Theorem naddwordnexlem3 42135

Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, every natural sum of 𝐴 with a natural number is less that 𝐵. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddwordnex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
naddwordnex.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
naddwordnexlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem naddwordnexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddwordnex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2		omelon 9637	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
3		naddwordnex.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
4		naddwordnex.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
5		onelon 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ On)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
7		omcl 8532	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
9		naddwordnex.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
10		nnon 7857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ On)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ On)
12		oacl 8531	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On) → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
13	8, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
15		naddonnn 42131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
16	14, 15	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
17		naddwordnex.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
18		naddwordnex.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)
19	1, 17, 4, 3, 9, 18	naddwordnexlem0 42132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
20	19	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
22	8, 2	jctil 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
24		nnacl 8607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
25	9, 24	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
26		oaordi 8542	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On) → ((𝑀 +o 𝑥) ∈ ω → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω)))
27	23, 25, 26	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω))
28	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
29	28	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥))
30		nnon 7857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
31		oaass 8557	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
32	8, 11, 30, 31	syl2an3an 1422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
33	29, 32	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
34	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐶 ∈ On)
35		omsuc 8522	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
36	2, 34, 35	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
37	27, 33, 36	3eltr4d 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ (ω ·o suc 𝐶))
38	21, 37	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ 𝐵)
39	16, 38	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)
40	39	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiv 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  Oncon0 6361  suc csuc 6363  (class class class)co 7405  ωcom 7851   +_o coa 8459   ·_o comu 8460   +no cnadd 8660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-nadd 8661

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