Theorem naddwordnexlem3 44344

Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, every natural sum of 𝐴 with a natural number is less that 𝐵. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddwordnex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
naddwordnex.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
naddwordnexlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem naddwordnexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddwordnex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2		omelon 9625	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
3		naddwordnex.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
4		naddwordnex.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
5		onelon 6376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ On)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
7		omcl 8522	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
9		naddwordnex.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
10		nnon 7866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ On)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ On)
12		oacl 8521	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On) → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
13	8, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
15		naddonnn 44340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
16	14, 15	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
17		naddwordnex.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
18		naddwordnex.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)
19	1, 17, 4, 3, 9, 18	naddwordnexlem0 44341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
20	19	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
22	8, 2	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
24		nnacl 8598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
25	9, 24	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
26		oaordi 8532	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On) → ((𝑀 +o 𝑥) ∈ ω → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω)))
27	23, 25, 26	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω))
28	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
29	28	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥))
30		nnon 7866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
31		oaass 8547	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
32	8, 11, 30, 31	syl2an3an 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
33	29, 32	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
34	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐶 ∈ On)
35		omsuc 8512	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
36	2, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
37	27, 33, 36	3eltr4d 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ (ω ·o suc 𝐶))
38	21, 37	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ 𝐵)
39	16, 38	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)
40	39	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiv 3153	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898  Oncon0 6351  suc csuc 6353  (class class class)co 7408  ωcom 7860   +_o coa 8451   ·_o comu 8452   +no cnadd 8652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-nadd 8653

This theorem is used by: (None)