Theorem pncand 11497

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11551  mvlladdd  11552  mvrraddd  11553  addlsub  11557  pnpncand  11562  pncan1  11565  eluzmn  12786  icoshftf1o  13418  xov1plusxeqvd  13442  fzom1ne1  13731  modaddb  13859  zesq  14179  hashdifsnp1  14459  ccatval3  14532  fsump1  15709  fsumrev2  15735  fprodp1  15925  risefacp1  15985  fallfacp1  15986  sadcp1  16415  smupp1  16440  hashdvds  16736  pythagtriplem4  16781  pythagtriplem6  16783  pythagtriplem7  16784  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem14  16790  pcqdiv  16819  chnub  18579  chnlt  18580  chnccat  18583  mulgdirlem  19072  psdmplcl  22138  cayhamlem1  22841  pjthlem1  25414  ovolicopnf  25501  i1faddlem  25670  itg1addlem4  25676  itgpowd  26027  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  ulmshft  26368  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  logdiflbnd  26972  lgamgulmlem2  27007  lgamcvg2  27032  relgamcl  27039  ftalem2  27051  mulog2sumlem1  27511  mulog2sumlem3  27513  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  colinearalglem4  28992  axpaschlem  29023  wwlksnred  29975  wwlksnext  29976  wwlksnredwwlkn  29978  wwlksnextproplem2  29993  clwlkclwwlklem2  30085  clwlkclwwlklem3  30086  clwwlkf  30132  wwlksext2clwwlk  30142  eucrct2eupth  30330  numclwwlk2lem1  30461  numclwlk2lem2f  30462  pjhthlem1  31477  fzm1ne1  32876  wrdt2ind  33028  cshwrnid  33036  psgnfzto1stlem  33176  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmco2lem7  33208  esplyindfv  33735  constraddcl  33922  constrremulcl  33927  madjusmdetlem2  33988  dya2icoseg  34437  fibp1  34561  ballotlemfc0  34653  ballotlemfcc  34654  ballotlemsgt1  34671  ballotlemsel1i  34673  ballotlemsima  34676  ballotlem1ri  34695  signstfvn  34729  reprsuc  34775  bcprod  35936  bccolsum  35937  unblimceq0  36783  knoppndvlem6  36793  bj-bary1lem1  37641  sin2h  37945  itg2addnclem  38006  itg2addnclem3  38008  areacirclem4  38046  ssbnd  38123  lcmineqlem10  42491  lcmineqlem11  42492  lcmineqlem18  42499  lcmineqlem19  42500  sticksstones12a  42610  sticksstones12  42611  aks6d1c6lem3  42625  bcle2d  42632  aks6d1c7lem1  42633  mvrrsubd  42720  fz1sump1  42756  oddnumth  42757  dffltz  43081  jm2.19lem4  43438  jm2.23  43442  int-eqmvtd  44634  hashnzfzclim  44767  dvradcnv2  44792  binomcxplemnn0  44794  binomcxplemnotnn0  44801  nnsplit  45806  iccshift  45966  iooshift  45970  climinf  46054  limcperiod  46076  0ellimcdiv  46095  cncfshift  46320  cncfperiod  46325  dvdsn1add  46385  dvnmul  46389  itgiccshift  46426  itgperiod  46427  stoweidlem17  46463  wallispilem4  46514  wallispilem5  46515  stirlinglem1  46520  stirlinglem5  46524  stirlinglem6  46525  stirlinglem10  46529  dirkertrigeqlem2  46545  fourierdlem14  46567  fourierdlem19  46572  fourierdlem41  46594  fourierdlem42  46595  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem50  46602  fourierdlem64  46616  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem81  46633  fourierdlem92  46644  fourierdlem97  46649  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem107  46659  etransclem9  46689  nnfoctbdjlem  46901  chnerlem2  47329  fldivmod  47804  gpgvtxedg1  48552