Theorem pncand 11576

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11470	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11628  mvlladdd  11629  mvrraddd  11630  addlsub  11634  pnpncand  11639  pncan1  11642  eluzmn  12833  icoshftf1o  13455  xov1plusxeqvd  13479  zesq  14193  hashdifsnp1  14461  ccatval3  14533  fsump1  15706  fsumrev2  15732  fprodp1  15917  risefacp1  15977  fallfacp1  15978  sadcp1  16400  smupp1  16425  hashdvds  16712  pythagtriplem4  16756  pythagtriplem6  16758  pythagtriplem7  16759  pythagtriplem12  16763  pythagtriplem14  16765  pcqdiv  16794  mulgdirlem  19021  cayhamlem1  22588  pjthlem1  25178  ovolicopnf  25265  i1faddlem  25434  itg1addlem4  25440  itg1addlem4OLD  25441  itgpowd  25791  taylthlem2  26110  ulmshft  26126  efif1olem2  26276  efif1olem4  26278  logdiflbnd  26723  lgamgulmlem2  26758  lgamcvg2  26783  relgamcl  26790  ftalem2  26802  mulog2sumlem1  27261  mulog2sumlem3  27263  pntrlog2bndlem2  27305  pntrlog2bndlem4  27307  pntrlog2bndlem5  27308  colinearalglem4  28422  axpaschlem  28453  wwlksnred  29401  wwlksnext  29402  wwlksnredwwlkn  29404  wwlksnextproplem2  29419  clwlkclwwlklem2  29508  clwlkclwwlklem3  29509  clwwlkf  29555  wwlksext2clwwlk  29565  eucrct2eupth  29753  numclwwlk2lem1  29884  numclwlk2lem2f  29885  pjhthlem1  30899  fzm1ne1  32255  fzom1ne1  32267  wrdt2ind  32372  cshwrnid  32380  psgnfzto1stlem  32517  cycpmco2lem4  32546  cycpmco2lem5  32547  cycpmco2lem7  32549  madjusmdetlem2  33094  dya2icoseg  33562  fibp1  33686  ballotlemfc0  33777  ballotlemfcc  33778  ballotlemsgt1  33795  ballotlemsel1i  33797  ballotlemsima  33800  ballotlem1ri  33819  signstfvn  33866  reprsuc  33913  bcprod  35000  bccolsum  35001  unblimceq0  35686  knoppndvlem6  35696  bj-bary1lem1  36495  sin2h  36781  itg2addnclem  36842  itg2addnclem3  36844  areacirclem4  36882  ssbnd  36959  lcmineqlem10  41209  lcmineqlem11  41210  lcmineqlem18  41217  lcmineqlem19  41218  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  metakunt12  41302  mvrrsubd  41489  fz1sump1  41510  oddnumth  41511  dffltz  41678  jm2.19lem4  42033  jm2.23  42037  int-eqmvtd  43243  hashnzfzclim  43383  dvradcnv2  43408  binomcxplemnn0  43410  binomcxplemnotnn0  43417  nnsplit  44367  iccshift  44530  iooshift  44534  climinf  44621  limcperiod  44643  0ellimcdiv  44664  cncfshift  44889  cncfperiod  44894  dvdsn1add  44954  dvnmul  44958  dvnprodlem1  44961  itgiccshift  44995  itgperiod  44996  stoweidlem17  45032  wallispilem4  45083  wallispilem5  45084  stirlinglem1  45089  stirlinglem5  45093  stirlinglem6  45094  stirlinglem10  45098  dirkertrigeqlem2  45114  fourierdlem14  45136  fourierdlem19  45141  fourierdlem41  45163  fourierdlem42  45164  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem50  45171  fourierdlem64  45185  fourierdlem74  45195  fourierdlem75  45196  fourierdlem81  45202  fourierdlem92  45213  fourierdlem97  45218  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem107  45228  etransclem9  45258  nnfoctbdjlem  45470  fldivmod  47292