Theorem naddwordnexlem3 43914

Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, every natural sum of 𝐴 with a natural number is less that 𝐵. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddwordnex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
naddwordnex.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
naddwordnexlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem naddwordnexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddwordnex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2		omelon 9587	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
3		naddwordnex.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
4		naddwordnex.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
5		onelon 6356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ On)
6	3, 4, 5	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
7		omcl 8489	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
8	2, 6, 7	sylancr 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
9		naddwordnex.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
10		nnon 7837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ On)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ On)
12		oacl 8488	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On) → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
13	8, 11, 12	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
15		naddonnn 43910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
16	14, 15	sylan 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
17		naddwordnex.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
18		naddwordnex.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)
19	1, 17, 4, 3, 9, 18	naddwordnexlem0 43911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
20	19	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
22	8, 2	jctil 526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
24		nnacl 8565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
25	9, 24	sylan 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
26		oaordi 8499	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On) → ((𝑀 +o 𝑥) ∈ ω → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω)))
27	23, 25, 26	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω))
28	1	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
29	28	oveq1d 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥))
30		nnon 7837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
31		oaass 8514	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
32	8, 11, 30, 31	syl2an3an 1433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
33	29, 32	eqtrd 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
34	6	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐶 ∈ On)
35		omsuc 8479	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
36	2, 34, 35	sylancr 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
37	27, 33, 36	3eltr4d 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ (ω ·o suc 𝐶))
38	21, 37	sseldd 3928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ 𝐵)
39	16, 38	eqeltrrd 2853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)
40	39	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiv 3143	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066   ⊆ wss 3895  Oncon0 6331  suc csuc 6333  (class class class)co 7381  ωcom 7831   +_o coa 8418   ·_o comu 8419   +no cnadd 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-oadd 8425  df-omul 8426  df-nadd 8620

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