Theorem mon1puc1p 26130

Description: Monic polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1puc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
mon1puc1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1puc1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mon1puc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		mon1puc1p.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26124	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7	1, 6, 3	mon1pn0 26126	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10, 3	mon1pldg 26129	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14	13, 10	1unit 20349	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
16	12, 15	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
17		mon1puc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	1, 2, 6, 9, 17, 13	isuc1p 26120	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)))
19	5, 8, 16, 18	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  Unitcui 20330  Poly₁cpl1 22154  coe₁cco1 22155  deg₁cdg1 26033  Monic_1pcmn1 26105  Unic_1pcuc1p 26106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-mon1 26110  df-uc1p 26111

This theorem is referenced by:  ply1rem  26145  facth1  26146  fta1glem1  26147  fta1glem2  26148  ig1pdvds  26159  algextdeglem6  33886  algextdeglem7  33887  algextdeglem8  33888