Theorem subcld 11571

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subcl 11459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  pnpncand  11635  muleqadd  11858  lineq  12051  modmuladdnn0  13880  hashfz  14387  hashfzo  14389  hashf1lem2  14417  hashf1  14418  ccatswrd  14618  pfxccatin12lem2  14681  crre  15061  remim  15064  remullem  15075  abs3lem  15285  caubnd2  15304  bhmafibid1cn  15410  bhmafibid2cn  15411  bhmafibid2  15413  rlimuni  15494  climuni  15496  rlimcld2  15522  rlimrege0  15523  rlimrecl  15524  mulcn2  15540  reccn2  15541  cn1lem  15542  o1sub  15560  rlimo1  15561  o1dif  15574  rlimsqzlem  15595  caucvgrlem2  15621  iseralt  15631  fsumparts  15752  cvgcmpce  15764  incexclem  15782  arisum2  15807  geoserg  15812  pwdif  15814  geo2sum2  15820  fallfacfwd  15980  binomfallfaclem2  15984  bpolycl  15996  bpoly3  16002  bpoly4  16003  fsumcube  16004  sinf  16067  tanval2  16076  tanval3  16077  sinneg  16089  efival  16095  sinhval  16097  bitsinv1lem  16382  bitsres  16414  pythagtriplem1  16749  pythagtriplem14  16761  pythagtriplem17  16764  dvdsprmpweqle  16819  4sqlem5  16875  mul4sqlem  16886  4sqlem17  16894  vdwlem5  16918  vdwlem6  16919  vdwlem8  16921  blcvx  24314  recld2  24330  addcnlem  24380  cnllycmp  24472  cphipval2  24758  4cphipval2  24759  cphipval  24760  ipcnlem2  24761  rrxmval  24922  rrxmetlem  24924  pjthlem1  24954  ovollb2lem  25005  itgcnlem  25307  dvlem  25413  dvconst  25434  dvid  25435  dvcnp2  25437  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  dvcjbr  25466  dvrec  25472  dvmptim  25487  dvcnvlem  25493  dveflem  25496  dvsincos  25498  cmvth  25508  dvlip  25510  dvlipcn  25511  c1liplem1  25513  dveq0  25517  dv11cn  25518  dvle  25524  lhop1lem  25530  dvfsumabs  25540  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  dvfsumrlim  25548  dvfsumrlim2  25549  ftc1lem4  25556  ftc1lem5  25557  ftc2  25561  dgrcolem2  25788  plydiveu  25811  aaliou2b  25854  taylfvallem1  25869  taylply2  25880  dvtaylp  25882  dvntaylp  25883  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  ulmbdd  25910  ulmcn  25911  ulmdvlem1  25912  mtest  25916  iblulm  25919  itgulm  25920  abelthlem9  25952  ptolemy  26006  tangtx  26015  sineq0  26033  efeq1  26037  efif1olem4  26054  tanarg  26127  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  advlogexp  26163  efopn  26166  cxpcn3lem  26255  cxpeq  26265  ang180lem4  26317  ang180lem5  26318  ang180  26319  isosctrlem2  26324  isosctrlem3  26325  isosctr  26326  ssscongptld  26327  affineequiv  26328  affineequiv2  26329  affineequiv3  26330  affineequiv4  26331  affineequivne  26332  angpieqvdlem  26333  angpieqvdlem2  26334  angpined  26335  angpieqvd  26336  chordthmlem  26337  chordthmlem2  26338  chordthmlem3  26339  chordthmlem4  26340  chordthmlem5  26341  heron  26343  quad2  26344  quad  26345  dcubic1lem  26348  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  quart1cl  26359  quart1lem  26360  quart1  26361  quartlem2  26363  quartlem4  26365  quart  26366  atanf  26385  sinasin  26394  asinsin  26397  atanneg  26412  atancj  26415  efiatan  26417  atanlogsub  26421  efiatan2  26422  2efiatan  26423  atanbndlem  26430  dvatan  26440  atantayl  26442  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  lgamgulmlem6  26538  lgamgulm2  26540  lgamucov  26542  lgamcvg2  26559  gamcvg  26560  gamcvg2lem  26563  ftalem2  26578  logfacrlim  26727  logexprlim  26728  lgsdirprm  26834  gausslemma2dlem1a  26868  gausslemma2dlem4  26872  2sqmod  26939  addsq2nreurex  26947  vmadivsum  26985  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumiflem1  27004  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  rplogsum  27030  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  selberg2  27054  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrsumo1  27068  selberg3r  27072  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntibndlem2  27094  pntlemf  27108  pntlemo  27110  ttgcontlem1  28173  brbtwn2  28194  colinearalglem1  28195  colinearalglem2  28196  colinearalg  28199  axsegconlem1  28206  ax5seglem1  28217  ax5seglem2  28218  ax5seglem6  28223  ax5seglem9  28226  axlowdimlem17  28247  axcontlem7  28259  axcontlem8  