Theorem pncand 11622

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11674  mvlladdd  11675  mvrraddd  11676  addlsub  11680  pnpncand  11685  pncan1  11688  eluzmn  12886  icoshftf1o  13515  xov1plusxeqvd  13539  zesq  14266  hashdifsnp1  14546  ccatval3  14618  fsump1  15793  fsumrev2  15819  fprodp1  16006  risefacp1  16066  fallfacp1  16067  sadcp1  16493  smupp1  16518  hashdvds  16813  pythagtriplem4  16858  pythagtriplem6  16860  pythagtriplem7  16861  pythagtriplem12  16865  pythagtriplem14  16867  pcqdiv  16896  mulgdirlem  19124  psdmplcl  22167  cayhamlem1  22873  pjthlem1  25472  ovolicopnf  25560  i1faddlem  25729  itg1addlem4  25735  itgpowd  26092  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  ulmshft  26434  efif1olem2  26586  efif1olem4  26588  logdiflbnd  27039  lgamgulmlem2  27074  lgamcvg2  27099  relgamcl  27106  ftalem2  27118  mulog2sumlem1  27579  mulog2sumlem3  27581  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  colinearalglem4  28925  axpaschlem  28956  wwlksnred  29913  wwlksnext  29914  wwlksnredwwlkn  29916  wwlksnextproplem2  29931  clwlkclwwlklem2  30020  clwlkclwwlklem3  30021  clwwlkf  30067  wwlksext2clwwlk  30077  eucrct2eupth  30265  numclwwlk2lem1  30396  numclwlk2lem2f  30397  pjhthlem1  31411  fzm1ne1  32791  fzom1ne1  32804  wrdt2ind  32939  cshwrnid  32947  chnub  33003  chnlt  33004  psgnfzto1stlem  33121  cycpmco2lem4  33150  cycpmco2lem5  33151  cycpmco2lem7  33153  madjusmdetlem2  33828  dya2icoseg  34280  fibp1  34404  ballotlemfc0  34496  ballotlemfcc  34497  ballotlemsgt1  34514  ballotlemsel1i  34516  ballotlemsima  34519  ballotlem1ri  34538  signstfvn  34585  reprsuc  34631  bcprod  35739  bccolsum  35740  unblimceq0  36509  knoppndvlem6  36519  bj-bary1lem1  37313  sin2h  37618  itg2addnclem  37679  itg2addnclem3  37681  areacirclem4  37719  ssbnd  37796  lcmineqlem10  42040  lcmineqlem11  42041  lcmineqlem18  42048  lcmineqlem19  42049  sticksstones12a  42159  sticksstones12  42160  aks6d1c6lem3  42174  bcle2d  42181  aks6d1c7lem1  42182  metakunt12  42218  mvrrsubd  42314  fz1sump1  42349  oddnumth  42350  dffltz  42649  jm2.19lem4  43009  jm2.23  43013  int-eqmvtd  44207  hashnzfzclim  44346  dvradcnv2  44371  binomcxplemnn0  44373  binomcxplemnotnn0  44380  nnsplit  45374  iccshift  45536  iooshift  45540  climinf  45626  limcperiod  45648  0ellimcdiv  45669  cncfshift  45894  cncfperiod  45899  dvdsn1add  45959  dvnmul  45963  itgiccshift  46000  itgperiod  46001  stoweidlem17  46037  wallispilem4  46088  wallispilem5  46089  stirlinglem1  46094  stirlinglem5  46098  stirlinglem6  46099  stirlinglem10  46103  dirkertrigeqlem2  46119  fourierdlem14  46141  fourierdlem19  46146  fourierdlem41  46168  fourierdlem42  46169  fourierdlem48  46174  fourierdlem49  46175  fourierdlem50  46176  fourierdlem64  46190  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem81  46207  fourierdlem92  46218  fourierdlem97  46223  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem107  46233  etransclem9  46263  nnfoctbdjlem  46475  fldivmod  47345  gpgvtxedg1  48027