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
3029mulridd 11276 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐷) · 1) = (♯‘𝐷))
3126, 30eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 1 = (♯‘𝐷))
3320, 32eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = (♯‘𝐷))
34 df-ne 2939 . . 3 (𝐴1 ↔ ¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
3621adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
37 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴1 ) → 𝐴𝐵)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 27326 . . . 4 ((𝜑𝐴1 ) → ∃𝑦𝐷 (𝑦𝐴) ≠ 1)
4136adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 27301 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
4539adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐴𝐵)
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
4744, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
4842, 47fsumcl 15766 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
49 0cnd 11252 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
50 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 27301 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
5251, 45ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ∈ ℂ)
53 subcl 11505 . . . . . 6 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
5452, 24, 53sylancl 586 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (𝑦𝐴) ≠ 1)
56 subeq0 11533 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5752, 24, 56sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) = 0 ↔ (𝑦𝐴) = 1))
5857necon3bid 2983 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑦𝐴) ≠ 1))
5955, 58mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) − 1) ≠ 0)
60 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
6160fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴))
6261cbvsumv 15729 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴)
63 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 27307 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦f · 𝑥))
6665fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴))
6751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦:𝐵⟶ℂ)
6867ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑦 Fn 𝐵)
6944ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 Fn 𝐵)
7035fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐵 ∈ V)
72 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐵𝑥 Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7368, 69, 71, 46, 72syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦f · 𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7466, 73eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7574sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑥)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
7662, 75eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
77 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
784dchrabl 27313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
79 ablgrp 19818 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8041, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 𝐺 ∈ Grp)
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))) = (𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
8281, 6, 63grplactf1o 19075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8380, 50, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
8481, 6grplactval 19073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8550, 84sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) ∧ 𝑧𝐷) → (((𝑎𝐷 ↦ (𝑏𝐷 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))‘𝑦)‘𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
8677, 42, 83, 85, 47fsumf1o 15756 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = Σ𝑧𝐷 ((𝑦(+g𝐺)𝑧)‘𝐴))
8742, 52, 47fsummulc2 15817 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑦𝐴) · (𝑥𝐴)))
8876, 86, 873eqtr4rd 2786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → ((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
8948mullidd 11277 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))
9088, 89oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)))
9148subidd 11606 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) − Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = 0)
9290, 91eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))) = 0)
9324a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
9452, 93, 48subdird 11718 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) − (1 · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴))))
9554mul01d 11458 . . . . . 6 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · 0) = 0)
9692, 94, 953eqtr4d 2785 . . . . 5 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → (((𝑦𝐴) − 1) · Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴)) = (((𝑦𝐴) − 1) · 0))
9748, 49, 54, 59, 96mulcanad 11896 . . . 4 (((𝜑𝐴1 ) ∧ (𝑦𝐷 ∧ (𝑦𝐴) ≠ 1)) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
9840, 97rexlimddv 3159 . . 3 ((𝜑𝐴1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
9934, 98sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 1 ) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = 0)
1001, 2, 33, 99ifbothda 4569 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  ifcif 4531  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  chash 14366  Σcsu 15719  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  fldccnfld 21382  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-ga 19321  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-od 19561  df-gex 19562  df-pgp 19563  df-lsm 19669  df-pj1 19670  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-cyg 19911  df-dprd 20030  df-dpj 20031  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-quot 26348  df-log 26613  df-cxp 26614  df-dchr 27292
This theorem is referenced by:  dchrhash  27330  sumdchr  27331
  Copyright terms: Public domain W3C validator