Theorem deg1submon1p 26131

Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1submon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1submon1p.o	⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
deg1submon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1submon1p.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1submon1p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1submon1p.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.f2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
deg1submon1p.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.g2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
deg1submon1p	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Proof of Theorem deg1submon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1submon1p.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1submon1p.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		deg1submon1p.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		deg1submon1p.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
6		deg1submon1p.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1submon1p.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
8		deg1submon1p.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
9	2, 3, 8	mon1pcl 26123	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
12	2, 11, 8	mon1pn0 26125	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 11, 3	deg1nn0cl 26066	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
17	16	nn0red 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	17	leidd 11717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
19	5, 18	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝑋)
20		deg1submon1p.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
21	2, 3, 8	mon1pcl 26123	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
23		deg1submon1p.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)
24	23, 18	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝑋)
25		eqid 2737	. 2 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
26		eqid 2737	. 2 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
27	5	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	1, 28, 8	mon1pldg 26128	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = (1r‘𝑅))
32	1, 28, 8	mon1pldg 26128	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
33	20, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
34	23	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
35	31, 33, 34	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
36	1, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35	deg1sublt 26088	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150  0_gc0g 17373  -_gcsg 18882  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  Poly₁cpl1 22134  coe₁cco1 22135  deg₁cdg1 26032  Monic_1pcmn1 26104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-rlreg 20644  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-cnfld 21327  df-psr 21882  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-psr1 22137  df-ply1 22139  df-coe1 22140  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109

This theorem is referenced by:  ig1peu  26153