Theorem subcld 11571

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 11459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  pnpncand  11635  muleqadd  11858  lineq  12051  modmuladdnn0  13880  hashfz  14387  hashfzo  14389  hashf1lem2  14417  hashf1  14418  ccatswrd  14618  pfxccatin12lem2  14681  crre  15061  remim  15064  remullem  15075  abs3lem  15285  caubnd2  15304  bhmafibid1cn  15410  bhmafibid2cn  15411  bhmafibid2  15413  rlimuni  15494  climuni  15496  rlimcld2  15522  rlimrege0  15523  rlimrecl  15524  mulcn2  15540  reccn2  15541  cn1lem  15542  o1sub  15560  rlimo1  15561  o1dif  15574  rlimsqzlem  15595  caucvgrlem2  15621  iseralt  15631  fsumparts  15752  cvgcmpce  15764  incexclem  15782  arisum2  15807  geoserg  15812  pwdif  15814  geo2sum2  15820  fallfacfwd  15980  binomfallfaclem2  15984  bpolycl  15996  bpoly3  16002  bpoly4  16003  fsumcube  16004  sinf  16067  tanval2  16076  tanval3  16077  sinneg  16089  efival  16095  sinhval  16097  bitsinv1lem  16382  bitsres  16414  pythagtriplem1  16749  pythagtriplem14  16761  pythagtriplem17  16764  dvdsprmpweqle  16819  4sqlem5  16875  mul4sqlem  16886  4sqlem17  16894  vdwlem5  16918  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  blcvx  24314  recld2  24330  addcnlem  24380  cnllycmp  24472  cphipval2  24758  4cphipval2  24759  cphipval  24760  ipcnlem2  24761  rrxmval  24922  rrxmetlem  24924  pjthlem1  24954  ovollb2lem  25005  itgcnlem  25307  dvlem  25413  dvconst  25434  dvid  25435  dvcnp2  25437  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  dvcjbr  25466  dvrec  25472  dvmptim  25487  dvcnvlem  25493  dveflem  25496  dvsincos  25498  cmvth  25508  dvlip  25510  dvlipcn  25511  c1liplem1  25513  dveq0  25517  dv11cn  25518  dvle  25524  lhop1lem  25530  dvfsumabs  25540  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  dvfsumrlim  25548  dvfsumrlim2  25549  ftc1lem4  25556  ftc1lem5  25557  ftc2  25561  dgrcolem2  25788  plydiveu  25811  aaliou2b  25854  taylfvallem1  25869  taylply2  25880  dvtaylp  25882  dvntaylp  25883  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  ulmbdd  25910  ulmcn  25911  ulmdvlem1  25912  mtest  25916  iblulm  25919  itgulm  25920  abelthlem9  25952  ptolemy  26006  tangtx  26015  sineq0  26033  efeq1  26037  efif1olem4  26054  tanarg  26127  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  advlogexp  26163  efopn  26166  cxpcn3lem  26255  cxpeq  26265  ang180lem4  26317  ang180lem5  26318  ang180  26319  isosctrlem2  26324  isosctrlem3  26325  isosctr  26326  ssscongptld  26327  affineequiv  26328  affineequiv2  26329  affineequiv3  26330  affineequiv4  26331  affineequivne  26332  angpieqvdlem  26333  angpieqvdlem2  26334  angpined  26335  angpieqvd  26336  chordthmlem  26337  chordthmlem2  26338  chordthmlem3  26339  chordthmlem4  26340  chordthmlem5  26341  heron  26343  quad2  26344  quad  26345  dcubic1lem  26348  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  quart1cl  26359  quart1lem  26360  quart1  26361  quartlem2  26363  quartlem4  26365  quart  26366  atanf  26385  sinasin  26394  asinsin  26397  atanneg  26412  atancj  26415  efiatan  26417  atanlogsub  26421  efiatan2  26422  2efiatan  26423  atanbndlem  26430  dvatan  26440  atantayl  26442  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  lgamgulmlem6  26538  lgamgulm2  26540  lgamucov  26542  lgamcvg2  26559  gamcvg  26560  gamcvg2lem  26563  ftalem2  26578  logfacrlim  26727  logexprlim  26728  lgsdirprm  26834  gausslemma2dlem1a  26868  gausslemma2dlem4  26872  2sqmod  26939  addsq2nreurex  26947  vmadivsum  26985  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumiflem1  27004  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  rplogsum  27030  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  selberg2  27054  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrsumo1  27068  selberg3r  27072  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntibndlem2  27094  pntlemf  27108  pntlemo  27110  ttgcontlem1  28142  brbtwn2  28163  colinearalglem1  28164  colinearalglem2  28165  colinearalg  28168  axsegconlem1  28175  ax5seglem1  28186  ax5seglem2  28187  ax5seglem6  28192  ax5seglem9  28195  axlowdimlem17  