Theorem nmulrid 36697

Description: Identity law for natural multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulrid	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nmulrid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ·no 1o) = (𝑏 ·no 1o))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ·no 1o) = 𝑎 ↔ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏))
4		oveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ·no 1o) = (𝐴 ·no 1o))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ·no 1o) = 𝑎 ↔ (𝐴 ·no 1o) = 𝐴))
7		1on 8464	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
8		nmulval 36692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
9	7, 8	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (𝑎 ·no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))})
11		df1o2 8458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o = {∅}
12	11	raleqi 3320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)))
13		0ex 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
14		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑎 ·no 𝑦) = (𝑎 ·no ∅))
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) = ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)))
16		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑏 ·no 𝑦) = (𝑏 ·no ∅))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) = (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
18	15, 17	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∅ → (((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅))))
19	13, 18	ralsn 4646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
20	12, 19	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)))
21		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)
22		nmulr0 36695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 ·no ∅) = ∅)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑎 ·no ∅) = ∅)
24	21, 23	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) = (𝑏 +no ∅))
25		onss 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ On → 𝑎 ⊆ On)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑎 ⊆ On)
27	26	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
28	27	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → 𝑏 ∈ On)
29		naddrid 8668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ On → (𝑏 +no ∅) = 𝑏)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 +no ∅) = 𝑏)
31	24, 30	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) = 𝑏)
32		nmulr0 36695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ On → (𝑏 ·no ∅) = ∅)
33	28, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑏 ·no ∅) = ∅)
34	33	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) = (𝑥 +no ∅))
35		naddrid 8668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
36	35	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
37	34, 36	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) = 𝑥)
38	31, 37	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no ∅)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no ∅)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
39	20, 38	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ (𝑏 ·no 1o) = 𝑏)) → (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
40	39	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥)))
41	40	ralimdva 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥)))
42	41	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
43		ralbi 3119	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑏 ∈ 𝑥) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
45	44	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
46		dfss3 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥)
47	45, 46	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦)) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
48	47	rabbidva 3421	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
49	48	inteqd 4916	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 1o ((𝑏 ·no 1o) +no (𝑎 ·no 𝑦)) ∈ (𝑥 +no (𝑏 ·no 𝑦))} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
50		intmin 4932	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
51	50	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
52	10, 49, 51	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏) → (𝑎 ·no 1o) = 𝑎)
53	52	ex 417	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 ·no 1o) = 𝑏 → (𝑎 ·no 1o) = 𝑎))
54	3, 6, 53	tfis3 7852	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·no 1o) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ∩ cint 4911  Oncon0 6360  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444   +no cnadd 8649   ·_no cnmul 36687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-1o 8451  df-nadd 8650  df-nmul 36688

This theorem is used by:  nmullid  36698  nmulridd  36704