Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naddwordnexlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddwordnexlem3 42752
Description: When ๐ด is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and ๐ต is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, every natural sum of ๐ด with a natural number is less that ๐ต. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
naddwordnex.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
naddwordnex.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
naddwordnex.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
naddwordnex.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
naddwordnex.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
naddwordnex.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
naddwordnexlem3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด +no ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
Distinct variable group:   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem naddwordnexlem3
StepHypRef Expression
1 naddwordnex.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
2 omelon 9661 . . . . . . . 8 ฯ‰ โˆˆ On
3 naddwordnex.d . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
4 naddwordnex.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ท)
5 onelon 6388 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
7 omcl 8550 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
82, 6, 7sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
9 naddwordnex.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ฯ‰)
10 nnon 7870 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ On)
12 oacl 8549 . . . . . . 7 (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐‘€ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
138, 11, 12syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) โˆˆ On)
141, 13eqeltrd 2828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
15 naddonnn 42748 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) = (๐ด +no ๐‘ฅ))
1614, 15sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) = (๐ด +no ๐‘ฅ))
17 naddwordnex.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((ฯ‰ ยทo ๐ท) +o ๐‘))
18 naddwordnex.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘€)
191, 17, 4, 3, 9, 18naddwordnexlem0 42749 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) โˆง (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) โІ ๐ต))
2019simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) โІ ๐ต)
2120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) โІ ๐ต)
228, 2jctil 519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On))
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On))
24 nnacl 8625 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘€ +o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰)
259, 24sylan 579 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘€ +o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰)
26 oaordi 8560 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On) โ†’ ((๐‘€ +o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o (๐‘€ +o ๐‘ฅ)) โˆˆ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ฯ‰)))
2723, 25, 26sylc 65 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o (๐‘€ +o ๐‘ฅ)) โˆˆ ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ฯ‰))
281adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€))
2928oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) = (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) +o ๐‘ฅ))
30 nnon 7870 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
31 oaass 8575 . . . . . . . 8 (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐‘€ โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) +o ๐‘ฅ) = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
328, 11, 30, 31syl2an3an 1420 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ๐‘€) +o ๐‘ฅ) = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
3329, 32eqtrd 2767 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
346adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
35 omsuc 8540 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ฯ‰))
362, 34, 35sylancr 586 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ) = ((ฯ‰ ยทo ๐ถ) +o ฯ‰))
3727, 33, 363eltr4d 2843 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐ถ))
3821, 37sseldd 3979 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
3916, 38eqeltrrd 2829 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +no ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
4039ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด +no ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต))
4140ralrimiv 3140 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (๐ด +no ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056   โІ wss 3944  Oncon0 6363  suc csuc 6365  (class class class)co 7414  ฯ‰com 7864   +o coa 8477   ยทo comu 8478   +no cnadd 8679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-nadd 8680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator