Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem1 34835
Description: Lemma for cvmlift2 34849. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑)
Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 214 . . . . . 6 (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
2 iitop 24774 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 24775 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = βˆͺ II
43neii1 22984 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
52, 4mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
65adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
7 xpss1 5691 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† (0[,]1) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
9 simpl 482 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
108, 9sstrd 3988 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
11 ssnei 22988 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
122, 11mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
14 vex 3473 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4785 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1613, 15sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
17 vsnid 4661 . . . . . . . . 9 𝑑 ∈ {𝑑}
18 opelxpi 5709 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑑 ∈ {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
1916, 17, 18sylancl 585 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
20 ssel 3971 . . . . . . . 8 ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3150 . . . 4 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3164 . . 3 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
27 dfss3 3966 . . 3 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀)
28 eleq1 2816 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀))
2928ralxp 5838 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀)
30 vex 3473 . . . . 5 𝑑 ∈ V
31 opeq2 4870 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑑 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© = βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ©)
3231eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑒 = 𝑑 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4681 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3433ralbii 3088 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 297 . 2 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3626, 35imbitrrdi 251 1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125  [,]cicc 13345  Topctop 22769  neicnei 22975  IIcii 24769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-nei 22976  df-ii 24771
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34847
  Copyright terms: Public domain W3C validator