Theorem naddwordnexlem3 43678

Description: When 𝐴 is the sum of a limit ordinal (or zero) and a natural number and 𝐵 is the sum of a larger limit ordinal and a smaller natural number, every natural sum of 𝐴 with a natural number is less that 𝐵. (Contributed by RP, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddwordnex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
naddwordnex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
naddwordnex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
naddwordnex.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
naddwordnex.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
naddwordnex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
naddwordnexlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem naddwordnexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddwordnex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
2		omelon 9557	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
3		naddwordnex.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ On)
4		naddwordnex.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
5		onelon 6341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ On)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
7		omcl 8463	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
8	2, 6, 7	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ω ·o 𝐶) ∈ On)
9		naddwordnex.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
10		nnon 7814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ On)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ On)
12		oacl 8462	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On) → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
13	8, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
15		naddonnn 43674	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
16	14, 15	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +no 𝑥))
17		naddwordnex.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((ω ·o 𝐷) +o 𝑁))
18		naddwordnex.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑀)
19	1, 17, 4, 3, 9, 18	naddwordnexlem0 43675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ω ·o suc 𝐶) ∧ (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵))
20	19	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) ⊆ 𝐵)
22	8, 2	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On))
24		nnacl 8539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
25	9, 24	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑀 +o 𝑥) ∈ ω)
26		oaordi 8473	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ·o 𝐶) ∈ On) → ((𝑀 +o 𝑥) ∈ ω → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω)))
27	23, 25, 26	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)) ∈ ((ω ·o 𝐶) +o ω))
28	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 = ((ω ·o 𝐶) +o 𝑀))
29	28	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥))
30		nnon 7814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
31		oaass 8488	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ·o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑀 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
32	8, 11, 30, 31	syl2an3an 1425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (((ω ·o 𝐶) +o 𝑀) +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
33	29, 32	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) = ((ω ·o 𝐶) +o (𝑀 +o 𝑥)))
34	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐶 ∈ On)
35		omsuc 8453	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
36	2, 34, 35	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (ω ·o suc 𝐶) = ((ω ·o 𝐶) +o ω))
37	27, 33, 36	3eltr4d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ (ω ·o suc 𝐶))
38	21, 37	sseldd 3933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑥) ∈ 𝐵)
39	16, 38	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiv 3126	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +no 𝑥) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   ⊆ wss 3900  Oncon0 6316  suc csuc 6318  (class class class)co 7358  ωcom 7808   +_o coa 8394   ·_o comu 8395   +no cnadd 8593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-nadd 8594

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