Theorem deg1submon1p 26120

Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1submon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1submon1p.o	⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
deg1submon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1submon1p.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1submon1p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1submon1p.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.f2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
deg1submon1p.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.g2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
deg1submon1p	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Proof of Theorem deg1submon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1submon1p.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1submon1p.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		deg1submon1p.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		deg1submon1p.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
6		deg1submon1p.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1submon1p.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
8		deg1submon1p.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
9	2, 3, 8	mon1pcl 26112	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
12	2, 11, 8	mon1pn0 26114	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 11, 3	deg1nn0cl 26055	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
17	16	nn0red 12501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	17	leidd 11718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
19	5, 18	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝑋)
20		deg1submon1p.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
21	2, 3, 8	mon1pcl 26112	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
23		deg1submon1p.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)
24	23, 18	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝑋)
25		eqid 2737	. 2 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
26		eqid 2737	. 2 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
27	5	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	1, 28, 8	mon1pldg 26117	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = (1r‘𝑅))
32	1, 28, 8	mon1pldg 26117	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
33	20, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
34	23	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
35	31, 33, 34	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
36	1, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35	deg1sublt 26077	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   < clt 11181   ≤ cle 11182  ℕ₀cn0 12439  Basecbs 17181  0_gc0g 17404  -_gcsg 18913  1_rcur 20164  Ringcrg 20216  Poly₁cpl1 22142  coe₁cco1 22143  deg₁cdg1 26021  Monic_1pcmn1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-seq 13966  df-hash 14295  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-starv 17237  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-ip 17240  df-tset 17241  df-ple 17242  df-ds 17244  df-unif 17245  df-hom 17246  df-cco 17247  df-0g 17406  df-gsum 17407  df-prds 17412  df-pws 17414  df-mre 17550  df-mrc 17551  df-acs 17553  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-mhm 18753  df-submnd 18754  df-grp 18914  df-minusg 18915  df-sbg 18916  df-mulg 19046  df-subg 19101  df-ghm 19190  df-cntz 19294  df-cmn 19759  df-abl 19760  df-mgp 20124  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20319  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-rlreg 20673  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22145  df-ply1 22147  df-coe1 22148  df-mdeg 26022  df-deg1 26023  df-mon1 26098

This theorem is referenced by:  ig1peu  26142