Theorem nmulr0 37122

Description: Natural multiplication by zero. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulr0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∅)

Proof of Theorem nmulr0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6436	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		nmulval 37119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))})
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))})
4		ral0 4457	. . . . 5 ⊢ ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))
5	4	rgenw 3084	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))
6		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) = (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏)))
7	6	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
8	7	2ralbidv 3230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
9	8	elrab3 3649	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏)))
11	5, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))}
12		int0el 4942	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} = ∅
14	3, 13	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  ∅c0 4281  ∩ cint 4910  Oncon0 6380  (class class class)co 7443   +no cnadd 8702   ·_no cnmul 37114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-nadd 8703  df-nmul 37115

This theorem is used by:  nmull0  37123  nmulrid  37124  nmulr0d  37129