Theorem pncand 11470

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   + caddc 11006   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11524  mvlladdd  11525  mvrraddd  11526  addlsub  11530  pnpncand  11535  pncan1  11538  eluzmn  12736  icoshftf1o  13371  xov1plusxeqvd  13395  fzom1ne1  13682  modaddb  13810  zesq  14130  hashdifsnp1  14410  ccatval3  14483  fsump1  15660  fsumrev2  15686  fprodp1  15873  risefacp1  15933  fallfacp1  15934  sadcp1  16363  smupp1  16388  hashdvds  16683  pythagtriplem4  16728  pythagtriplem6  16730  pythagtriplem7  16731  pythagtriplem12  16735  pythagtriplem14  16737  pcqdiv  16766  chnub  18525  chnlt  18526  chnccat  18529  mulgdirlem  19015  psdmplcl  22075  cayhamlem1  22779  pjthlem1  25362  ovolicopnf  25450  i1faddlem  25619  itg1addlem4  25625  itgpowd  25982  taylthlem2  26307  taylthlem2OLD  26308  ulmshft  26324  efif1olem2  26477  efif1olem4  26479  logdiflbnd  26930  lgamgulmlem2  26965  lgamcvg2  26990  relgamcl  26997  ftalem2  27009  mulog2sumlem1  27470  mulog2sumlem3  27472  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem5  27517  colinearalglem4  28885  axpaschlem  28916  wwlksnred  29868  wwlksnext  29869  wwlksnredwwlkn  29871  wwlksnextproplem2  29886  clwlkclwwlklem2  29975  clwlkclwwlklem3  29976  clwwlkf  30022  wwlksext2clwwlk  30032  eucrct2eupth  30220  numclwwlk2lem1  30351  numclwlk2lem2f  30352  pjhthlem1  31366  fzm1ne1  32766  wrdt2ind  32929  cshwrnid  32937  psgnfzto1stlem  33064  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem7  33096  constraddcl  33770  constrremulcl  33775  madjusmdetlem2  33836  dya2icoseg  34285  fibp1  34409  ballotlemfc0  34501  ballotlemfcc  34502  ballotlemsgt1  34519  ballotlemsel1i  34521  ballotlemsima  34524  ballotlem1ri  34543  signstfvn  34577  reprsuc  34623  bcprod  35770  bccolsum  35771  unblimceq0  36540  knoppndvlem6  36550  bj-bary1lem1  37344  sin2h  37649  itg2addnclem  37710  itg2addnclem3  37712  areacirclem4  37750  ssbnd  37827  lcmineqlem10  42070  lcmineqlem11  42071  lcmineqlem18  42078  lcmineqlem19  42079  sticksstones12a  42189  sticksstones12  42190  aks6d1c6lem3  42204  bcle2d  42211  aks6d1c7lem1  42212  mvrrsubd  42306  fz1sump1  42342  oddnumth  42343  dffltz  42666  jm2.19lem4  43024  jm2.23  43028  int-eqmvtd  44221  hashnzfzclim  44354  dvradcnv2  44379  binomcxplemnn0  44381  binomcxplemnotnn0  44388  nnsplit  45396  iccshift  45557  iooshift  45561  climinf  45645  limcperiod  45667  0ellimcdiv  45686  cncfshift  45911  cncfperiod  45916  dvdsn1add  45976  dvnmul  45980  itgiccshift  46017  itgperiod  46018  stoweidlem17  46054  wallispilem4  46105  wallispilem5  46106  stirlinglem1  46111  stirlinglem5  46115  stirlinglem6  46116  stirlinglem10  46120  dirkertrigeqlem2  46136  fourierdlem14  46158  fourierdlem19  46163  fourierdlem41  46185  fourierdlem42  46186  fourierdlem48  46191  fourierdlem49  46192  fourierdlem50  46193  fourierdlem64  46207  fourierdlem74  46217  fourierdlem75  46218  fourierdlem81  46224  fourierdlem92  46235  fourierdlem97  46240  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  fourierdlem107  46250  etransclem9  46280  nnfoctbdjlem  46492  fldivmod  47368  gpgvtxedg1  48094