MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mon1puc1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1puc1p 25311
Description: Monic polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1puc1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
mon1puc1p.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
mon1puc1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → 𝑋𝐶)

Proof of Theorem mon1puc1p
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2740 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 mon1puc1p.m . . . 4 𝑀 = (Monic1p𝑅)
41, 2, 3mon1pcl 25305 . . 3 (𝑋𝑀𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
54adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
6 eqid 2740 . . . 4 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
71, 6, 3mon1pn0 25307 . . 3 (𝑋𝑀𝑋 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
87adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
9 eqid 2740 . . . . 5 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
10 eqid 2740 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
119, 10, 3mon1pldg 25310 . . . 4 (𝑋𝑀 → ((coe1𝑋)‘(( deg1𝑅)‘𝑋)) = (1r𝑅))
1211adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → ((coe1𝑋)‘(( deg1𝑅)‘𝑋)) = (1r𝑅))
13 eqid 2740 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
1413, 101unit 19896 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
1514adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
1612, 15eqeltrd 2841 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → ((coe1𝑋)‘(( deg1𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
17 mon1puc1p.c . . 3 𝐶 = (Unic1p𝑅)
181, 2, 6, 9, 17, 13isuc1p 25301 . 2 (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ∧ ((coe1𝑋)‘(( deg1𝑅)‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)))
195, 8, 16, 18syl3anbrc 1342 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑀) → 𝑋𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  cfv 6431  Basecbs 16908  0gc0g 17146  1rcur 19733  Ringcrg 19779  Unitcui 19877  Poly1cpl1 21344  coe1cco1 21345   deg1 cdg1 25212  Monic1pcmn1 25286  Unic1pcuc1p 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-mon1 25291  df-uc1p 25292
This theorem is referenced by:  ply1rem  25324  facth1  25325  fta1glem1  25326  fta1glem2  25327  ig1pdvds  25337
  Copyright terms: Public domain W3C validator