Theorem pncand 11673

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11566	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  mvlraddd  11727  mvlladdd  11728  mvrraddd  11730  mvrrsubd  11732  addlsub  11735  pnpncand  11740  pncan1  11743  eluzmn  12975  icoshftf1o  13608  xov1plusxeqvd  13632  fzom1ne1  13923  modaddb  14052  zesq  14373  hashdifsnp1  14654  ccatval3  14727  fsump1  15927  fsumrev2  15953  fprodp1  16141  risefacp1  16200  fallfacp1  16201  sadcp1  16630  smupp1  16655  hashdvds  16957  pythagtriplem4  17002  pythagtriplem6  17004  pythagtriplem7  17005  pythagtriplem12  17009  pythagtriplem14  17011  pcqdiv  17040  chnub  18801  chnlt  18802  chnccat  18805  mulgdirlem  19320  psdmplcl  22488  cayhamlem1  23189  pjthlem1  25763  ovolicopnf  25850  i1faddlem  26019  itg1addlem4  26025  itgpowd  26375  taylthlem2  26706  ulmshft  26722  efif1olem2  26876  efif1olem4  26878  logdiflbnd  27327  lgamgulmlem2  27362  lgamcvg2  27387  relgamcl  27394  ftalem2  27406  mulog2sumlem1  27866  mulog2sumlem3  27868  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913  colinearalglem4  29492  axpaschlem  29523  wwlksnred  30486  wwlksnext  30487  wwlksnredwwlkn  30489  wwlksnextproplem2  30504  clwlkclwwlklem2  30596  clwlkclwwlklem3  30597  clwwlkf  30643  wwlksext2clwwlk  30653  eucrct2eupth  30851  numclwwlk2lem1  30982  numclwlk2lem2f  30983  pjhthlem1  31998  fzm1ne1  33426  wrdt2ind  33562  cshwrnid  33568  psgnfzto1stlem  33707  cycpmco2lem4  33736  cycpmco2lem5  33737  cycpmco2lem7  33739  esplyindfv  34254  constraddcl  34440  constrremulcl  34445  madjusmdetlem2  34506  dya2icoseg  34955  fibp1  35079  ballotlemfc0  35171  ballotlemfcc  35172  ballotlemsgt1  35189  ballotlemsel1i  35191  ballotlemsima  35194  ballotlem1ri  35213  signstfvn  35244  reprsuc  35290  bcprod  36595  bccolsum  36596  unblimceq0  37465  knoppndvlem6  37475  bj-bary1lem1  38325  sin2h  38626  itg2addnclem  38682  itg2addnclem3  38684  areacirclem4  38722  ssbnd  38815  lcmineqlem10  43181  lcmineqlem11  43182  lcmineqlem18  43189  lcmineqlem19  43190  sticksstones12a  43300  sticksstones12  43301  aks6d1c6lem3  43315  bcle2d  43322  aks6d1c7lem1  43323  fz1sump1  43460  oddnumth  43461  dffltz  43763  jm2.19lem4  44092  jm2.23  44096  int-eqmvtd  45282  hashnzfzclim  45399  dvradcnv2  45424  binomcxplemnn0  45426  binomcxplemnotnn0  45433  nnsplit  46463  iccshift  46623  iooshift  46627  climinf  46711  limcperiod  46733  0ellimcdiv  46752  cncfshift  46977  cncfperiod  46982  dvdsn1add  47042  dvnmul  47046  itgiccshift  47083  itgperiod  47084  stoweidlem17  47120  wallispilem4  47171  wallispilem5  47172  stirlinglem1  47177  stirlinglem5  47181  stirlinglem6  47182  stirlinglem10  47186  dirkertrigeqlem2  47202  fourierdlem14  47224  fourierdlem19  47229  fourierdlem41  47251  fourierdlem42  47252  fourierdlem48  47257  fourierdlem49  47258  fourierdlem50  47259  fourierdlem64  47273  fourierdlem74  47283  fourierdlem75  47284  fourierdlem81  47290  fourierdlem92  47301  fourierdlem97  47306  fourierdlem103  47312  fourierdlem104  47313  fourierdlem107  47316  etransclem9  47346  nnfoctbdjlem  47558  chnerlem2  47986  fldivmod  48507  gpgvtxedg1  49255