Theorem pncand 11076

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 10970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7170  ℂcc 10613   + caddc 10618   − cmin 10948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-sub 10950

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11128  mvlladdd  11129  mvrraddd  11130  addlsub  11134  pnpncand  11139  pncan1  11142  eluzmn  12331  icoshftf1o  12948  xov1plusxeqvd  12972  zesq  13679  hashdifsnp1  13948  ccatval3  14022  fsumrev2  15230  fprodp1  15415  risefacp1  15475  fallfacp1  15476  sadcp1  15898  smupp1  15923  hashdvds  16212  pythagtriplem4  16256  pythagtriplem6  16258  pythagtriplem7  16259  pythagtriplem12  16263  pythagtriplem14  16265  pcqdiv  16294  mulgdirlem  18376  cayhamlem1  21617  pjthlem1  24189  ovolicopnf  24276  i1faddlem  24445  itg1addlem4  24451  itg1addlem4OLD  24452  itgpowd  24802  taylthlem2  25121  ulmshft  25137  efif1olem2  25287  efif1olem4  25289  logdiflbnd  25732  lgamgulmlem2  25767  lgamcvg2  25792  relgamcl  25799  ftalem2  25811  mulog2sumlem1  26270  mulog2sumlem3  26272  pntrlog2bndlem2  26314  pntrlog2bndlem4  26316  pntrlog2bndlem5  26317  colinearalglem4  26855  axpaschlem  26886  wwlksnred  27830  wwlksnext  27831  wwlksnredwwlkn  27833  wwlksnextproplem2  27848  clwlkclwwlklem2  27937  clwlkclwwlklem3  27938  clwwlkf  27984  wwlksext2clwwlk  27994  eucrct2eupth  28182  numclwwlk2lem1  28313  numclwlk2lem2f  28314  pjhthlem1  29326  fzm1ne1  30685  fzom1ne1  30697  wrdt2ind  30800  cshwrnid  30808  psgnfzto1stlem  30944  cycpmco2lem4  30973  cycpmco2lem5  30974  cycpmco2lem7  30976  madjusmdetlem2  31350  dya2icoseg  31814  fibp1  31938  ballotlemfc0  32029  ballotlemfcc  32030  ballotlemsgt1  32047  ballotlemsel1i  32049  ballotlemsima  32052  ballotlem1ri  32071  signstfvn  32118  reprsuc  32165  bcprod  33275  bccolsum  33276  unblimceq0  34325  knoppndvlem6  34335  bj-bary1lem1  35102  sin2h  35390  itg2addnclem  35451  itg2addnclem3  35453  areacirclem4  35491  ssbnd  35569  lcmineqlem10  39666  lcmineqlem11  39667  lcmineqlem18  39674  lcmineqlem19  39675  metakunt12  39727  mvrrsubd  39879  dffltz  40043  jm2.19lem4  40386  jm2.23  40390  int-eqmvtd  41347  hashnzfzclim  41478  dvradcnv2  41503  binomcxplemnn0  41505  binomcxplemnotnn0  41512  nnsplit  42435  iccshift  42596  iooshift  42600  climinf  42689  limcperiod  42711  0ellimcdiv  42732  cncfshift  42957  cncfperiod  42962  dvdsn1add  43022  dvnmul  43026  dvnprodlem1  43029  itgiccshift  43063  itgperiod  43064  stoweidlem17  43100  wallispilem4  43151  wallispilem5  43152  stirlinglem1  43157  stirlinglem5  43161  stirlinglem6  43162  stirlinglem10  43166  dirkertrigeqlem2  43182  fourierdlem14  43204  fourierdlem19  43209  fourierdlem41  43231  fourierdlem42  43232  fourierdlem48  43237  fourierdlem49  43238  fourierdlem50  43239  fourierdlem64  43253  fourierdlem74  43263  fourierdlem75  43264  fourierdlem81  43270  fourierdlem92  43281  fourierdlem97  43286  fourierdlem103  43292  fourierdlem104  43293  fourierdlem107  43296  etransclem9  43326  nnfoctbdjlem  43535  fldivmod  45398