Theorem pncand 11493

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 11386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  mvlraddd  11547  mvlladdd  11548  mvrraddd  11549  addlsub  11553  pnpncand  11558  pncan1  11561  eluzmn  12758  icoshftf1o  13390  xov1plusxeqvd  13414  fzom1ne1  13701  modaddb  13829  zesq  14149  hashdifsnp1  14429  ccatval3  14502  fsump1  15679  fsumrev2  15705  fprodp1  15892  risefacp1  15952  fallfacp1  15953  sadcp1  16382  smupp1  16407  hashdvds  16702  pythagtriplem4  16747  pythagtriplem6  16749  pythagtriplem7  16750  pythagtriplem12  16754  pythagtriplem14  16756  pcqdiv  16785  chnub  18545  chnlt  18546  chnccat  18549  mulgdirlem  19035  psdmplcl  22105  cayhamlem1  22810  pjthlem1  25393  ovolicopnf  25481  i1faddlem  25650  itg1addlem4  25656  itgpowd  26013  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  ulmshft  26355  efif1olem2  26508  efif1olem4  26510  logdiflbnd  26961  lgamgulmlem2  26996  lgamcvg2  27021  relgamcl  27028  ftalem2  27040  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem3  27503  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  colinearalglem4  28982  axpaschlem  29013  wwlksnred  29965  wwlksnext  29966  wwlksnredwwlkn  29968  wwlksnextproplem2  29983  clwlkclwwlklem2  30075  clwlkclwwlklem3  30076  clwwlkf  30122  wwlksext2clwwlk  30132  eucrct2eupth  30320  numclwwlk2lem1  30451  numclwlk2lem2f  30452  pjhthlem1  31466  fzm1ne1  32868  wrdt2ind  33035  cshwrnid  33043  psgnfzto1stlem  33182  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem7  33214  esplyindfv  33732  constraddcl  33919  constrremulcl  33924  madjusmdetlem2  33985  dya2icoseg  34434  fibp1  34558  ballotlemfc0  34650  ballotlemfcc  34651  ballotlemsgt1  34668  ballotlemsel1i  34670  ballotlemsima  34673  ballotlem1ri  34692  signstfvn  34726  reprsuc  34772  bcprod  35932  bccolsum  35933  unblimceq0  36707  knoppndvlem6  36717  bj-bary1lem1  37512  sin2h  37807  itg2addnclem  37868  itg2addnclem3  37870  areacirclem4  37908  ssbnd  37985  lcmineqlem10  42288  lcmineqlem11  42289  lcmineqlem18  42296  lcmineqlem19  42297  sticksstones12a  42407  sticksstones12  42408  aks6d1c6lem3  42422  bcle2d  42429  aks6d1c7lem1  42430  mvrrsubd  42525  fz1sump1  42561  oddnumth  42562  dffltz  42873  jm2.19lem4  43230  jm2.23  43234  int-eqmvtd  44426  hashnzfzclim  44559  dvradcnv2  44584  binomcxplemnn0  44586  binomcxplemnotnn0  44593  nnsplit  45599  iccshift  45760  iooshift  45764  climinf  45848  limcperiod  45870  0ellimcdiv  45889  cncfshift  46114  cncfperiod  46119  dvdsn1add  46179  dvnmul  46183  itgiccshift  46220  itgperiod  46221  stoweidlem17  46257  wallispilem4  46308  wallispilem5  46309  stirlinglem1  46314  stirlinglem5  46318  stirlinglem6  46319  stirlinglem10  46323  dirkertrigeqlem2  46339  fourierdlem14  46361  fourierdlem19  46366  fourierdlem41  46388  fourierdlem42  46389  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem50  46396  fourierdlem64  46410  fourierdlem74  46420  fourierdlem75  46421  fourierdlem81  46427  fourierdlem92  46438  fourierdlem97  46443  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem107  46453  etransclem9  46483  nnfoctbdjlem  46695  chnerlem2  47123  fldivmod  47580  gpgvtxedg1  48306