Theorem pncand 11494

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11548  mvlladdd  11549  mvrraddd  11550  addlsub  11554  pnpncand  11559  pncan1  11562  eluzmn  12760  icoshftf1o  13395  xov1plusxeqvd  13419  modaddb  13831  zesq  14151  hashdifsnp1  14431  ccatval3  14504  fsump1  15681  fsumrev2  15707  fprodp1  15894  risefacp1  15954  fallfacp1  15955  sadcp1  16384  smupp1  16409  hashdvds  16704  pythagtriplem4  16749  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem12  16756  pythagtriplem14  16758  pcqdiv  16787  mulgdirlem  19002  psdmplcl  22065  cayhamlem1  22769  pjthlem1  25353  ovolicopnf  25441  i1faddlem  25610  itg1addlem4  25616  itgpowd  25973  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  ulmshft  26315  efif1olem2  26468  efif1olem4  26470  logdiflbnd  26921  lgamgulmlem2  26956  lgamcvg2  26981  relgamcl  26988  ftalem2  27000  mulog2sumlem1  27461  mulog2sumlem3  27463  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  colinearalglem4  28872  axpaschlem  28903  wwlksnred  29855  wwlksnext  29856  wwlksnredwwlkn  29858  wwlksnextproplem2  29873  clwlkclwwlklem2  29962  clwlkclwwlklem3  29963  clwwlkf  30009  wwlksext2clwwlk  30019  eucrct2eupth  30207  numclwwlk2lem1  30338  numclwlk2lem2f  30339  pjhthlem1  31353  fzm1ne1  32744  fzom1ne1  32757  wrdt2ind  32908  cshwrnid  32916  chnub  32967  chnlt  32968  psgnfzto1stlem  33055  cycpmco2lem4  33084  cycpmco2lem5  33085  cycpmco2lem7  33087  constraddcl  33728  constrremulcl  33733  madjusmdetlem2  33794  dya2icoseg  34244  fibp1  34368  ballotlemfc0  34460  ballotlemfcc  34461  ballotlemsgt1  34478  ballotlemsel1i  34480  ballotlemsima  34483  ballotlem1ri  34502  signstfvn  34536  reprsuc  34582  bcprod  35710  bccolsum  35711  unblimceq0  36480  knoppndvlem6  36490  bj-bary1lem1  37284  sin2h  37589  itg2addnclem  37650  itg2addnclem3  37652  areacirclem4  37690  ssbnd  37767  lcmineqlem10  42011  lcmineqlem11  42012  lcmineqlem18  42019  lcmineqlem19  42020  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  aks6d1c6lem3  42145  bcle2d  42152  aks6d1c7lem1  42153  mvrrsubd  42247  fz1sump1  42283  oddnumth  42284  dffltz  42607  jm2.19lem4  42965  jm2.23  42969  int-eqmvtd  44162  hashnzfzclim  44295  dvradcnv2  44320  binomcxplemnn0  44322  binomcxplemnotnn0  44329  nnsplit  45338  iccshift  45500  iooshift  45504  climinf  45588  limcperiod  45610  0ellimcdiv  45631  cncfshift  45856  cncfperiod  45861  dvdsn1add  45921  dvnmul  45925  itgiccshift  45962  itgperiod  45963  stoweidlem17  45999  wallispilem4  46050  wallispilem5  46051  stirlinglem1  46056  stirlinglem5  46060  stirlinglem6  46061  stirlinglem10  46065  dirkertrigeqlem2  46081  fourierdlem14  46103  fourierdlem19  46108  fourierdlem41  46130  fourierdlem42  46131  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem50  46138  fourierdlem64  46152  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem81  46169  fourierdlem92  46180  fourierdlem97  46185  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem107  46195  etransclem9  46225  nnfoctbdjlem  46437  fldivmod  47323  gpgvtxedg1  48049