Theorem pncand 11572

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11624  mvlladdd  11625  mvrraddd  11626  addlsub  11630  pnpncand  11635  pncan1  11638  eluzmn  12829  icoshftf1o  13451  xov1plusxeqvd  13475  zesq  14189  hashdifsnp1  14457  ccatval3  14529  fsump1  15702  fsumrev2  15728  fprodp1  15913  risefacp1  15973  fallfacp1  15974  sadcp1  16396  smupp1  16421  hashdvds  16708  pythagtriplem4  16752  pythagtriplem6  16754  pythagtriplem7  16755  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem14  16761  pcqdiv  16790  mulgdirlem  18985  cayhamlem1  22368  pjthlem1  24954  ovolicopnf  25041  i1faddlem  25210  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itgpowd  25567  taylthlem2  25886  ulmshft  25902  efif1olem2  26052  efif1olem4  26054  logdiflbnd  26499  lgamgulmlem2  26534  lgamcvg2  26559  relgamcl  26566  ftalem2  26578  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem3  27039  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  colinearalglem4  28167  axpaschlem  28198  wwlksnred  29146  wwlksnext  29147  wwlksnredwwlkn  29149  wwlksnextproplem2  29164  clwlkclwwlklem2  29253  clwlkclwwlklem3  29254  clwwlkf  29300  wwlksext2clwwlk  29310  eucrct2eupth  29498  numclwwlk2lem1  29629  numclwlk2lem2f  29630  pjhthlem1  30644  fzm1ne1  32000  fzom1ne1  32012  wrdt2ind  32117  cshwrnid  32125  psgnfzto1stlem  32259  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem7  32291  madjusmdetlem2  32808  dya2icoseg  33276  fibp1  33400  ballotlemfc0  33491  ballotlemfcc  33492  ballotlemsgt1  33509  ballotlemsel1i  33511  ballotlemsima  33514  ballotlem1ri  33533  signstfvn  33580  reprsuc  33627  bcprod  34708  bccolsum  34709  unblimceq0  35383  knoppndvlem6  35393  bj-bary1lem1  36192  sin2h  36478  itg2addnclem  36539  itg2addnclem3  36541  areacirclem4  36579  ssbnd  36656  lcmineqlem10  40903  lcmineqlem11  40904  lcmineqlem18  40911  lcmineqlem19  40912  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  metakunt12  40996  mvrrsubd  41187  fz1sump1  41208  oddnumth  41209  dffltz  41376  jm2.19lem4  41731  jm2.23  41735  int-eqmvtd  42941  hashnzfzclim  43081  dvradcnv2  43106  binomcxplemnn0  43108  binomcxplemnotnn0  43115  nnsplit  44068  iccshift  44231  iooshift  44235  climinf  44322  limcperiod  44344  0ellimcdiv  44365  cncfshift  44590  cncfperiod  44595  dvdsn1add  44655  dvnmul  44659  dvnprodlem1  44662  itgiccshift  44696  itgperiod  44697  stoweidlem17  44733  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  stirlinglem1  44790  stirlinglem5  44794  stirlinglem6  44795  stirlinglem10  44799  dirkertrigeqlem2  44815  fourierdlem14  44837  fourierdlem19  44842  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem50  44872  fourierdlem64  44886  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem81  44903  fourierdlem92  44914  fourierdlem97  44919  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem107  44929  etransclem9  44959  nnfoctbdjlem  45171  fldivmod  47204