Theorem pncand 10998

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 10892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11050  mvlladdd  11051  mvrraddd  11052  addlsub  11056  pnpncand  11061  pncan1  11064  eluzmn  12251  icoshftf1o  12861  xov1plusxeqvd  12885  zesq  13588  hashdifsnp1  13855  ccatval3  13933  fsumrev2  15137  fprodp1  15323  risefacp1  15383  fallfacp1  15384  sadcp1  15804  smupp1  15829  hashdvds  16112  pythagtriplem4  16156  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem14  16165  pcqdiv  16194  mulgdirlem  18258  cayhamlem1  21474  pjthlem1  24040  ovolicopnf  24125  i1faddlem  24294  itg1addlem4  24300  taylthlem2  24962  ulmshft  24978  efif1olem2  25127  efif1olem4  25129  logdiflbnd  25572  lgamgulmlem2  25607  lgamcvg2  25632  relgamcl  25639  ftalem2  25651  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem3  26112  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  colinearalglem4  26695  axpaschlem  26726  wwlksnred  27670  wwlksnext  27671  wwlksnredwwlkn  27673  wwlksnextproplem2  27689  clwlkclwwlklem2  27778  clwlkclwwlklem3  27779  clwwlkf  27826  wwlksext2clwwlk  27836  eucrct2eupth  28024  numclwwlk2lem1  28155  numclwlk2lem2f  28156  pjhthlem1  29168  fzm1ne1  30512  fzom1ne1  30524  wrdt2ind  30627  cshwrnid  30635  psgnfzto1stlem  30742  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cycpmco2lem7  30774  madjusmdetlem2  31093  dya2icoseg  31535  fibp1  31659  ballotlemfc0  31750  ballotlemfcc  31751  ballotlemsgt1  31768  ballotlemsel1i  31770  ballotlemsima  31773  ballotlem1ri  31792  signstfvn  31839  reprsuc  31886  bcprod  32970  bccolsum  32971  unblimceq0  33846  knoppndvlem6  33856  bj-bary1lem1  34595  sin2h  34897  itg2addnclem  34958  itg2addnclem3  34960  areacirclem4  35000  ssbnd  35081  dffltz  39291  jm2.19lem4  39609  jm2.23  39613  itgpowd  39841  int-eqmvtd  40562  hashnzfzclim  40674  dvradcnv2  40699  binomcxplemnn0  40701  binomcxplemnotnn0  40708  nnsplit  41646  iccshift  41814  iooshift  41818  climinf  41907  limcperiod  41929  0ellimcdiv  41950  cncfshift  42177  cncfperiod  42182  dvdsn1add  42244  dvnmul  42248  dvnprodlem1  42251  itgiccshift  42285  itgperiod  42286  stoweidlem17  42322  wallispilem4  42373  wallispilem5  42374  stirlinglem1  42379  stirlinglem5  42383  stirlinglem6  42384  stirlinglem10  42388  dirkertrigeqlem2  42404  fourierdlem14  42426  fourierdlem19  42431  fourierdlem41  42453  fourierdlem42  42454  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem50  42461  fourierdlem64  42475  fourierdlem74  42485  fourierdlem75  42486  fourierdlem81  42492  fourierdlem92  42503  fourierdlem97  42508  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem107  42518  etransclem9  42548  nnfoctbdjlem  42757  fldivmod  44598