Theorem pncand 11506

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11560  mvlladdd  11561  mvrraddd  11562  addlsub  11566  pnpncand  11571  pncan1  11574  eluzmn  12795  icoshftf1o  13427  xov1plusxeqvd  13451  fzom1ne1  13740  modaddb  13868  zesq  14188  hashdifsnp1  14468  ccatval3  14541  fsump1  15718  fsumrev2  15744  fprodp1  15934  risefacp1  15994  fallfacp1  15995  sadcp1  16424  smupp1  16449  hashdvds  16745  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  pcqdiv  16828  chnub  18588  chnlt  18589  chnccat  18592  mulgdirlem  19081  psdmplcl  22128  cayhamlem1  22831  pjthlem1  25404  ovolicopnf  25491  i1faddlem  25660  itg1addlem4  25666  itgpowd  26017  taylthlem2  26339  ulmshft  26355  efif1olem2  26507  efif1olem4  26509  logdiflbnd  26958  lgamgulmlem2  26993  lgamcvg2  27018  relgamcl  27025  ftalem2  27037  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem3  27499  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  colinearalglem4  28978  axpaschlem  29009  wwlksnred  29960  wwlksnext  29961  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnextproplem2  29978  clwlkclwwlklem2  30070  clwlkclwwlklem3  30071  clwwlkf  30117  wwlksext2clwwlk  30127  eucrct2eupth  30315  numclwwlk2lem1  30446  numclwlk2lem2f  30447  pjhthlem1  31462  fzm1ne1  32861  wrdt2ind  33013  cshwrnid  33021  psgnfzto1stlem  33161  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem7  33193  esplyindfv  33720  constraddcl  33906  constrremulcl  33911  madjusmdetlem2  33972  dya2icoseg  34421  fibp1  34545  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  ballotlemsgt1  34655  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsima  34660  ballotlem1ri  34679  signstfvn  34713  reprsuc  34759  bcprod  35920  bccolsum  35921  unblimceq0  36767  knoppndvlem6  36777  bj-bary1lem1  37625  sin2h  37931  itg2addnclem  37992  itg2addnclem3  37994  areacirclem4  38032  ssbnd  38109  lcmineqlem10  42477  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem19  42486  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem3  42611  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  mvrrsubd  42706  fz1sump1  42742  oddnumth  42743  dffltz  43067  jm2.19lem4  43420  jm2.23  43424  int-eqmvtd  44616  hashnzfzclim  44749  dvradcnv2  44774  binomcxplemnn0  44776  binomcxplemnotnn0  44783  nnsplit  45788  iccshift  45948  iooshift  45952  climinf  46036  limcperiod  46058  0ellimcdiv  46077  cncfshift  46302  cncfperiod  46307  dvdsn1add  46367  dvnmul  46371  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  stoweidlem17  46445  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  stirlinglem1  46502  stirlinglem5  46506  stirlinglem6  46507  stirlinglem10  46511  dirkertrigeqlem2  46527  fourierdlem14  46549  fourierdlem19  46554  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem64  46598  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem81  46615  fourierdlem92  46626  fourierdlem97  46631  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  etransclem9  46671  nnfoctbdjlem  46883  chnerlem2  47313  fldivmod  47792  gpgvtxedg1  48540