Theorem uc1pldg 26317

Description: Unitic polynomials have unit leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pldg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
uc1pldg.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem uc1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		uc1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		uc1pldg.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		uc1pldg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26309	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))
8	7	simp3bi 1164	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  Unitcui 20444  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349  deg₁cdg1 26222  Unic_1pcuc1p 26295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-nn 12240  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-uc1p 26300

This theorem is used by:  uc1pmon1p  26320  q1peqb  26324  fta1glem1  26336  ig1peu  26343  ply1divalg3  36142