Theorem mon1pldg 26211

Description: Unitic polynomials have one leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pldg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mon1pldg.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Proof of Theorem mon1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		mon1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		mon1pldg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		mon1pldg.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26204	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
8	7	simp3bi 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  0_gc0g 17469  1_rcur 20232  Poly₁cpl1 22240  coe₁cco1 22241  deg₁cdg1 26115  Monic_1pcmn1 26187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-1cn 11132  ax-addcl 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-nn 12212  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-mon1 26192

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26212  deg1submon1p  26214  m1pmeq  33782  mon1psubm  43777