Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem1 34591
Description: Lemma for cvmlift2 34605. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑)
Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 214 . . . . . 6 (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
2 iitop 24620 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 24621 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = βˆͺ II
43neii1 22830 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
52, 4mpan 686 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
65adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
7 xpss1 5694 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† (0[,]1) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
9 simpl 481 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
108, 9sstrd 3991 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
11 ssnei 22834 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
122, 11mpan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1312adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
14 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4788 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1613, 15sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
17 vsnid 4664 . . . . . . . . 9 𝑑 ∈ {𝑑}
18 opelxpi 5712 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑑 ∈ {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
20 ssel 3974 . . . . . . . 8 ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3153 . . . 4 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3167 . . 3 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
27 dfss3 3969 . . 3 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀)
28 eleq1 2819 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀))
2928ralxp 5840 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀)
30 vex 3476 . . . . 5 𝑑 ∈ V
31 opeq2 4873 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑑 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© = βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ©)
3231eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑒 = 𝑑 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4684 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3433ralbii 3091 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 296 . 2 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3626, 35imbitrrdi 251 1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13331  Topctop 22615  neicnei 22821  IIcii 24615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-nei 22822  df-ii 24617
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34603
  Copyright terms: Public domain W3C validator