Theorem mon1puc1p 25311

Description: Monic polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1puc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
mon1puc1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1puc1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mon1puc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		mon1puc1p.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 25305	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7	1, 6, 3	mon1pn0 25307	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10, 3	mon1pldg 25310	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
13		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14	13, 10	1unit 19896	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
16	12, 15	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
17		mon1puc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	1, 2, 6, 9, 17, 13	isuc1p 25301	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)))
19	5, 8, 16, 18	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ‘cfv 6431  Basecbs 16908  0_gc0g 17146  1_rcur 19733  Ringcrg 19779  Unitcui 19877  Poly₁cpl1 21344  coe₁cco1 21345   deg₁ cdg1 25212  Monic_1pcmn1 25286  Unic_1pcuc1p 25287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-mon1 25291  df-uc1p 25292

This theorem is referenced by:  ply1rem  25324  facth1  25325  fta1glem1  25326  fta1glem2  25327  ig1pdvds  25337