Theorem deg1submon1p 26091

Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1submon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1submon1p.o	⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
deg1submon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1submon1p.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1submon1p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1submon1p.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.f2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
deg1submon1p.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.g2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
deg1submon1p	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Proof of Theorem deg1submon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1submon1p.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1submon1p.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		deg1submon1p.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		deg1submon1p.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
6		deg1submon1p.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1submon1p.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
8		deg1submon1p.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
9	2, 3, 8	mon1pcl 26083	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
12	2, 11, 8	mon1pn0 26085	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 11, 3	deg1nn0cl 26026	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
17	16	nn0red 12480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	17	leidd 11720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
19	5, 18	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝑋)
20		deg1submon1p.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
21	2, 3, 8	mon1pcl 26083	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
23		deg1submon1p.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)
24	23, 18	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝑋)
25		eqid 2729	. 2 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
26		eqid 2729	. 2 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
27	5	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
28		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	1, 28, 8	mon1pldg 26088	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = (1r‘𝑅))
32	1, 28, 8	mon1pldg 26088	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
33	20, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
34	23	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
35	31, 33, 34	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
36	1, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35	deg1sublt 26048	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  -_gcsg 18849  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  Poly₁cpl1 22094  coe₁cco1 22095  deg₁cdg1 25992  Monic_1pcmn1 26064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-cnfld 21297  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-mon1 26069

This theorem is referenced by:  ig1peu  26113