Theorem noseqinds 28218

Description: Induction schema for surreal sequences. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
noseqinds.3	⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
noseqinds.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
noseqinds.5	⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
noseqinds.6	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
noseqinds.7	⊢ (𝜑 → 𝜒)
noseqinds.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
noseqinds	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑧   𝜏,𝑦   𝜃,𝑦   𝑦,𝑍,𝑧   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝜏(𝑥,𝑧)   𝜂(𝑥,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem noseqinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		noseqinds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	1, 2	noseq0 28215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
5		noseqinds.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
6	3, 4, 5	elrabd 3644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
7		noseqinds.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
9	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ No )
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ 𝑍)
11	8, 9, 10	noseqp1 28216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍)
12	7, 11	jctild 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
13	12	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃) → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
14		noseqinds.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃))
16		noseqinds.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	16	elrab 3642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏))
18	13, 15, 17	3imtr4g 296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}))
19	18	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}) → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
20	1, 2, 6, 19	noseqind 28217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
21	20	sselda 3929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
22		noseqinds.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
23	22	elrab 3642	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
24	21, 23	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
25	24	simprd 495	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5167   “ cima 5614  (class class class)co 7341  ωcom 7791  reccrdg 8323   No csur 27573   1_s c1s 27762   +_s cadds 27897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324

This theorem is referenced by:  n0sind  28256  nnsind  28293