Theorem cvmlift2lem1 35334

Description: Lemma for cvmlift2 35348. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem1	⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimp 215	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2		iitop 24798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ II ∈ Top
3		iiuni 24799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
4	3	neii1 23019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
5	2, 4	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7		xpss1 5635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
10	8, 9	sstrd 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11		ssnei 23023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
12	2, 11	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	snss 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
16	13, 15	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ 𝑢)
17		vsnid 4616	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑡 ∈ {𝑡}
18		opelxpi 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20		ssel 3928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
22	10, 21	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
23	1, 22	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
24	23	rexlimdva 3133	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
25	24	ralimdv 3146	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
26	25	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27		dfss3 3923	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀)
28		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
29	28	ralxp 5781	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
31		opeq2 4826	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
32	31	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
33	30, 32	ralsn 4634	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
34	33	ralbii 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
35	27, 29, 34	3bitri 297	. 2 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
36	26, 35	imbitrrdi 252	1 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ⟨cop 4582   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004  [,]cicc 13245  Topctop 22806  neicnei 23010  IIcii 24793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-nei 23011  df-ii 24795

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  35346