Theorem cvmlift2lem1 33983

Description: Lemma for cvmlift2 33997. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem1	⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimp 214	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2		iitop 24280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ II ∈ Top
3		iiuni 24281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
4	3	neii1 22494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
5	2, 4	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7		xpss1 5657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
10	8, 9	sstrd 3957	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11		ssnei 22498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
12	2, 11	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14		vex 3450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	snss 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
16	13, 15	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ 𝑢)
17		vsnid 4628	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑡 ∈ {𝑡}
18		opelxpi 5675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20		ssel 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
22	10, 21	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
23	1, 22	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
24	23	rexlimdva 3148	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
25	24	ralimdv 3162	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
26	25	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27		dfss3 3935	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀)
28		eleq1 2820	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
29	28	ralxp 5802	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30		vex 3450	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
31		opeq2 4836	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
32	31	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
33	30, 32	ralsn 4647	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
34	33	ralbii 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
35	27, 29, 34	3bitri 296	. 2 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
36	26, 35	syl6ibr 251	1 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5636  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061  [,]cicc 13277  Topctop 22279  neicnei 22485  IIcii 24275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-icc 13281  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-nei 22486  df-ii 24277

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  33995