Theorem pncand 10987

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 10881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11039  mvlladdd  11040  mvrraddd  11041  addlsub  11045  pnpncand  11050  pncan1  11053  eluzmn  12238  icoshftf1o  12852  xov1plusxeqvd  12876  zesq  13583  hashdifsnp1  13850  ccatval3  13924  fsumrev2  15129  fprodp1  15315  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  sadcp1  15794  smupp1  15819  hashdvds  16102  pythagtriplem4  16146  pythagtriplem6  16148  pythagtriplem7  16149  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  pcqdiv  16184  mulgdirlem  18250  cayhamlem1  21471  pjthlem1  24041  ovolicopnf  24128  i1faddlem  24297  itg1addlem4  24303  itgpowd  24653  taylthlem2  24969  ulmshft  24985  efif1olem2  25135  efif1olem4  25137  logdiflbnd  25580  lgamgulmlem2  25615  lgamcvg2  25640  relgamcl  25647  ftalem2  25659  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem3  26120  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  colinearalglem4  26703  axpaschlem  26734  wwlksnred  27678  wwlksnext  27679  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksnextproplem2  27696  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlklem3  27786  clwwlkf  27832  wwlksext2clwwlk  27842  eucrct2eupth  28030  numclwwlk2lem1  28161  numclwlk2lem2f  28162  pjhthlem1  29174  fzm1ne1  30538  fzom1ne1  30550  wrdt2ind  30653  cshwrnid  30661  psgnfzto1stlem  30792  cycpmco2lem4  30821  cycpmco2lem5  30822  cycpmco2lem7  30824  madjusmdetlem2  31181  dya2icoseg  31645  fibp1  31769  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemsgt1  31878  ballotlemsel1i  31880  ballotlemsima  31883  ballotlem1ri  31902  signstfvn  31949  reprsuc  31996  bcprod  33083  bccolsum  33084  unblimceq0  33959  knoppndvlem6  33969  bj-bary1lem1  34725  sin2h  35047  itg2addnclem  35108  itg2addnclem3  35110  areacirclem4  35148  ssbnd  35226  lcmineqlem10  39326  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem19  39335  metakunt12  39361  dffltz  39615  jm2.19lem4  39933  jm2.23  39937  int-eqmvtd  40895  hashnzfzclim  41026  dvradcnv2  41051  binomcxplemnn0  41053  binomcxplemnotnn0  41060  nnsplit  41990  iccshift  42155  iooshift  42159  climinf  42248  limcperiod  42270  0ellimcdiv  42291  cncfshift  42516  cncfperiod  42521  dvdsn1add  42581  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  itgiccshift  42622  itgperiod  42623  stoweidlem17  42659  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  stirlinglem1  42716  stirlinglem5  42720  stirlinglem6  42721  stirlinglem10  42725  dirkertrigeqlem2  42741  fourierdlem14  42763  fourierdlem19  42768  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem64  42812  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem81  42829  fourierdlem92  42840  fourierdlem97  42845  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  etransclem9  42885  nnfoctbdjlem  43094  fldivmod  44932