Theorem nmulr0 36550

Description: Natural multiplication by zero. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulr0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∅)

Proof of Theorem nmulr0

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6401	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		nmulval 36547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))})
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))})
4		ral0 4453	. . . . 5 ⊢ ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))
5	4	rgenw 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))
6		oveq1 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) = (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏)))
7	6	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
8	7	2ralbidv 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
9	8	elrab3 3652	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏))))
10	1, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (∅ +no (𝑎 ·no 𝑏)))
11	5, 10	mpbir 233	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))}
12		int0el 4938	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ ∅ ((𝑎 ·no ∅) +no (𝐴 ·no 𝑏)) ∈ (𝑥 +no (𝑎 ·no 𝑏))} = ∅
14	3, 13	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  {crab 3415  ∅c0 4286  ∩ cint 4906  Oncon0 6346  (class class class)co 7396   +no cnadd 8635   ·_no cnmul 36542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-nadd 8636  df-nmul 36543

This theorem is referenced by:  nmull0  36551