Theorem deg1submon1p 25222

Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1submon1p.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1submon1p.o	⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
deg1submon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1submon1p.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1submon1p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1submon1p.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.f2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
deg1submon1p.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
deg1submon1p.g2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
deg1submon1p	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Proof of Theorem deg1submon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1submon1p.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1submon1p.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		deg1submon1p.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		deg1submon1p.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝑋)
6		deg1submon1p.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1submon1p.f1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑂)
8		deg1submon1p.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (Monic1p‘𝑅)
9	2, 3, 8	mon1pcl 25214	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
12	2, 11, 8	mon1pn0 25216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
14	1, 2, 11, 3	deg1nn0cl 25158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	5, 15	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
17	16	nn0red 12224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	17	leidd 11471	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
19	5, 18	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝑋)
20		deg1submon1p.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑂)
21	2, 3, 8	mon1pcl 25214	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
23		deg1submon1p.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 𝑋)
24	23, 18	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝑋)
25		eqid 2738	. 2 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
26		eqid 2738	. 2 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
27	5	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = ((coe1‘𝐹)‘𝑋))
28		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	1, 28, 8	mon1pldg 25219	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
30	7, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = (1r‘𝑅))
31	27, 30	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = (1r‘𝑅))
32	1, 28, 8	mon1pldg 25219	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑂 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
33	20, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (1r‘𝑅))
34	23	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
35	31, 33, 34	3eqtr2d 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝑋) = ((coe1‘𝐺)‘𝑋))
36	1, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35	deg1sublt 25180	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259   deg₁ cdg1 25121  Monic_1pcmn1 25195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-rlreg 20467  df-cnfld 20511  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mdeg 25122  df-deg1 25123  df-mon1 25200

This theorem is referenced by:  ig1peu  25241