Theorem ismon1p 26075

Description: Being a monic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
mon1pval.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1pval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ismon1p	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))

Proof of Theorem ismon1p

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2990	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0 ))
2		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coe1‘𝑓) = (coe1‘𝐹))
3		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘𝐹))
4	2, 3	fveq12d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
5	4	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 ↔ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))
6	1, 5	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 ) ↔ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
7		uc1pval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		uc1pval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		uc1pval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10		uc1pval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		mon1pval.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
12		mon1pval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mon1pval 26074	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = 1 )}
14	6, 13	elrab2 3645	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
15		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 )))
16	14, 15	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) = 1 ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  1_rcur 20099  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090  deg₁cdg1 25986  Monic_1pcmn1 26058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mon1 26063

This theorem is referenced by:  mon1pcl  26077  mon1pn0  26079  mon1pldg  26082  uc1pmon1p  26084  mon1pid  26086  ply1remlem  26097  0ringmon1p  33520  ressply1mon1p  33531  rtelextdg2lem  33739  2sqr3minply  33793  cos9thpiminply  33801  mon1psubm  43302