Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1submon1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1submon1p 24751
 Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1submon1p.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1submon1p.o 𝑂 = (Monic1p𝑅)
deg1submon1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1submon1p.m = (-g𝑃)
deg1submon1p.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1submon1p.f1 (𝜑𝐹𝑂)
deg1submon1p.f2 (𝜑 → (𝐷𝐹) = 𝑋)
deg1submon1p.g1 (𝜑𝐺𝑂)
deg1submon1p.g2 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
deg1submon1p (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝑋)

Proof of Theorem deg1submon1p
StepHypRef Expression
1 deg1submon1p.d . 2 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1submon1p.p . 2 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2822 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 deg1submon1p.m . 2 = (-g𝑃)
5 deg1submon1p.f2 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) = 𝑋)
6 deg1submon1p.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 deg1submon1p.f1 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑂)
8 deg1submon1p.o . . . . . 6 𝑂 = (Monic1p𝑅)
92, 3, 8mon1pcl 24743 . . . . 5 (𝐹𝑂𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
11 eqid 2822 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
122, 11, 8mon1pn0 24745 . . . . 5 (𝐹𝑂𝐹 ≠ (0g𝑃))
137, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ≠ (0g𝑃))
141, 2, 11, 3deg1nn0cl 24687 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ (0g𝑃)) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
156, 10, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
165, 15eqeltrrd 2915 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
1716nn0red 11944 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1817leidd 11195 . . 3 (𝜑𝑋𝑋)
195, 18eqbrtrd 5064 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝑋)
20 deg1submon1p.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝑂)
212, 3, 8mon1pcl 24743 . . 3 (𝐺𝑂𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
2220, 21syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
23 deg1submon1p.g2 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝑋)
2423, 18eqbrtrd 5064 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝑋)
25 eqid 2822 . 2 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
26 eqid 2822 . 2 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
275fveq2d 6656 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
28 eqid 2822 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
291, 28, 8mon1pldg 24748 . . . . 5 (𝐹𝑂 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) = (1r𝑅))
307, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) = (1r𝑅))
3127, 30eqtr3d 2859 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝑋) = (1r𝑅))
321, 28, 8mon1pldg 24748 . . . 4 (𝐺𝑂 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
3320, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
3423fveq2d 6656 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘𝑋))
3531, 33, 343eqtr2d 2863 . 2 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝑋) = ((coe1𝐺)‘𝑋))
361, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35deg1sublt 24709 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  -gcsg 18096  1rcur 19242  Ringcrg 19288  Poly1cpl1 20804  coe1cco1 20805   deg1 cdg1 24653  Monic1pcmn1 24724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-rlreg 20047  df-cnfld 20090  df-psr 20592  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-psr1 20807  df-ply1 20809  df-coe1 20810  df-mdeg 24654  df-deg1 24655  df-mon1 24729 This theorem is referenced by:  ig1peu  24770
 Copyright terms: Public domain W3C validator