Theorem pncand 11648

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11542	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11700  mvlladdd  11701  mvrraddd  11702  addlsub  11706  pnpncand  11711  pncan1  11714  eluzmn  12910  icoshftf1o  13534  xov1plusxeqvd  13558  zesq  14275  hashdifsnp1  14555  ccatval3  14627  fsump1  15804  fsumrev2  15830  fprodp1  16017  risefacp1  16077  fallfacp1  16078  sadcp1  16501  smupp1  16526  hashdvds  16822  pythagtriplem4  16866  pythagtriplem6  16868  pythagtriplem7  16869  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  pcqdiv  16904  mulgdirlem  19145  psdmplcl  22189  cayhamlem1  22893  pjthlem1  25490  ovolicopnf  25578  i1faddlem  25747  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  itgpowd  26111  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ulmshft  26451  efif1olem2  26603  efif1olem4  26605  logdiflbnd  27056  lgamgulmlem2  27091  lgamcvg2  27116  relgamcl  27123  ftalem2  27135  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem3  27598  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  colinearalglem4  28942  axpaschlem  28973  wwlksnred  29925  wwlksnext  29926  wwlksnredwwlkn  29928  wwlksnextproplem2  29943  clwlkclwwlklem2  30032  clwlkclwwlklem3  30033  clwwlkf  30079  wwlksext2clwwlk  30089  eucrct2eupth  30277  numclwwlk2lem1  30408  numclwlk2lem2f  30409  pjhthlem1  31423  fzm1ne1  32794  fzom1ne1  32806  wrdt2ind  32920  cshwrnid  32928  chnub  32984  chnlt  32985  psgnfzto1stlem  33093  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem7  33125  madjusmdetlem2  33774  dya2icoseg  34242  fibp1  34366  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemsgt1  34475  ballotlemsel1i  34477  ballotlemsima  34480  ballotlem1ri  34499  signstfvn  34546  reprsuc  34592  bcprod  35700  bccolsum  35701  unblimceq0  36473  knoppndvlem6  36483  bj-bary1lem1  37277  sin2h  37570  itg2addnclem  37631  itg2addnclem3  37633  areacirclem4  37671  ssbnd  37748  lcmineqlem10  41995  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem18  42003  lcmineqlem19  42004  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  aks6d1c6lem3  42129  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  metakunt12  42173  mvrrsubd  42263  fz1sump1  42298  oddnumth  42299  dffltz  42589  jm2.19lem4  42949  jm2.23  42953  int-eqmvtd  44151  hashnzfzclim  44291  dvradcnv2  44316  binomcxplemnn0  44318  binomcxplemnotnn0  44325  nnsplit  45273  iccshift  45436  iooshift  45440  climinf  45527  limcperiod  45549  0ellimcdiv  45570  cncfshift  45795  cncfperiod  45800  dvdsn1add  45860  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  stoweidlem17  45938  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  stirlinglem1  45995  stirlinglem5  45999  stirlinglem6  46000  stirlinglem10  46004  dirkertrigeqlem2  46020  fourierdlem14  46042  fourierdlem19  46047  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem64  46091  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem81  46108  fourierdlem92  46119  fourierdlem97  46124  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem107  46134  etransclem9  46164  nnfoctbdjlem  46376  fldivmod  48252