MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaordr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaordr 7855
Description: Ordering property of addition of natural numbers. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnaordr ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∈ (𝐵 +𝑜 𝐶)))

Proof of Theorem nnaordr
StepHypRef Expression
1 nnaord 7854 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
2 nnacom 7852 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐶))
32ancoms 455 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐶))
433adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐶))
5 nnacom 7852 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
65ancoms 455 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
763adant1 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
84, 7eleq12d 2844 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∈ (𝐵 +𝑜 𝐶)))
91, 8bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∈ (𝐵 +𝑜 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6794  ωcom 7213   +𝑜 coa 7711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-oadd 7718
This theorem is referenced by:  pwsdompw  9229
  Copyright terms: Public domain W3C validator