Theorem uc1pldg 26428

Description: Unitic polynomials have unit leading coefficients. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pldg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pldg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
uc1pldg.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pldg	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem uc1pldg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
4		uc1pldg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		uc1pldg.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		uc1pldg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26420	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))
8	7	simp3bi 1165	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  Unitcui 20546  Poly₁cpl1 22456  coe₁cco1 22457  deg₁cdg1 26333  Unic_1pcuc1p 26406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-1cn 11229  ax-addcl 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12305  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-uc1p 26411

This theorem is used by:  uc1pmon1p  26431  q1peqb  26435  fta1glem1  26447  ig1peu  26454  ply1divalg3  36328