Theorem mon1pldg 26483

Description: Unitic polynomials have one leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pldg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mon1pldg.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Proof of Theorem mon1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		mon1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		mon1pldg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		mon1pldg.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26476	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
8	7	simp3bi 1165	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  0_gc0g 17625  1_rcur 20422  Poly₁cpl1 22510  coe₁cco1 22511  deg₁cdg1 26387  Monic_1pcmn1 26459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-1cn 11271  ax-addcl 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-nn 12349  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-mon1 26464

This theorem is used by:  mon1puc1p  26484  deg1submon1p  26486  m1pmeq  34173  mon1psubm  44347