Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5a 40239
Description: Part 1 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5a (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))

Proof of Theorem flt4lem5a
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 13843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 13843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16281 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
81nnzd 12310 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16307 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 327 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 11932 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16151 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 11875 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 40232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 11875 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 40232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7252 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 40233 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.m . . . . . 6 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem11 16410 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2928nnsqcld 13843 . . 3 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
3029nncnd 11875 . 2 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
31 flt4lem5a.n . . . . . 6 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3231pythagtriplem13 16412 . . . . 5 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3325, 32syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3433nnsqcld 13843 . . 3 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
3534nncnd 11875 . 2 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
3626, 31pythagtriplem15 16414 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑀↑2) − (𝑁↑2)))
3725, 36syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴↑2) = ((𝑀↑2) − (𝑁↑2)))
3830, 35, 37mvrrsubd 40058 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  1c1 10759   + caddc 10761  cmin 11091   / cdiv 11518  cn 11859  2c2 11914  4c4 11916  cz 12205  cexp 13666  csqrt 14828  cdvds 15847   gcd cgcd 16085  cprime 16260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-2o 8226  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-sup 9087  df-inf 9088  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-4 11924  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-rp 12616  df-fz 13125  df-fl 13396  df-mod 13474  df-seq 13606  df-exp 13667  df-cj 14694  df-re 14695  df-im 14696  df-sqrt 14830  df-abs 14831  df-dvds 15848  df-gcd 16086  df-prm 16261
This theorem is referenced by:  flt4lem5c  40241  flt4lem5d  40242  flt4lem5e  40243
  Copyright terms: Public domain W3C validator