Theorem mon1puc1p 26114

Description: Monic polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1puc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
mon1puc1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1puc1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mon1puc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		mon1puc1p.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 26108	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7	1, 6, 3	mon1pn0 26110	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10, 3	mon1pldg 26113	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14	13, 10	1unit 20312	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
16	12, 15	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
17		mon1puc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	1, 2, 6, 9, 17, 13	isuc1p 26104	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝑋)‘((deg1‘𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)))
19	5, 8, 16, 18	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ‘cfv 6491  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  Unitcui 20293  Poly₁cpl1 22119  coe₁cco1 22120  deg₁cdg1 26017  Monic_1pcmn1 26089  Unic_1pcuc1p 26090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-mon1 26094  df-uc1p 26095

This theorem is referenced by:  ply1rem  26129  facth1  26130  fta1glem1  26131  fta1glem2  26132  ig1pdvds  26143  algextdeglem6  33858  algextdeglem7  33859  algextdeglem8  33860