Theorem pncand 11619

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   − cmin 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11671  mvlladdd  11672  mvrraddd  11673  addlsub  11677  pnpncand  11682  pncan1  11685  eluzmn  12883  icoshftf1o  13511  xov1plusxeqvd  13535  zesq  14262  hashdifsnp1  14542  ccatval3  14614  fsump1  15789  fsumrev2  15815  fprodp1  16002  risefacp1  16062  fallfacp1  16063  sadcp1  16489  smupp1  16514  hashdvds  16809  pythagtriplem4  16853  pythagtriplem6  16855  pythagtriplem7  16856  pythagtriplem12  16860  pythagtriplem14  16862  pcqdiv  16891  mulgdirlem  19136  psdmplcl  22184  cayhamlem1  22888  pjthlem1  25485  ovolicopnf  25573  i1faddlem  25742  itg1addlem4  25748  itg1addlem4OLD  25749  itgpowd  26106  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  ulmshft  26448  efif1olem2  26600  efif1olem4  26602  logdiflbnd  27053  lgamgulmlem2  27088  lgamcvg2  27113  relgamcl  27120  ftalem2  27132  mulog2sumlem1  27593  mulog2sumlem3  27595  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem5  27640  colinearalglem4  28939  axpaschlem  28970  wwlksnred  29922  wwlksnext  29923  wwlksnredwwlkn  29925  wwlksnextproplem2  29940  clwlkclwwlklem2  30029  clwlkclwwlklem3  30030  clwwlkf  30076  wwlksext2clwwlk  30086  eucrct2eupth  30274  numclwwlk2lem1  30405  numclwlk2lem2f  30406  pjhthlem1  31420  fzm1ne1  32797  fzom1ne1  32809  wrdt2ind  32923  cshwrnid  32931  chnub  32986  chnlt  32987  psgnfzto1stlem  33103  cycpmco2lem4  33132  cycpmco2lem5  33133  cycpmco2lem7  33135  madjusmdetlem2  33789  dya2icoseg  34259  fibp1  34383  ballotlemfc0  34474  ballotlemfcc  34475  ballotlemsgt1  34492  ballotlemsel1i  34494  ballotlemsima  34497  ballotlem1ri  34516  signstfvn  34563  reprsuc  34609  bcprod  35718  bccolsum  35719  unblimceq0  36490  knoppndvlem6  36500  bj-bary1lem1  37294  sin2h  37597  itg2addnclem  37658  itg2addnclem3  37660  areacirclem4  37698  ssbnd  37775  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem11  42021  lcmineqlem18  42028  lcmineqlem19  42029  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  aks6d1c6lem3  42154  bcle2d  42161  aks6d1c7lem1  42162  metakunt12  42198  mvrrsubd  42288  fz1sump1  42323  oddnumth  42324  dffltz  42621  jm2.19lem4  42981  jm2.23  42985  int-eqmvtd  44179  hashnzfzclim  44318  dvradcnv2  44343  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemnotnn0  44352  nnsplit  45308  iccshift  45471  iooshift  45475  climinf  45562  limcperiod  45584  0ellimcdiv  45605  cncfshift  45830  cncfperiod  45835  dvdsn1add  45895  dvnmul  45899  itgiccshift  45936  itgperiod  45937  stoweidlem17  45973  wallispilem4  46024  wallispilem5  46025  stirlinglem1  46030  stirlinglem5  46034  stirlinglem6  46035  stirlinglem10  46039  dirkertrigeqlem2  46055  fourierdlem14  46077  fourierdlem19  46082  fourierdlem41  46104  fourierdlem42  46105  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem50  46112  fourierdlem64  46126  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem81  46143  fourierdlem92  46154  fourierdlem97  46159  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem107  46169  etransclem9  46199  nnfoctbdjlem  46411  fldivmod  47278  gpgvtxedg1  47957