MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncand 10990
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncand (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan 10884 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  (class class class)co 7148  cc 10527   + caddc 10532  cmin 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864
This theorem is referenced by:  mvlraddd  11042  mvlladdd  11043  mvrraddd  11044  addlsub  11048  pnpncand  11053  pncan1  11056  eluzmn  12242  icoshftf1o  12852  xov1plusxeqvd  12876  zesq  13579  hashdifsnp1  13846  ccatval3  13925  fsumrev2  15129  fprodp1  15315  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  sadcp1  15796  smupp1  15821  hashdvds  16104  pythagtriplem4  16148  pythagtriplem6  16150  pythagtriplem7  16151  pythagtriplem12  16155  pythagtriplem14  16157  pcqdiv  16186  mulgdirlem  18250  cayhamlem1  21466  pjthlem1  24032  ovolicopnf  24117  i1faddlem  24286  itg1addlem4  24292  taylthlem2  24954  ulmshft  24970  efif1olem2  25119  efif1olem4  25121  logdiflbnd  25564  lgamgulmlem2  25599  lgamcvg2  25624  relgamcl  25631  ftalem2  25643  mulog2sumlem1  26102  mulog2sumlem3  26104  pntrlog2bndlem2  26146  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  colinearalglem4  26687  axpaschlem  26718  wwlksnred  27662  wwlksnext  27663  wwlksnredwwlkn  27665  wwlksnextproplem2  27681  clwlkclwwlklem2  27770  clwlkclwwlklem3  27771  clwwlkf  27818  wwlksext2clwwlk  27828  eucrct2eupth  28016  numclwwlk2lem1  28147  numclwlk2lem2f  28148  pjhthlem1  29160  fzm1ne1  30504  fzom1ne1  30516  wrdt2ind  30620  cshwrnid  30628  psgnfzto1stlem  30735  cycpmco2lem4  30764  cycpmco2lem5  30765  cycpmco2lem7  30767  madjusmdetlem2  31086  dya2icoseg  31528  fibp1  31652  ballotlemfc0  31743  ballotlemfcc  31744  ballotlemsgt1  31761  ballotlemsel1i  31763  ballotlemsima  31766  ballotlem1ri  31785  signstfvn  31832  reprsuc  31879  bcprod  32963  bccolsum  32964  unblimceq0  33839  knoppndvlem6  33849  bj-bary1lem1  34584  sin2h  34874  itg2addnclem  34935  itg2addnclem3  34937  areacirclem4  34977  ssbnd  35058  dffltz  39262  jm2.19lem4  39580  jm2.23  39584  itgpowd  39812  int-eqmvtd  40533  hashnzfzclim  40645  dvradcnv2  40670  binomcxplemnn0  40672  binomcxplemnotnn0  40679  nnsplit  41616  iccshift  41784  iooshift  41788  climinf  41877  limcperiod  41899  0ellimcdiv  41920  cncfshift  42147  cncfperiod  42152  dvdsn1add  42214  dvnmul  42218  dvnprodlem1  42221  itgiccshift  42255  itgperiod  42256  stoweidlem17  42293  wallispilem4  42344  wallispilem5  42345  stirlinglem1  42350  stirlinglem5  42354  stirlinglem6  42355  stirlinglem10  42359  dirkertrigeqlem2  42375  fourierdlem14  42397  fourierdlem19  42402  fourierdlem41  42424  fourierdlem42  42425  fourierdlem48  42430  fourierdlem49  42431  fourierdlem50  42432  fourierdlem64  42446  fourierdlem74  42456  fourierdlem75  42457  fourierdlem81  42463  fourierdlem92  42474  fourierdlem97  42479  fourierdlem103  42485  fourierdlem104  42486  fourierdlem107  42489  etransclem9  42519  nnfoctbdjlem  42728  fldivmod  44569
  Copyright terms: Public domain W3C validator