Theorem naddwordnexlem2 44358

Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, 𝐵 is larger than 𝐴. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddwordnex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
naddwordnex.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
naddwordnexlem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem naddwordnexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddwordnex.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2		naddwordnex.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
3		naddwordnex.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
4		naddwordnex.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
5		naddwordnex.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
6		naddwordnex.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	naddwordnexlem0 44356	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
8		ssel 3925	. . 3 ⊢ ((ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵))
9	8	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  Oncon0 6355  suc csuc 6357  (class class class)co 7412  ωcom 7866   +_o coa 8457   ·_o comu 8458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-oadd 8464  df-omul 8465

This theorem is used by: (None)