Theorem pncand 11697

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   + caddc 11230   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  mvlraddd  11751  mvlladdd  11752  mvrraddd  11754  mvrrsubd  11756  addlsub  11759  pnpncand  11764  pncan1  11767  eluzmn  12999  icoshftf1o  13632  xov1plusxeqvd  13656  fzom1ne1  13947  modaddb  14076  zesq  14397  hashdifsnp1  14678  ccatval3  14751  fsump1  15951  fsumrev2  15977  fprodp1  16165  risefacp1  16224  fallfacp1  16225  sadcp1  16654  smupp1  16679  hashdvds  16981  pythagtriplem4  17026  pythagtriplem6  17028  pythagtriplem7  17029  pythagtriplem12  17033  pythagtriplem14  17035  pcqdiv  17064  chnub  18825  chnlt  18826  chnccat  18829  mulgdirlem  19344  psdmplcl  22513  cayhamlem1  23214  pjthlem1  25788  ovolicopnf  25875  i1faddlem  26044  itg1addlem4  26050  itgpowd  26400  taylthlem2  26731  ulmshft  26747  efif1olem2  26901  efif1olem4  26903  logdiflbnd  27352  lgamgulmlem2  27387  lgamcvg2  27412  relgamcl  27419  ftalem2  27431  mulog2sumlem1  27891  mulog2sumlem3  27893  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  colinearalglem4  29517  axpaschlem  29548  wwlksnred  30511  wwlksnext  30512  wwlksnredwwlkn  30514  wwlksnextproplem2  30529  clwlkclwwlklem2  30621  clwlkclwwlklem3  30622  clwwlkf  30668  wwlksext2clwwlk  30678  eucrct2eupth  30876  numclwwlk2lem1  31007  numclwlk2lem2f  31008  pjhthlem1  32023  fzm1ne1  33450  wrdt2ind  33586  cshwrnid  33592  psgnfzto1stlem  33731  cycpmco2lem4  33760  cycpmco2lem5  33761  cycpmco2lem7  33763  esplyindfv  34278  constraddcl  34464  constrremulcl  34469  madjusmdetlem2  34530  dya2icoseg  34979  fibp1  35103  ballotlemfc0  35195  ballotlemfcc  35196  ballotlemsgt1  35213  ballotlemsel1i  35215  ballotlemsima  35218  ballotlem1ri  35237  signstfvn  35268  reprsuc  35314  bcprod  36681  bccolsum  36682  unblimceq0  37551  knoppndvlem6  37561  bj-bary1lem1  38424  sin2h  38725  itg2addnclem  38781  itg2addnclem3  38783  areacirclem4  38821  ssbnd  38914  lcmineqlem10  43280  lcmineqlem11  43281  lcmineqlem18  43288  lcmineqlem19  43289  sticksstones12a  43399  sticksstones12  43400  aks6d1c6lem3  43414  bcle2d  43421  aks6d1c7lem1  43422  fz1sump1  43560  oddnumth  43561  dffltz  43863  jm2.19lem4  44192  jm2.23  44196  int-eqmvtd  45381  hashnzfzclim  45498  dvradcnv2  45523  binomcxplemnn0  45525  binomcxplemnotnn0  45532  nnsplit  46575  iccshift  46735  iooshift  46739  climinf  46823  limcperiod  46845  0ellimcdiv  46864  cncfshift  47089  cncfperiod  47094  dvdsn1add  47154  dvnmul  47158  itgiccshift  47195  itgperiod  47196  stoweidlem17  47232  wallispilem4  47283  wallispilem5  47284  stirlinglem1  47289  stirlinglem5  47293  stirlinglem6  47294  stirlinglem10  47298  dirkertrigeqlem2  47314  fourierdlem14  47336  fourierdlem19  47341  fourierdlem41  47363  fourierdlem42  47364  fourierdlem48  47369  fourierdlem49  47370  fourierdlem50  47371  fourierdlem64  47385  fourierdlem74  47395  fourierdlem75  47396  fourierdlem81  47402  fourierdlem92  47413  fourierdlem97  47418  fourierdlem103  47424  fourierdlem104  47425  fourierdlem107  47428  etransclem9  47458  nnfoctbdjlem  47670  chnerlem2  48098  fldivmod  48619  gpgvtxedg1  49367