Theorem pncand 11571

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11625  mvlladdd  11626  mvrraddd  11627  addlsub  11631  pnpncand  11636  pncan1  11639  eluzmn  12870  icoshftf1o  13502  xov1plusxeqvd  13526  fzom1ne1  13816  modaddb  13944  zesq  14264  hashdifsnp1  14545  ccatval3  14618  fsump1  15809  fsumrev2  15835  fprodp1  16025  risefacp1  16084  fallfacp1  16085  sadcp1  16514  smupp1  16539  hashdvds  16835  pythagtriplem4  16880  pythagtriplem6  16882  pythagtriplem7  16883  pythagtriplem12  16887  pythagtriplem14  16889  pcqdiv  16918  chnub  18679  chnlt  18680  chnccat  18683  mulgdirlem  19172  psdmplcl  22306  cayhamlem1  23004  pjthlem1  25577  ovolicopnf  25664  i1faddlem  25833  itg1addlem4  25839  itgpowd  26190  taylthlem2  26515  ulmshft  26531  efif1olem2  26686  efif1olem4  26688  logdiflbnd  27137  lgamgulmlem2  27172  lgamcvg2  27197  relgamcl  27204  ftalem2  27216  mulog2sumlem1  27676  mulog2sumlem3  27678  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem5  27723  colinearalglem4  29237  axpaschlem  29268  wwlksnred  30219  wwlksnext  30220  wwlksnredwwlkn  30222  wwlksnextproplem2  30237  clwlkclwwlklem2  30329  clwlkclwwlklem3  30330  clwwlkf  30376  wwlksext2clwwlk  30386  eucrct2eupth  30574  numclwwlk2lem1  30705  numclwlk2lem2f  30706  pjhthlem1  31721  fzm1ne1  33111  wrdt2ind  33251  cshwrnid  33259  psgnfzto1stlem  33398  cycpmco2lem4  33427  cycpmco2lem5  33428  cycpmco2lem7  33430  esplyindfv  33944  constraddcl  34130  constrremulcl  34135  madjusmdetlem2  34196  dya2icoseg  34645  fibp1  34769  ballotlemfc0  34861  ballotlemfcc  34862  ballotlemsgt1  34879  ballotlemsel1i  34881  ballotlemsima  34884  ballotlem1ri  34903  signstfvn  34934  reprsuc  34980  bcprod  36208  bccolsum  36209  unblimceq0  37074  knoppndvlem6  37084  bj-bary1lem1  37933  sin2h  38239  itg2addnclem  38300  itg2addnclem3  38302  areacirclem4  38340  ssbnd  38417  lcmineqlem10  42783  lcmineqlem11  42784  lcmineqlem18  42791  lcmineqlem19  42792  sticksstones12a  42902  sticksstones12  42903  aks6d1c6lem3  42917  bcle2d  42924  aks6d1c7lem1  42925  mvrrsubd  43013  fz1sump1  43049  oddnumth  43050  dffltz  43346  jm2.19lem4  43699  jm2.23  43703  int-eqmvtd  44895  hashnzfzclim  45012  dvradcnv2  45037  binomcxplemnn0  45039  binomcxplemnotnn0  45046  nnsplit  46054  iccshift  46214  iooshift  46218  climinf  46302  limcperiod  46324  0ellimcdiv  46343  cncfshift  46568  cncfperiod  46573  dvdsn1add  46633  dvnmul  46637  itgiccshift  46674  itgperiod  46675  stoweidlem17  46711  wallispilem4  46762  wallispilem5  46763  stirlinglem1  46768  stirlinglem5  46772  stirlinglem6  46773  stirlinglem10  46777  dirkertrigeqlem2  46793  fourierdlem14  46815  fourierdlem19  46820  fourierdlem41  46842  fourierdlem42  46843  fourierdlem48  46848  fourierdlem49  46849  fourierdlem50  46850  fourierdlem64  46864  fourierdlem74  46874  fourierdlem75  46875  fourierdlem81  46881  fourierdlem92  46892  fourierdlem97  46897  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  fourierdlem107  46907  etransclem9  46937  nnfoctbdjlem  47149  chnerlem2  47579  fldivmod  48058  gpgvtxedg1  48806