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Theorem monpropd 17686
Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same monomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
monpropd.3 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π·))
monpropd.4 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜π·))
monpropd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
monpropd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
monpropd (πœ‘ β†’ (Monoβ€˜πΆ) = (Monoβ€˜π·))

Proof of Theorem monpropd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
4 monpropd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π·))
54ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π·))
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π·))
7 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
8 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ))
91, 2, 3, 6, 7, 8homfeqval 17643 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) = (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
124ad5antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π·))
13 monpropd.4 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜π·))
1413ad5antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜π·))
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
16 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ))
17 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))
19 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏))
201, 2, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19comfeqval 17654 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))
219, 20mpteq12dva 5237 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔)))
2221cnveqd 5875 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔)) = β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔)))
2322funeqd 6570 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔)) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))))
2423ralbidva 3175 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))))
2524rabbidva 3439 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))})
26 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ))
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
281, 2, 3, 5, 26, 27homfeqval 17643 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) = (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏))
294homfeqbas 17642 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π·))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π·))
3130raleqdv 3325 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔)) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))))
3228, 31rabeqbidv 3449 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))})
3325, 32eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))})
34333impa 1110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))})
3534mpoeq3dva 7488 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))}) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}))
36 mpoeq12 7484 . . . 4 (((Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π·) ∧ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π·), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π·) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}))
3729, 29, 36syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π·), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π·) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}))
3835, 37eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))}) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π·), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π·) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}))
39 eqid 2732 . . 3 (Monoβ€˜πΆ) = (Monoβ€˜πΆ)
40 monpropd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
411, 2, 10, 39, 40monfval 17681 . 2 (πœ‘ β†’ (Monoβ€˜πΆ) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜πΆ)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑏)𝑔))}))
42 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
43 eqid 2732 . . 3 (Monoβ€˜π·) = (Monoβ€˜π·)
44 monpropd.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
4542, 3, 11, 43, 44monfval 17681 . 2 (πœ‘ β†’ (Monoβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π·), 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π·) ↦ {𝑓 ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π·)𝑏) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π·)Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑐(Hom β€˜π·)π‘Ž) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©(compβ€˜π·)𝑏)𝑔))}))
4638, 41, 453eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (Monoβ€˜πΆ) = (Monoβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17146  Hom chom 17210  compcco 17211  Catccat 17610  Homf chomf 17612  compfccomf 17613  Monocmon 17677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-homf 17616  df-comf 17617  df-mon 17679
This theorem is referenced by:  oppcepi  17688
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