Theorem ismon1p 26055

Description: Being a monic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pval.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ismon1p	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))

Proof of Theorem ismon1p

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2988	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0 ))
2		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coe1‘𝑓) = (coe1‘𝐹))
3		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘𝐹))
4	2, 3	fveq12d 6868	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
5	4	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 ↔ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
6	1, 5	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 ) ↔ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
7		uc1pval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		uc1pval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		uc1pval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10		uc1pval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		mon1pval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
12		mon1pval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mon1pval 26054	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 )}
14	6, 13	elrab2 3665	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
15		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
16	14, 15	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  1_rcur 20097  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069  deg₁cdg1 25966  Monic_1pcmn1 26038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-mon1 26043

This theorem is referenced by:  mon1pcl  26057  mon1pn0  26059  mon1pldg  26062  uc1pmon1p  26064  mon1pid  26066  ply1remlem  26077  0ringmon1p  33533  ressply1mon1p  33544  rtelextdg2lem  33723  2sqr3minply  33777  cos9thpiminply  33785  mon1psubm  43195