Theorem cvmlift2lem1 35296

Description: Lemma for cvmlift2 35310. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem1	⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimp 215	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2		iitop 24780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ II ∈ Top
3		iiuni 24781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
4	3	neii1 23000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
5	2, 4	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7		xpss1 5660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
10	8, 9	sstrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11		ssnei 23004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
12	2, 11	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	snss 4752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
16	13, 15	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ 𝑢)
17		vsnid 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑡 ∈ {𝑡}
18		opelxpi 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20		ssel 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
22	10, 21	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
23	1, 22	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
24	23	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
25	24	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
26	25	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27		dfss3 3938	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀)
28		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
29	28	ralxp 5808	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
31		opeq2 4841	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
32	31	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
33	30, 32	ralsn 4648	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
34	33	ralbii 3076	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
35	27, 29, 34	3bitri 297	. 2 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
36	26, 35	imbitrrdi 252	1 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  [,]cicc 13316  Topctop 22787  neicnei 22991  IIcii 24775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-nei 22992  df-ii 24777

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  35308