Theorem oppcepi 16788

Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcmon.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcmon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝑂)
oppcepi.m	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcepi	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑌𝑀𝑋))

Proof of Theorem oppcepi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcepi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
2		oppcmon.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	2	2oppchomf 16773	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
5	2	2oppccomf 16774	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
7		oppcmon.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	oppccat 16771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
10		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
11	10	oppccat 16771	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
13	4, 6, 7, 12	monpropd 16786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Mono‘𝐶) = (Mono‘(oppCat‘𝑂)))
14	1, 13	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (Mono‘(oppCat‘𝑂)))
15	14	oveqd 6941	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑀𝑋) = (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝑂))𝑋))
16		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝑂)) = (Mono‘(oppCat‘𝑂))
17		oppcepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝑂)
18	10, 9, 16, 17	oppcmon 16787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝑂))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
19	15, 18	eqtr2d 2815	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑌𝑀𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Catccat 16714  Hom_f chomf 16716  comp_fccomf 16717  oppCatcoppc 16760  Monocmon 16777  Epicepi 16778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-hom 16366  df-cco 16367  df-cat 16718  df-cid 16719  df-homf 16720  df-comf 16721  df-oppc 16761  df-mon 16779  df-epi 16780

This theorem is referenced by: (None)