MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 27231
Description: Lemma for sumdchr 27233. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sumdchr2.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sumdchr2.1 1 = (1rβ€˜π‘)
sumdchr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sumdchr2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sumdchr2.x (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯, 1   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2740 . 2 ((β™―β€˜π·) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·) ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
2 eqeq2 2740 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0 ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
3 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝐴 = 1 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘₯β€˜ 1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
74, 5, 6dchrmhm 27202 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
8 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
97, 8sselid 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
10 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘)
1210, 11ringidval 20137 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
13 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
14 cnfld1 21335 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
1513, 14ringidval 20137 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
1612, 15mhm0 18760 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2790 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
1918an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
2019sumeq2dv 15691 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
224, 6dchrfi 27216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 11206 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
25 fsumconst 15778 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
2623, 24, 25sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
27 hashcl 14357 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2928nn0cnd 12574 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3029mulridd 11271 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π·) Β· 1) = (β™―β€˜π·))
3126, 30eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3231adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3320, 32eqtrd 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·))
34 df-ne 2938 . . 3 (𝐴 β‰  1 ↔ Β¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
3621adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
37 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 β‰  1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3938adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 27228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
4136adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 27203 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
4539adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4645adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4744, 46ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
4842, 47fsumcl 15721 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
49 0cnd 11247 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
50 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 27203 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
5251, 45ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚)
53 subcl 11499 . . . . . 6 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5452, 24, 53sylancl 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
55 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
56 subeq0 11526 . . . . . . . 8 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5752, 24, 56sylancl 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5857necon3bid 2982 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1))
5955, 58mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0)
60 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
6160fveq1d 6904 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄))
6261cbvsumv 15684 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄)
63 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6450adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 27209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
6665fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄))
6751adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
6867ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐡)
6944ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ Fn 𝐡)
7035fvexi 6916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ V)
72 fnfvof 7709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐡 ∧ π‘₯ Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7368, 69, 71, 46, 72syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7466, 73eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7574sumeq2dv 15691 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7662, 75eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
77 fveq1 6901 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
784dchrabl 27215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
79 ablgrp 19754 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8041, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
81 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏))) = (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))
8281, 6, 63grplactf1o 19014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8380, 50, 82syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8481, 6grplactval 19012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8550, 84sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8677, 42, 83, 85, 47fsumf1o 15711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
8742, 52, 47fsummulc2 15772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
8876, 86, 873eqtr4rd 2779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
8948mullidd 11272 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
9088, 89oveq12d 7444 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)))
9148subidd 11599 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = 0)
9290, 91eqtrd 2768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = 0)
9324a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
9452, 93, 48subdird 11711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))))
9554mul01d 11453 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
9692, 94, 953eqtr4d 2778 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0))
9748, 49, 54, 59, 96mulcanad 11889 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9840, 97rexlimddv 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9934, 98sylan2br 593 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
1001, 2, 33, 99ifbothda 4570 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690  Fincfn 8972  β„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   Β· cmul 11153   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β™―chash 14331  Ξ£csu 15674  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   MndHom cmhm 18747  Grpcgrp 18904  Abelcabl 19750  mulGrpcmgp 20088  1rcur 20135  β„‚fldccnfld 21293  β„€/nβ„€czn 21442  DChrcdchr 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-rpss 7736  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-phi 16744  df-pc 16815  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-qus 17500  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-ga 19255  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-od 19497  df-gex 19498  df-pgp 19499  df-lsm 19605  df-pj1 19606  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-cyg 19847  df-dprd 19966  df-dpj 19967  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-0p 25627  df-limc 25823  df-dv 25824  df-ply 26150  df-idp 26151  df-coe 26152  df-dgr 26153  df-quot 26254  df-log 26518  df-cxp 26519  df-dchr 27194
This theorem is referenced by:  dchrhash  27232  sumdchr  27233
  Copyright terms: Public domain W3C validator