Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem1 31753
Description: Lemma for cvmlift2 31767. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 206 . . . . . 6 (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2 iitop 22976 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 22977 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
43neii1 21204 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
52, 4mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
65adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7 xpss1 5298 . . . . . . . . 9 (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9 simpl 474 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
108, 9sstrd 3773 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11 ssnei 21208 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
122, 11mpan 681 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
1312adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4472 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
1613, 15sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦𝑢)
17 vsnid 4369 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ {𝑡}
18 opelxpi 5316 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑢𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
1916, 17, 18sylancl 580 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20 ssel 3757 . . . . . . . 8 ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3178 . . . 4 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3110 . . 3 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27 dfss3 3752 . . 3 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀)
28 eleq1 2832 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
2928ralxp 5434 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30 vex 3353 . . . . 5 𝑡 ∈ V
31 opeq2 4562 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
3231eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4381 . . . 4 (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3433ralbii 3127 . . 3 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 288 . 2 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3626, 35syl6ibr 243 1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  {csn 4336  cop 4342   × cxp 5277  cfv 6070  (class class class)co 6846  0cc0 10193  1c1 10194  [,]cicc 12385  Topctop 20991  neicnei 21195  IIcii 22971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12389  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-topgen 16384  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-top 20992  df-topon 21009  df-bases 21044  df-nei 21196  df-ii 22973
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31765
  Copyright terms: Public domain W3C validator