28260  clwlkclwwlk  29286  clwwlknonex2lem1  29391  2clwwlk2clwwlk  29634  numclwwlk3lem1  29666  smcnlem  29981  ipval2  29991  4ipval2  29992  dipcj  29998  pjhthlem1  30675  lt2addrd  31995  bcm1n  32037  cycpmco2lem5  32320  cycpmco2lem6  32321  sqsscirc2  32920  signslema  33604  circlemeth  33683  logdivsqrle  33693  revpfxsfxrev  34137  revwlk  34146  subfaclim  34210  divcnvlin  34733  iprodgam  34743  gg-dvcnp2  35205  gg-dvmulbr  35206  gg-dvcobr  35207  gg-cmvth  35212  gg-dvfsumlem2  35214  dnicld1  35396  dnibndlem2  35403  dnibndlem3  35404  dnibndlem6  35407  dnibndlem9  35410  dnibndlem10  35411  dnibndlem11  35412  unblimceq0  35431  unbdqndv2lem1  35433  unbdqndv2lem2  35434  knoppndvlem11  35446  knoppndvlem15  35450  knoppndvlem17  35452  knoppndvlem21  35456  bj-bary1lem  36239  bj-bary1lem1  36240  bj-bary1  36241  ftc1cnnclem  36607  ftc1anclem7  36615  ftc1anclem8  36616  ftc1anc  36617  ftc2nc  36618  areacirclem1  36624  areacirclem4  36627  areacirc  36629  cntotbnd  36712  lcmineqlem8  40949  lcmineqlem10  40951  lcmineqlem11  40952  lcmineqlem12  40953  lcmineqlem23  40964  aks4d1p1  40989  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  sticksstones12  41022  sticksstones22  41032  metakunt15  41047  metakunt16  41048  metakunt29  41061  metakunt30  41062  mvrrsubd  41235  lsubrotld  41238  lsubcom23d  41239  nicomachus  41258  sumcubes  41259  dffltz  41424  fltnltalem  41452  rencldnfilem  41606  pellexlem2  41616  pellexlem6  41620  pell1234qrne0  41639  pell1234qrmulcl  41641  rmyluc  41724  jm2.18  41775  jm2.19  41780  areaquad  42013  lhe4.4ex1a  43136  bcc0  43147  bccp1k  43148  bccm1k  43149  binomcxplemwb  43155  binomcxplemnn0  43156  binomcxplemrat  43157  binomcxplemfrat  43158  binomcxplemdvbinom  43160  binomcxplemnotnn0  43163  isosctrlem1ALT  43743  sineq0ALT  43746  oddfl  44035  dstregt0  44039  subadd4b  44040  sub31  44048  fzisoeu  44058  absnpncan2d  44060  absnpncan3d  44065  supxrgelem  44095  absimlere  44238  cvgcaule  44250  mullimc  44380  ellimcabssub0  44381  mullimcf  44387  limcrecl  44393  lptre2pt  44404  limcleqr  44408  neglimc  44411  addlimc  44412  0ellimcdiv  44413  limclner  44415  reclimc  44417  climleltrp  44440  climisp  44510  climxrrelem  44513  climxrre  44514  cnrefiisplem  44593  climxlim2lem  44609  fprodsubrecnncnvlem  44671  fperdvper  44683  dvdivbd  44687  dvbdfbdioolem2  44693  ioodvbdlimc1lem1  44695  volioc  44736  volico  44747  stoweidlem1  44765  stoweidlem11  44775  stoweidlem13  44777  stoweidlem26  44790  stoweid  44827  wallispi  44834  wallispi2lem1  44835  wallispi2lem2  44836  wallispi2  44837  stirlinglem1  44838  stirlinglem4  44841  stirlinglem5  44842  stirlinglem7  44844  stirlinglem11  44848  dirkertrigeqlem2  44863  fourierdlem4  44875  fourierdlem26  44897  fourierdlem30  44901  fourierdlem42  44913  fourierdlem63  44933  fourierdlem65  44935  fourierdlem72  44942  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem76  44946  fourierdlem80  44950  fourierdlem81  44951  fourierdlem89  44959  fourierdlem90  44960  fourierdlem91  44961  fourierdlem107  44977  fourierdlem109  44979  fouriersw  44995  etransclem1  44999  etransclem4  45002  etransclem8  45006  etransclem18  45016  etransclem20  45018  etransclem21  45019  etransclem23  45021  etransclem35  45033  etransclem46  45044  rrxtopnfi  45051  rrndistlt  45054  sge0gtfsumgt  45207  hoidmv1lelem2  45356  hoidmvlelem2  45360  smfmullem1  45555  sigarmf  45618  sigarms  45620  sigarexp  45623  sigardiv  45625  sigarcol  45628  sharhght  45629  sigaradd  45630  cevathlem2  45632  cevath  45633  resubcnnred  46060  fmtnorec2lem  46258  fmtnorec3  46264  fmtnorec4  46265  lighneallem3  46323  quad1  46336  requad01  46337  requad2  46339  fppr2odd  46447  fldivmod  47252  dignn0flhalflem2  47350  affinecomb2  47437  1subrec1sub  47439  eenglngeehlnmlem1  47471  eenglngeehlnmlem2  47472  rrx2vlinest  47475  rrx2linest  47476  line2  47486  itsclc0yqsollem1  47496  itsclc0yqsol  47498  itscnhlc0xyqsol  47499  itschlc0xyqsol1  47500  itschlc0xyqsol  47501  itsclc0xyqsolr  47503  2itscplem1  47512  2itscplem2  47513  2itscplem3  47514  itscnhlinecirc02plem1  47516  inlinecirc02plem  47520  sinhpcosh  47833  i2linesd  47874