Theorem pncand 11558

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11612  mvlladdd  11613  mvrraddd  11614  addlsub  11618  pnpncand  11623  pncan1  11626  eluzmn  12860  icoshftf1o  13492  xov1plusxeqvd  13516  fzom1ne1  13805  modaddb  13933  zesq  14253  hashdifsnp1  14533  ccatval3  14606  fsump1  15797  fsumrev2  15823  fprodp1  16013  risefacp1  16073  fallfacp1  16074  sadcp1  16503  smupp1  16528  hashdvds  16824  pythagtriplem4  16869  pythagtriplem6  16871  pythagtriplem7  16872  pythagtriplem12  16876  pythagtriplem14  16878  pcqdiv  16907  chnub  18668  chnlt  18669  chnccat  18672  mulgdirlem  19162  psdmplcl  22285  cayhamlem1  22984  pjthlem1  25557  ovolicopnf  25644  i1faddlem  25813  itg1addlem4  25819  itgpowd  26170  taylthlem2  26495  ulmshft  26511  efif1olem2  26666  efif1olem4  26668  logdiflbnd  27117  lgamgulmlem2  27152  lgamcvg2  27177  relgamcl  27184  ftalem2  27196  mulog2sumlem1  27656  mulog2sumlem3  27658  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  colinearalglem4  29168  axpaschlem  29199  wwlksnred  30150  wwlksnext  30151  wwlksnredwwlkn  30153  wwlksnextproplem2  30168  clwlkclwwlklem2  30260  clwlkclwwlklem3  30261  clwwlkf  30307  wwlksext2clwwlk  30317  eucrct2eupth  30505  numclwwlk2lem1  30636  numclwlk2lem2f  30637  pjhthlem1  31652  fzm1ne1  33045  wrdt2ind  33186  cshwrnid  33194  psgnfzto1stlem  33333  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem5  33363  cycpmco2lem7  33365  esplyindfv  33883  constraddcl  34069  constrremulcl  34074  madjusmdetlem2  34135  dya2icoseg  34584  fibp1  34708  ballotlemfc0  34800  ballotlemfcc  34801  ballotlemsgt1  34818  ballotlemsel1i  34820  ballotlemsima  34823  ballotlem1ri  34842  signstfvn  34873  reprsuc  34919  bcprod  36101  bccolsum  36102  unblimceq0  36958  knoppndvlem6  36968  bj-bary1lem1  37815  sin2h  38121  itg2addnclem  38182  itg2addnclem3  38184  areacirclem4  38222  ssbnd  38299  lcmineqlem10  42667  lcmineqlem11  42668  lcmineqlem18  42675  lcmineqlem19  42676  sticksstones12a  42786  sticksstones12  42787  aks6d1c6lem3  42801  bcle2d  42808  aks6d1c7lem1  42809  mvrrsubd  42895  fz1sump1  42931  oddnumth  42932  dffltz  43228  jm2.19lem4  43581  jm2.23  43585  int-eqmvtd  44777  hashnzfzclim  44896  dvradcnv2  44921  binomcxplemnn0  44923  binomcxplemnotnn0  44930  nnsplit  45932  iccshift  46092  iooshift  46096  climinf  46180  limcperiod  46202  0ellimcdiv  46221  cncfshift  46446  cncfperiod  46451  dvdsn1add  46511  dvnmul  46515  itgiccshift  46552  itgperiod  46553  stoweidlem17  46589  wallispilem4  46640  wallispilem5  46641  stirlinglem1  46646  stirlinglem5  46650  stirlinglem6  46651  stirlinglem10  46655  dirkertrigeqlem2  46671  fourierdlem14  46693  fourierdlem19  46698  fourierdlem41  46720  fourierdlem42  46721  fourierdlem48  46726  fourierdlem49  46727  fourierdlem50  46728  fourierdlem64  46742  fourierdlem74  46752  fourierdlem75  46753  fourierdlem81  46759  fourierdlem92  46770  fourierdlem97  46775  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem107  46785  etransclem9  46815  nnfoctbdjlem  47027  chnerlem2  47457  fldivmod  47936  gpgvtxedg1  48684