Theorem pncand 11541

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11595  mvlladdd  11596  mvrraddd  11597  addlsub  11601  pnpncand  11606  pncan1  11609  eluzmn  12807  icoshftf1o  13442  xov1plusxeqvd  13466  modaddb  13878  zesq  14198  hashdifsnp1  14478  ccatval3  14551  fsump1  15729  fsumrev2  15755  fprodp1  15942  risefacp1  16002  fallfacp1  16003  sadcp1  16432  smupp1  16457  hashdvds  16752  pythagtriplem4  16797  pythagtriplem6  16799  pythagtriplem7  16800  pythagtriplem12  16804  pythagtriplem14  16806  pcqdiv  16835  mulgdirlem  19044  psdmplcl  22056  cayhamlem1  22760  pjthlem1  25344  ovolicopnf  25432  i1faddlem  25601  itg1addlem4  25607  itgpowd  25964  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  ulmshft  26306  efif1olem2  26459  efif1olem4  26461  logdiflbnd  26912  lgamgulmlem2  26947  lgamcvg2  26972  relgamcl  26979  ftalem2  26991  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem3  27454  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  colinearalglem4  28843  axpaschlem  28874  wwlksnred  29829  wwlksnext  29830  wwlksnredwwlkn  29832  wwlksnextproplem2  29847  clwlkclwwlklem2  29936  clwlkclwwlklem3  29937  clwwlkf  29983  wwlksext2clwwlk  29993  eucrct2eupth  30181  numclwwlk2lem1  30312  numclwlk2lem2f  30313  pjhthlem1  31327  fzm1ne1  32718  fzom1ne1  32731  wrdt2ind  32882  cshwrnid  32890  chnub  32945  chnlt  32946  psgnfzto1stlem  33064  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem7  33096  constraddcl  33759  constrremulcl  33764  madjusmdetlem2  33825  dya2icoseg  34275  fibp1  34399  ballotlemfc0  34491  ballotlemfcc  34492  ballotlemsgt1  34509  ballotlemsel1i  34511  ballotlemsima  34514  ballotlem1ri  34533  signstfvn  34567  reprsuc  34613  bcprod  35732  bccolsum  35733  unblimceq0  36502  knoppndvlem6  36512  bj-bary1lem1  37306  sin2h  37611  itg2addnclem  37672  itg2addnclem3  37674  areacirclem4  37712  ssbnd  37789  lcmineqlem10  42033  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem18  42041  lcmineqlem19  42042  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  aks6d1c6lem3  42167  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  mvrrsubd  42269  fz1sump1  42305  oddnumth  42306  dffltz  42629  jm2.19lem4  42988  jm2.23  42992  int-eqmvtd  44185  hashnzfzclim  44318  dvradcnv2  44343  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemnotnn0  44352  nnsplit  45361  iccshift  45523  iooshift  45527  climinf  45611  limcperiod  45633  0ellimcdiv  45654  cncfshift  45879  cncfperiod  45884  dvdsn1add  45944  dvnmul  45948  itgiccshift  45985  itgperiod  45986  stoweidlem17  46022  wallispilem4  46073  wallispilem5  46074  stirlinglem1  46079  stirlinglem5  46083  stirlinglem6  46084  stirlinglem10  46088  dirkertrigeqlem2  46104  fourierdlem14  46126  fourierdlem19  46131  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem50  46161  fourierdlem64  46175  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem81  46192  fourierdlem92  46203  fourierdlem97  46208  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem107  46218  etransclem9  46248  nnfoctbdjlem  46460  fldivmod  47343  gpgvtxedg1  48059