Theorem mon1pldg 26134

Description: Unitic polynomials have one leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pldg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mon1pldg.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Proof of Theorem mon1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		mon1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		mon1pldg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		mon1pldg.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26127	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
8	7	simp3bi 1153	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6486  Basecbs 17171  0_gc0g 17394  1_rcur 20154  Poly₁cpl1 22163  coe₁cco1 22164  deg₁cdg1 26038  Monic_1pcmn1 26110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-nn 12167  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-mon1 26115

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26135  deg1submon1p  26137  m1pmeq  33677  mon1psubm  43653