Theorem mon1puc1p 25428

Description: Monic polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1puc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
mon1puc1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1puc1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mon1puc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		mon1puc1p.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 25422	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
5	4	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7	1, 6, 3	mon1pn0 25424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
8	7	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10, 3	mon1pldg 25427	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
12	11	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14	13, 10	1unit 20002	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	14	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
16	12, 15	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
17		mon1puc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	1, 2, 6, 9, 17, 13	isuc1p 25418	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑋)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)))
19	5, 8, 16, 18	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ‘cfv 6491  Basecbs 17017  0_gc0g 17255  1_rcur 19839  Ringcrg 19885  Unitcui 19983  Poly₁cpl1 21461  coe₁cco1 21462   deg₁ cdg1 25329  Monic_1pcmn1 25403  Unic_1pcuc1p 25404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-tpos 8124  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18684  df-mgp 19823  df-ur 19840  df-ring 19887  df-oppr 19964  df-dvdsr 19985  df-unit 19986  df-mon1 25408  df-uc1p 25409

This theorem is referenced by:  ply1rem  25441  facth1  25442  fta1glem1  25443  fta1glem2  25444  ig1pdvds  25454