Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem1 34965
Description: Lemma for cvmlift2 34979. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑)
Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 214 . . . . . 6 (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
2 iitop 24813 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 24814 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = βˆͺ II
43neii1 23023 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
52, 4mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
65adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑒 βŠ† (0[,]1))
7 xpss1 5692 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† (0[,]1) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† ((0[,]1) Γ— {π‘₯}))
9 simpl 481 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
108, 9sstrd 3984 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀)
11 ssnei 23027 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
122, 11mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦}) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1312adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑒)
14 vex 3467 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4786 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ {𝑦} βŠ† 𝑒)
1613, 15sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
17 vsnid 4662 . . . . . . . . 9 𝑑 ∈ {𝑑}
18 opelxpi 5710 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑑 ∈ {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}))
20 ssel 3967 . . . . . . . 8 ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ (𝑒 Γ— {𝑑}) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})) β†’ (((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3145 . . . 4 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3159 . . 3 (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
27 dfss3 3962 . . 3 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀)
28 eleq1 2813 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀))
2928ralxp 5839 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ((0[,]1) Γ— {𝑑})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀)
30 vex 3467 . . . . 5 𝑑 ∈ V
31 opeq2 4871 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑑 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© = βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ©)
3231eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑒 = 𝑑 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4682 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3433ralbii 3083 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘’ ∈ {𝑑}βŸ¨π‘¦, π‘’βŸ© ∈ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 296 . 2 (((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βŸ¨π‘¦, π‘‘βŸ© ∈ 𝑀)
3626, 35imbitrrdi 251 1 (βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑦})((𝑒 Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀) β†’ (((0[,]1) Γ— {π‘₯}) βŠ† 𝑀 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑑}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βŸ¨cop 4631   Γ— cxp 5671  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134  [,]cicc 13354  Topctop 22808  neicnei 23014  IIcii 24808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-nei 23015  df-ii 24810
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34977
  Copyright terms: Public domain W3C validator