Theorem nmulrid 37124

Description: Identity law for natural multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulrid	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nmulrid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7450	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ·no 1o) = (𝑏 ·no 1o))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ·no 1o) = 𝑎 ↔ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏))
4		oveq1 7450	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ·no 1o) = (𝐴 ·no 1o))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ·no 1o) = 𝑎 ↔ (𝐴 ·no 1o) = 𝐴))
7		1on 8517	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
8		nmulval 37119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
9	7, 8	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
11		df1o2 8511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o = {∅}
12	11	raleqi 3321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)))
13		0ex 5264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
14		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑎 ·no 𝑦) = (𝑎 ·no ∅))
15	14	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) = ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)))
16		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑏 ·no 𝑦) = (𝑏 ·no ∅))
17	16	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) = (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
18	15, 17	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅))))
19	13, 18	ralsn 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
20	12, 19	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
21		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)
22		nmulr0 37122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 ·no ∅) = ∅)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑎 ·no ∅) = ∅)
24	21, 23	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) = (𝑏 +no ∅))
25		onss 7823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ On → 𝑎 ⊆ On)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑎 ⊆ On)
27	26	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
28	27	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → 𝑏 ∈ On)
29		naddrid 8721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ On → (𝑏 +no ∅) = 𝑏)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 +no ∅) = 𝑏)
31	24, 30	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) = 𝑏)
32		nmulr0 37122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ On → (𝑏 ·no ∅) = ∅)
33	28, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 ·no ∅) = ∅)
34	33	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) = (𝑥 +no ∅))
35		naddrid 8721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
36	35	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
37	34, 36	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) = 𝑥)
38	31, 37	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
39	20, 38	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
40	39	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥)))
41	40	ralimdva 3178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥)))
42	41	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
43		ralbi 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
45	44	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
46		dfss3 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥)
47	45, 46	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
48	47	rabbidva 3422	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
49	48	inteqd 4915	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
50		intmin 4931	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
52	10, 49, 51	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (𝑎 ·no 1o) = 𝑎)
53	52	ex 418	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → (𝑎 ·no 1o) = 𝑎))
54	3, 6, 53	tfis3 7893	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no 1o) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ∩ cint 4910  Oncon0 6380  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   +no cnadd 8702   ·_no cnmul 37114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-1o 8504  df-nadd 8703  df-nmul 37115

This theorem is used by:  nmullid  37125  nmulridd  37131