MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdchr2 27158
Description: Lemma for sumdchr 27160. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sumdchr2.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sumdchr2.1 1 = (1rβ€˜π‘)
sumdchr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sumdchr2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sumdchr2.x (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sumdchr2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯, 1   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2738 . 2 ((β™―β€˜π·) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·) ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
2 eqeq2 2738 . 2 (0 = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0 ↔ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0)))
3 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝐴 = 1 β†’ (π‘₯β€˜π΄) = (π‘₯β€˜ 1 ))
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
74, 5, 6dchrmhm 27129 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
97, 8sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
10 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘)
1210, 11ringidval 20088 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
13 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
14 cnfld1 21282 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
1513, 14ringidval 20088 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
1612, 15mhm0 18724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
179, 16syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜ 1 ) = 1)
183, 17sylan9eqr 2788 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
1918an32s 649 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = 1)
2019sumeq2dv 15655 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1)
21 sumdchr2.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
224, 6dchrfi 27143 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
24 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
25 fsumconst 15742 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
2623, 24, 25sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = ((β™―β€˜π·) Β· 1))
27 hashcl 14321 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
2928nn0cnd 12538 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3029mulridd 11235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π·) Β· 1) = (β™―β€˜π·))
3126, 30eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 1 = (β™―β€˜π·))
3320, 32eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = (β™―β€˜π·))
34 df-ne 2935 . . 3 (𝐴 β‰  1 ↔ Β¬ 𝐴 = 1 )
35 sumdchr2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
3621adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
37 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 β‰  1 )
38 sumdchr2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3938adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 27155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
4136adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4241, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
43 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
444, 5, 6, 35, 43dchrf 27130 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
4539adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4744, 46ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
4842, 47fsumcl 15685 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) ∈ β„‚)
49 0cnd 11211 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
50 simprl 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
514, 5, 6, 35, 50dchrf 27130 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
5251, 45ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚)
53 subcl 11463 . . . . . 6 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5452, 24, 53sylancl 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
55 simprr 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)
56 subeq0 11490 . . . . . . . 8 (((π‘¦β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5752, 24, 56sylancl 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) = 1))
5857necon3bid 2979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1))
5955, 58mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) β‰  0)
60 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
6160fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄))
6261cbvsumv 15648 . . . . . . . . . 10 Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄)
63 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
654, 5, 6, 63, 64, 43dchrmul 27136 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
6665fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄))
6751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦:π΅βŸΆβ„‚)
6867ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐡)
6944ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ Fn 𝐡)
7035fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ V)
72 fnfvof 7684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Fn 𝐡 ∧ π‘₯ Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7368, 69, 71, 46, 72syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∘f Β· π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7466, 73eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7574sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
7662, 75eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
77 fveq1 6884 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) β†’ (π‘₯β€˜π΄) = ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
784dchrabl 27142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
79 ablgrp 19705 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8041, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
81 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏))) = (π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))
8281, 6, 63grplactf1o 18972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8380, 50, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦):𝐷–1-1-onto→𝐷)
8481, 6grplactval 18970 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8550, 84sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐷 ↦ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)))β€˜π‘¦)β€˜π‘§) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧))
8677, 42, 83, 85, 47fsumf1o 15675 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = Σ𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)β€˜π΄))
8742, 52, 47fsummulc2 15736 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘¦β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜π΄)))
8876, 86, 873eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ ((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
8948mullidd 11236 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))
9088, 89oveq12d 7423 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)))
9148subidd 11563 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) βˆ’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = 0)
9290, 91eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))) = 0)
9324a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
9452, 93, 48subdird 11675 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄))))
9554mul01d 11417 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
9692, 94, 953eqtr4d 2776 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄)) = (((π‘¦β€˜π΄) βˆ’ 1) Β· 0))
9748, 49, 54, 59, 96mulcanad 11853 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (π‘¦β€˜π΄) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9840, 97rexlimddv 3155 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
9934, 98sylan2br 594 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 1 ) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = 0)
1001, 2, 33, 99ifbothda 4561 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π΄) = if(𝐴 = 1 , (β™―β€˜π·), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β™―chash 14295  Ξ£csu 15638  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   MndHom cmhm 18711  Grpcgrp 18863  Abelcabl 19701  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  β„‚fldccnfld 21240  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-ga 19206  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-od 19448  df-gex 19449  df-pgp 19450  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-cyg 19798  df-dprd 19917  df-dpj 19918  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ply 26077  df-idp 26078  df-coe 26079  df-dgr 26080  df-quot 26181  df-log 26445  df-cxp 26446  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrhash  27159  sumdchr  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator