Theorem pncand 11569

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105   + caddc 11110   − cmin 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11621  mvlladdd  11622  mvrraddd  11623  addlsub  11627  pnpncand  11632  pncan1  11635  eluzmn  12826  icoshftf1o  13448  xov1plusxeqvd  13472  zesq  14186  hashdifsnp1  14454  ccatval3  14526  fsump1  15699  fsumrev2  15725  fprodp1  15910  risefacp1  15970  fallfacp1  15971  sadcp1  16393  smupp1  16418  hashdvds  16705  pythagtriplem4  16749  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem12  16756  pythagtriplem14  16758  pcqdiv  16787  mulgdirlem  18980  cayhamlem1  22360  pjthlem1  24946  ovolicopnf  25033  i1faddlem  25202  itg1addlem4  25208  itg1addlem4OLD  25209  itgpowd  25559  taylthlem2  25878  ulmshft  25894  efif1olem2  26044  efif1olem4  26046  logdiflbnd  26489  lgamgulmlem2  26524  lgamcvg2  26549  relgamcl  26556  ftalem2  26568  mulog2sumlem1  27027  mulog2sumlem3  27029  pntrlog2bndlem2  27071  pntrlog2bndlem4  27073  pntrlog2bndlem5  27074  colinearalglem4  28157  axpaschlem  28188  wwlksnred  29136  wwlksnext  29137  wwlksnredwwlkn  29139  wwlksnextproplem2  29154  clwlkclwwlklem2  29243  clwlkclwwlklem3  29244  clwwlkf  29290  wwlksext2clwwlk  29300  eucrct2eupth  29488  numclwwlk2lem1  29619  numclwlk2lem2f  29620  pjhthlem1  30632  fzm1ne1  31988  fzom1ne1  32000  wrdt2ind  32105  cshwrnid  32113  psgnfzto1stlem  32247  cycpmco2lem4  32276  cycpmco2lem5  32277  cycpmco2lem7  32279  madjusmdetlem2  32797  dya2icoseg  33265  fibp1  33389  ballotlemfc0  33480  ballotlemfcc  33481  ballotlemsgt1  33498  ballotlemsel1i  33500  ballotlemsima  33503  ballotlem1ri  33522  signstfvn  33569  reprsuc  33616  bcprod  34697  bccolsum  34698  unblimceq0  35372  knoppndvlem6  35382  bj-bary1lem1  36181  sin2h  36467  itg2addnclem  36528  itg2addnclem3  36530  areacirclem4  36568  ssbnd  36645  lcmineqlem10  40892  lcmineqlem11  40893  lcmineqlem18  40900  lcmineqlem19  40901  sticksstones12a  40962  sticksstones12  40963  metakunt12  40985  mvrrsubd  41185  fz1sump1  41204  oddnumth  41205  dffltz  41373  jm2.19lem4  41717  jm2.23  41721  int-eqmvtd  42927  hashnzfzclim  43067  dvradcnv2  43092  binomcxplemnn0  43094  binomcxplemnotnn0  43101  nnsplit  44055  iccshift  44218  iooshift  44222  climinf  44309  limcperiod  44331  0ellimcdiv  44352  cncfshift  44577  cncfperiod  44582  dvdsn1add  44642  dvnmul  44646  dvnprodlem1  44649  itgiccshift  44683  itgperiod  44684  stoweidlem17  44720  wallispilem4  44771  wallispilem5  44772  stirlinglem1  44777  stirlinglem5  44781  stirlinglem6  44782  stirlinglem10  44786  dirkertrigeqlem2  44802  fourierdlem14  44824  fourierdlem19  44829  fourierdlem41  44851  fourierdlem42  44852  fourierdlem48  44857  fourierdlem49  44858  fourierdlem50  44859  fourierdlem64  44873  fourierdlem74  44883  fourierdlem75  44884  fourierdlem81  44890  fourierdlem92  44901  fourierdlem97  44906  fourierdlem103  44912  fourierdlem104  44913  fourierdlem107  44916  etransclem9  44946  nnfoctbdjlem  45158  fldivmod  47158