Theorem pncand 11534

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11588  mvlladdd  11589  mvrraddd  11590  addlsub  11594  pnpncand  11599  pncan1  11602  eluzmn  12800  icoshftf1o  13435  xov1plusxeqvd  13459  modaddb  13871  zesq  14191  hashdifsnp1  14471  ccatval3  14544  fsump1  15722  fsumrev2  15748  fprodp1  15935  risefacp1  15995  fallfacp1  15996  sadcp1  16425  smupp1  16450  hashdvds  16745  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  pcqdiv  16828  mulgdirlem  19037  psdmplcl  22049  cayhamlem1  22753  pjthlem1  25337  ovolicopnf  25425  i1faddlem  25594  itg1addlem4  25600  itgpowd  25957  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  ulmshft  26299  efif1olem2  26452  efif1olem4  26454  logdiflbnd  26905  lgamgulmlem2  26940  lgamcvg2  26965  relgamcl  26972  ftalem2  26984  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem3  27447  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  colinearalglem4  28836  axpaschlem  28867  wwlksnred  29822  wwlksnext  29823  wwlksnredwwlkn  29825  wwlksnextproplem2  29840  clwlkclwwlklem2  29929  clwlkclwwlklem3  29930  clwwlkf  29976  wwlksext2clwwlk  29986  eucrct2eupth  30174  numclwwlk2lem1  30305  numclwlk2lem2f  30306  pjhthlem1  31320  fzm1ne1  32711  fzom1ne1  32724  wrdt2ind  32875  cshwrnid  32883  chnub  32938  chnlt  32939  psgnfzto1stlem  33057  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem7  33089  constraddcl  33752  constrremulcl  33757  madjusmdetlem2  33818  dya2icoseg  34268  fibp1  34392  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  ballotlemsgt1  34502  ballotlemsel1i  34504  ballotlemsima  34507  ballotlem1ri  34526  signstfvn  34560  reprsuc  34606  bcprod  35725  bccolsum  35726  unblimceq0  36495  knoppndvlem6  36505  bj-bary1lem1  37299  sin2h  37604  itg2addnclem  37665  itg2addnclem3  37667  areacirclem4  37705  ssbnd  37782  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem18  42034  lcmineqlem19  42035  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  aks6d1c6lem3  42160  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  mvrrsubd  42262  fz1sump1  42298  oddnumth  42299  dffltz  42622  jm2.19lem4  42981  jm2.23  42985  int-eqmvtd  44178  hashnzfzclim  44311  dvradcnv2  44336  binomcxplemnn0  44338  binomcxplemnotnn0  44345  nnsplit  45354  iccshift  45516  iooshift  45520  climinf  45604  limcperiod  45626  0ellimcdiv  45647  cncfshift  45872  cncfperiod  45877  dvdsn1add  45937  dvnmul  45941  itgiccshift  45978  itgperiod  45979  stoweidlem17  46015  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  stirlinglem1  46072  stirlinglem5  46076  stirlinglem6  46077  stirlinglem10  46081  dirkertrigeqlem2  46097  fourierdlem14  46119  fourierdlem19  46124  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem64  46168  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem81  46185  fourierdlem92  46196  fourierdlem97  46201  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem107  46211  etransclem9  46241  nnfoctbdjlem  46453  fldivmod  47339  gpgvtxedg1  48055