Theorem pncand 11540

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11594  mvlladdd  11595  mvrraddd  11596  addlsub  11600  pnpncand  11605  pncan1  11608  eluzmn  12843  icoshftf1o  13475  xov1plusxeqvd  13499  fzom1ne1  13788  modaddb  13916  zesq  14236  hashdifsnp1  14516  ccatval3  14589  fsump1  15766  fsumrev2  15792  fprodp1  15982  risefacp1  16042  fallfacp1  16043  sadcp1  16472  smupp1  16497  hashdvds  16793  pythagtriplem4  16838  pythagtriplem6  16840  pythagtriplem7  16841  pythagtriplem12  16845  pythagtriplem14  16847  pcqdiv  16876  chnub  18637  chnlt  18638  chnccat  18641  mulgdirlem  19130  psdmplcl  22207  cayhamlem1  22906  pjthlem1  25479  ovolicopnf  25566  i1faddlem  25735  itg1addlem4  25741  itgpowd  26092  taylthlem2  26414  ulmshft  26430  efif1olem2  26585  efif1olem4  26587  logdiflbnd  27036  lgamgulmlem2  27071  lgamcvg2  27096  relgamcl  27103  ftalem2  27115  mulog2sumlem1  27575  mulog2sumlem3  27577  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem5  27622  colinearalglem4  29056  axpaschlem  29087  wwlksnred  30038  wwlksnext  30039  wwlksnredwwlkn  30041  wwlksnextproplem2  30056  clwlkclwwlklem2  30148  clwlkclwwlklem3  30149  clwwlkf  30195  wwlksext2clwwlk  30205  eucrct2eupth  30393  numclwwlk2lem1  30524  numclwlk2lem2f  30525  pjhthlem1  31540  fzm1ne1  32940  wrdt2ind  33092  cshwrnid  33100  psgnfzto1stlem  33241  cycpmco2lem4  33270  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem7  33273  esplyindfv  33834  constraddcl  34020  constrremulcl  34025  madjusmdetlem2  34086  dya2icoseg  34535  fibp1  34659  ballotlemfc0  34751  ballotlemfcc  34752  ballotlemsgt1  34769  ballotlemsel1i  34771  ballotlemsima  34774  ballotlem1ri  34793  signstfvn  34827  reprsuc  34873  bcprod  36052  bccolsum  36053  unblimceq0  36909  knoppndvlem6  36919  bj-bary1lem1  37767  sin2h  38073  itg2addnclem  38134  itg2addnclem3  38136  areacirclem4  38174  ssbnd  38251  lcmineqlem10  42619  lcmineqlem11  42620  lcmineqlem18  42627  lcmineqlem19  42628  sticksstones12a  42738  sticksstones12  42739  aks6d1c6lem3  42753  bcle2d  42760  aks6d1c7lem1  42761  mvrrsubd  42847  fz1sump1  42883  oddnumth  42884  dffltz  43180  jm2.19lem4  43533  jm2.23  43537  int-eqmvtd  44729  hashnzfzclim  44862  dvradcnv2  44887  binomcxplemnn0  44889  binomcxplemnotnn0  44896  nnsplit  45898  iccshift  46058  iooshift  46062  climinf  46146  limcperiod  46168  0ellimcdiv  46187  cncfshift  46412  cncfperiod  46417  dvdsn1add  46477  dvnmul  46481  itgiccshift  46518  itgperiod  46519  stoweidlem17  46555  wallispilem4  46606  wallispilem5  46607  stirlinglem1  46612  stirlinglem5  46616  stirlinglem6  46617  stirlinglem10  46621  dirkertrigeqlem2  46637  fourierdlem14  46659  fourierdlem19  46664  fourierdlem41  46686  fourierdlem42  46687  fourierdlem48  46692  fourierdlem49  46693  fourierdlem50  46694  fourierdlem64  46708  fourierdlem74  46718  fourierdlem75  46719  fourierdlem81  46725  fourierdlem92  46736  fourierdlem97  46741  fourierdlem103  46747  fourierdlem104  46748  fourierdlem107  46751  etransclem9  46781  nnfoctbdjlem  46993  chnerlem2  47423  fldivmod  47902  gpgvtxedg1  48650