Theorem pncand 11651

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11544	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  mvlraddd  11705  mvlladdd  11706  mvrraddd  11708  mvrrsubd  11710  addlsub  11713  pnpncand  11718  pncan1  11721  eluzmn  12953  icoshftf1o  13586  xov1plusxeqvd  13610  fzom1ne1  13900  modaddb  14029  zesq  14350  hashdifsnp1  14631  ccatval3  14704  fsump1  15902  fsumrev2  15928  fprodp1  16116  risefacp1  16175  fallfacp1  16176  sadcp1  16605  smupp1  16630  hashdvds  16932  pythagtriplem4  16977  pythagtriplem6  16979  pythagtriplem7  16980  pythagtriplem12  16984  pythagtriplem14  16986  pcqdiv  17015  chnub  18776  chnlt  18777  chnccat  18780  mulgdirlem  19295  psdmplcl  22463  cayhamlem1  23164  pjthlem1  25738  ovolicopnf  25825  i1faddlem  25994  itg1addlem4  26000  itgpowd  26350  taylthlem2  26683  ulmshft  26699  efif1olem2  26853  efif1olem4  26855  logdiflbnd  27304  lgamgulmlem2  27339  lgamcvg2  27364  relgamcl  27371  ftalem2  27383  mulog2sumlem1  27843  mulog2sumlem3  27845  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem5  27890  colinearalglem4  29469  axpaschlem  29500  wwlksnred  30463  wwlksnext  30464  wwlksnredwwlkn  30466  wwlksnextproplem2  30481  clwlkclwwlklem2  30573  clwlkclwwlklem3  30574  clwwlkf  30620  wwlksext2clwwlk  30630  eucrct2eupth  30828  numclwwlk2lem1  30959  numclwlk2lem2f  30960  pjhthlem1  31975  fzm1ne1  33362  wrdt2ind  33498  cshwrnid  33504  psgnfzto1stlem  33643  cycpmco2lem4  33672  cycpmco2lem5  33673  cycpmco2lem7  33675  esplyindfv  34190  constraddcl  34376  constrremulcl  34381  madjusmdetlem2  34442  dya2icoseg  34892  fibp1  35016  ballotlemfc0  35108  ballotlemfcc  35109  ballotlemsgt1  35126  ballotlemsel1i  35128  ballotlemsima  35131  ballotlem1ri  35150  signstfvn  35181  reprsuc  35227  bcprod  36472  bccolsum  36473  unblimceq0  37343  knoppndvlem6  37353  bj-bary1lem1  38200  sin2h  38501  itg2addnclem  38557  itg2addnclem3  38559  areacirclem4  38597  ssbnd  38690  lcmineqlem10  43056  lcmineqlem11  43057  lcmineqlem18  43064  lcmineqlem19  43065  sticksstones12a  43175  sticksstones12  43176  aks6d1c6lem3  43190  bcle2d  43197  aks6d1c7lem1  43198  fz1sump1  43335  oddnumth  43336  dffltz  43624  jm2.19lem4  43952  jm2.23  43956  int-eqmvtd  45148  hashnzfzclim  45265  dvradcnv2  45290  binomcxplemnn0  45292  binomcxplemnotnn0  45299  nnsplit  46314  iccshift  46474  iooshift  46478  climinf  46562  limcperiod  46584  0ellimcdiv  46603  cncfshift  46828  cncfperiod  46833  dvdsn1add  46893  dvnmul  46897  itgiccshift  46934  itgperiod  46935  stoweidlem17  46971  wallispilem4  47022  wallispilem5  47023  stirlinglem1  47028  stirlinglem5  47032  stirlinglem6  47033  stirlinglem10  47037  dirkertrigeqlem2  47053  fourierdlem14  47075  fourierdlem19  47080  fourierdlem41  47102  fourierdlem42  47103  fourierdlem48  47108  fourierdlem49  47109  fourierdlem50  47110  fourierdlem64  47124  fourierdlem74  47134  fourierdlem75  47135  fourierdlem81  47141  fourierdlem92  47152  fourierdlem97  47157  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  fourierdlem107  47167  etransclem9  47197  nnfoctbdjlem  47409  chnerlem2  47837  fldivmod  48358  gpgvtxedg1  49106