28216  axcontlem7  28228  axcontlem8  28229  clwlkclwwlk  29255  clwwlknonex2lem1  29360  2clwwlk2clwwlk  29603  numclwwlk3lem1  29635  smcnlem  29950  ipval2  29960  4ipval2  29961  dipcj  29967  pjhthlem1  30644  lt2addrd  31964  bcm1n  32006  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  sqsscirc2  32889  signslema  33573  circlemeth  33652  logdivsqrle  33662  revpfxsfxrev  34106  revwlk  34115  subfaclim  34179  divcnvlin  34702  iprodgam  34712  gg-dvcnp2  35174  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176  gg-cmvth  35181  gg-dvfsumlem2  35183  dnicld1  35348  dnibndlem2  35355  dnibndlem3  35356  dnibndlem6  35359  dnibndlem9  35362  dnibndlem10  35363  dnibndlem11  35364  unblimceq0  35383  unbdqndv2lem1  35385  unbdqndv2lem2  35386  knoppndvlem11  35398  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  knoppndvlem21  35408  bj-bary1lem  36191  bj-bary1lem1  36192  bj-bary1  36193  ftc1cnnclem  36559  ftc1anclem7  36567  ftc1anclem8  36568  ftc1anc  36569  ftc2nc  36570  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  areacirc  36581  cntotbnd  36664  lcmineqlem8  40901  lcmineqlem10  40903  lcmineqlem11  40904  lcmineqlem12  40905  lcmineqlem23  40916  aks4d1p1  40941  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt15  40999  metakunt16  41000  metakunt29  41013  metakunt30  41014  mvrrsubd  41187  lsubrotld  41190  lsubcom23d  41191  nicomachus  41210  sumcubes  41211  dffltz  41376  fltnltalem  41404  rencldnfilem  41558  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  pell1234qrne0  41591  pell1234qrmulcl  41593  rmyluc  41676  jm2.18  41727  jm2.19  41732  areaquad  41965  lhe4.4ex1a  43088  bcc0  43099  bccp1k  43100  bccm1k  43101  binomcxplemwb  43107  binomcxplemnn0  43108  binomcxplemrat  43109  binomcxplemfrat  43110  binomcxplemdvbinom  43112  binomcxplemnotnn0  43115  isosctrlem1ALT  43695  sineq0ALT  43698  oddfl  43987  dstregt0  43991  subadd4b  43992  sub31  44000  fzisoeu  44010  absnpncan2d  44012  absnpncan3d  44017  supxrgelem  44047  absimlere  44190  cvgcaule  44202  mullimc  44332  ellimcabssub0  44333  mullimcf  44339  limcrecl  44345  lptre2pt  44356  limcleqr  44360  neglimc  44363  addlimc  44364  0ellimcdiv  44365  limclner  44367  reclimc  44369  climleltrp  44392  climisp  44462  climxrrelem  44465  climxrre  44466  cnrefiisplem  44545  climxlim2lem  44561  fprodsubrecnncnvlem  44623  fperdvper  44635  dvdivbd  44639  dvbdfbdioolem2  44645  ioodvbdlimc1lem1  44647  volioc  44688  volico  44699  stoweidlem1  44717  stoweidlem11  44727  stoweidlem13  44729  stoweidlem26  44742  stoweid  44779  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem1  44790  stirlinglem4  44793  stirlinglem5  44794  stirlinglem7  44796  stirlinglem11  44800  dirkertrigeqlem2  44815  fourierdlem4  44827  fourierdlem26  44849  fourierdlem30  44853  fourierdlem42  44865  fourierdlem63  44885  fourierdlem65  44887  fourierdlem72  44894  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem80  44902  fourierdlem81  44903  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem107  44929  fourierdlem109  44931  fouriersw  44947  etransclem1  44951  etransclem4  44954  etransclem8  44958  etransclem18  44968  etransclem20  44970  etransclem21  44971  etransclem23  44973  etransclem35  44985  etransclem46  44996  rrxtopnfi  45003  rrndistlt  45006  sge0gtfsumgt  45159  hoidmv1lelem2  45308  hoidmvlelem2  45312  smfmullem1  45507  sigarmf  45570  sigarms  45572  sigarexp  45575  sigardiv  45577  sigarcol  45580  sharhght  45581  sigaradd  45582  cevathlem2  45584  cevath  45585  resubcnnred  46012  fmtnorec2lem  46210  fmtnorec3  46216  fmtnorec4  46217  lighneallem3  46275  quad1  46288  requad01  46289  requad2  46291  fppr2odd  46399  fldivmod  47204  dignn0flhalflem2  47302  affinecomb2  47389  1subrec1sub  47391  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  rrx2vlinest  47427  rrx2linest  47428  line2  47438  itsclc0yqsollem1  47448  itsclc0yqsol  47450  itscnhlc0xyqsol  47451  itschlc0xyqsol1  47452  itschlc0xyqsol  47453  itsclc0xyqsolr  47455  2itscplem1  47464  2itscplem2  47465  2itscplem3  47466  itscnhlinecirc02plem1  47468  inlinecirc02plem  47472  sinhpcosh  47785  i2linesd  47826