Theorem mon1pldg 26215

Description: Unitic polynomials have one leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pldg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mon1pldg.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Proof of Theorem mon1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		mon1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		mon1pldg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		mon1pldg.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26208	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
8	7	simp3bi 1148	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  1_rcur 20208  Poly₁cpl1 22203  coe₁cco1 22204  deg₁cdg1 26119  Monic_1pcmn1 26191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-1cn 11220  ax-addcl 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-nn 12274  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-mon1 26196

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26216  deg1submon1p  26218  m1pmeq  33620  mon1psubm  43204