Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem1 32606
Description: Lemma for cvmlift2 32620. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 218 . . . . . 6 (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2 iitop 23488 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 23489 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
43neii1 21714 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
52, 4mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
65adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7 xpss1 5561 . . . . . . . . 9 (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9 simpl 486 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
108, 9sstrd 3963 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11 ssnei 21718 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
122, 11mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
1312adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4703 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
1613, 15sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦𝑢)
17 vsnid 4587 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ {𝑡}
18 opelxpi 5579 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑢𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
1916, 17, 18sylancl 589 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20 ssel 3946 . . . . . . . 8 ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3276 . . . 4 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3173 . . 3 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27 dfss3 3941 . . 3 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀)
28 eleq1 2903 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
2928ralxp 5699 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30 vex 3483 . . . . 5 𝑡 ∈ V
31 opeq2 4789 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
3231eleq1d 2900 . . . . 5 (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4604 . . . 4 (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3433ralbii 3160 . . 3 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 300 . 2 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3626, 35syl6ibr 255 1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919  {csn 4550  cop 4556   × cxp 5540  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536  [,]cicc 12738  Topctop 21501  neicnei 21705  IIcii 23483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-icc 12742  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-nei 21706  df-ii 23485
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32618
  Copyright terms: Public domain W3C validator