Theorem cvmlift2lem1 32662

Description: Lemma for cvmlift2 32676. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem1	⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimp 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2		iitop 23485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ II ∈ Top
3		iiuni 23486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
4	3	neii1 21711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
5	2, 4	mpan 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
6	5	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7		xpss1 5538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
10	8, 9	sstrd 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11		ssnei 21715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
12	2, 11	mpan 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14		vex 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	snss 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
16	13, 15	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ 𝑢)
17		vsnid 4562	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑡 ∈ {𝑡}
18		opelxpi 5556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
19	16, 17, 18	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20		ssel 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
22	10, 21	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
23	1, 22	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
24	23	rexlimdva 3243	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
25	24	ralimdv 3145	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
26	25	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27		dfss3 3903	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀)
28		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
29	28	ralxp 5676	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
31		opeq2 4765	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
32	31	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
33	30, 32	ralsn 4579	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
34	33	ralbii 3133	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
35	27, 29, 34	3bitri 300	. 2 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
36	26, 35	syl6ibr 255	1 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ⟨cop 4531   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  [,]cicc 12729  Topctop 21498  neicnei 21702  IIcii 23480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-nei 21703  df-ii 23482

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32674