Theorem pncand 11505

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11559  mvlladdd  11560  mvrraddd  11561  addlsub  11565  pnpncand  11570  pncan1  11573  eluzmn  12770  icoshftf1o  13402  xov1plusxeqvd  13426  fzom1ne1  13713  modaddb  13841  zesq  14161  hashdifsnp1  14441  ccatval3  14514  fsump1  15691  fsumrev2  15717  fprodp1  15904  risefacp1  15964  fallfacp1  15965  sadcp1  16394  smupp1  16419  hashdvds  16714  pythagtriplem4  16759  pythagtriplem6  16761  pythagtriplem7  16762  pythagtriplem12  16766  pythagtriplem14  16768  pcqdiv  16797  chnub  18557  chnlt  18558  chnccat  18561  mulgdirlem  19047  psdmplcl  22117  cayhamlem1  22822  pjthlem1  25405  ovolicopnf  25493  i1faddlem  25662  itg1addlem4  25668  itgpowd  26025  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  ulmshft  26367  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  logdiflbnd  26973  lgamgulmlem2  27008  lgamcvg2  27033  relgamcl  27040  ftalem2  27052  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem3  27515  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  colinearalglem4  28994  axpaschlem  29025  wwlksnred  29977  wwlksnext  29978  wwlksnredwwlkn  29980  wwlksnextproplem2  29995  clwlkclwwlklem2  30087  clwlkclwwlklem3  30088  clwwlkf  30134  wwlksext2clwwlk  30144  eucrct2eupth  30332  numclwwlk2lem1  30463  numclwlk2lem2f  30464  pjhthlem1  31478  fzm1ne1  32878  wrdt2ind  33045  cshwrnid  33053  psgnfzto1stlem  33193  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem7  33225  esplyindfv  33752  constraddcl  33939  constrremulcl  33944  madjusmdetlem2  34005  dya2icoseg  34454  fibp1  34578  ballotlemfc0  34670  ballotlemfcc  34671  ballotlemsgt1  34688  ballotlemsel1i  34690  ballotlemsima  34693  ballotlem1ri  34712  signstfvn  34746  reprsuc  34792  bcprod  35951  bccolsum  35952  unblimceq0  36726  knoppndvlem6  36736  bj-bary1lem1  37560  sin2h  37855  itg2addnclem  37916  itg2addnclem3  37918  areacirclem4  37956  ssbnd  38033  lcmineqlem10  42402  lcmineqlem11  42403  lcmineqlem18  42410  lcmineqlem19  42411  sticksstones12a  42521  sticksstones12  42522  aks6d1c6lem3  42536  bcle2d  42543  aks6d1c7lem1  42544  mvrrsubd  42638  fz1sump1  42674  oddnumth  42675  dffltz  42986  jm2.19lem4  43343  jm2.23  43347  int-eqmvtd  44539  hashnzfzclim  44672  dvradcnv2  44697  binomcxplemnn0  44699  binomcxplemnotnn0  44706  nnsplit  45711  iccshift  45872  iooshift  45876  climinf  45960  limcperiod  45982  0ellimcdiv  46001  cncfshift  46226  cncfperiod  46231  dvdsn1add  46291  dvnmul  46295  itgiccshift  46332  itgperiod  46333  stoweidlem17  46369  wallispilem4  46420  wallispilem5  46421  stirlinglem1  46426  stirlinglem5  46430  stirlinglem6  46431  stirlinglem10  46435  dirkertrigeqlem2  46451  fourierdlem14  46473  fourierdlem19  46478  fourierdlem41  46500  fourierdlem42  46501  fourierdlem48  46506  fourierdlem49  46507  fourierdlem50  46508  fourierdlem64  46522  fourierdlem74  46532  fourierdlem75  46533  fourierdlem81  46539  fourierdlem92  46550  fourierdlem97  46555  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  fourierdlem107  46565  etransclem9  46595  nnfoctbdjlem  46807  chnerlem2  47235  fldivmod  47692  gpgvtxedg1  48418