Theorem mvrrsubd 39901

Description: Move a subtraction in the RHS to a right-addition in the LHS. Converse of mvlraddd 11130. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrrsubd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvrrsubd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mvrrsubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mvrrsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mvrrsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrrsubd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 − 𝐶))
2		mvrrsubd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mvrrsubd.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5, 3	addcld 10740	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
7	5, 3	pncand 11078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
8	7, 1	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
9	6, 2, 3, 8	subcan2d 11119	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7172  ℂcc 10615   + caddc 10620   − cmin 10950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-ltxr 10760  df-sub 10952

This theorem is referenced by:  flt4lem5a  40083