MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcepi 17449
Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcmon.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcmon.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcepi.e 𝐸 = (Epi‘𝑂)
oppcepi.m 𝑀 = (Mono‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppcepi (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑌𝑀𝑋))

Proof of Theorem oppcepi
StepHypRef Expression
1 oppcepi.m . . . 4 𝑀 = (Mono‘𝐶)
2 oppcmon.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
322oppchomf 17433 . . . . . 6 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
522oppccomf 17434 . . . . . 6 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7 oppcmon.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
82oppccat 17431 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
10 eqid 2738 . . . . . . 7 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
1110oppccat 17431 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
134, 6, 7, 12monpropd 17447 . . . 4 (𝜑 → (Mono‘𝐶) = (Mono‘(oppCat‘𝑂)))
141, 13eqtrid 2790 . . 3 (𝜑𝑀 = (Mono‘(oppCat‘𝑂)))
1514oveqd 7294 . 2 (𝜑 → (𝑌𝑀𝑋) = (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝑂))𝑋))
16 eqid 2738 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝑂)) = (Mono‘(oppCat‘𝑂))
17 oppcepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝑂)
1810, 9, 16, 17oppcmon 17448 . 2 (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝑂))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
1915, 18eqtr2d 2779 1 (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑌𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6435  (class class class)co 7277  Catccat 17371  Homf chomf 17373  compfccomf 17374  oppCatcoppc 17418  Monocmon 17438  Epicepi 17439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8040  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-hom 16984  df-cco 16985  df-cat 17375  df-cid 17376  df-homf 17377  df-comf 17378  df-oppc 17419  df-mon 17440  df-epi 17441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator