Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naddwordnexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddwordnexlem2 43389
Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, 𝐵 is larger than 𝐴. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
naddwordnex.a (𝜑𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b (𝜑𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c (𝜑𝐶𝐷)
naddwordnex.d (𝜑𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m (𝜑𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
naddwordnexlem2 (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem naddwordnexlem2
StepHypRef Expression
1 naddwordnex.a . . 3 (𝜑𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2 naddwordnex.b . . 3 (𝜑𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
3 naddwordnex.c . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
4 naddwordnex.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ On)
5 naddwordnex.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ω)
6 naddwordnex.n . . 3 (𝜑𝑁𝑀)
71, 2, 3, 4, 5, 6naddwordnexlem0 43387 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
8 ssel 3976 . . 3 ((ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) → 𝐴𝐵))
98impcom 407 . 2 ((𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵) → 𝐴𝐵)
107, 9syl 17 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3950  Oncon0 6382  suc csuc 6384  (class class class)co 7429  ωcom 7883   +o coa 8499   ·o comu 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-oadd 8506  df-omul 8507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator