Theorem noseqinds 28187

Description: Induction schema for surreal sequences. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
noseqinds.3	⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
noseqinds.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
noseqinds.5	⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
noseqinds.6	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
noseqinds.7	⊢ (𝜑 → 𝜒)
noseqinds.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
noseqinds	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑧   𝜏,𝑦   𝜃,𝑦   𝑦,𝑍,𝑧   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝜏(𝑥,𝑧)   𝜂(𝑥,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem noseqinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		noseqinds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	1, 2	noseq0 28184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
5		noseqinds.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
6	3, 4, 5	elrabd 3661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
7		noseqinds.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
9	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ No )
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ 𝑍)
11	8, 9, 10	noseqp1 28185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍)
12	7, 11	jctild 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
13	12	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃) → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
14		noseqinds.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 3659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃))
16		noseqinds.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	16	elrab 3659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏))
18	13, 15, 17	3imtr4g 296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}))
19	18	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}) → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
20	1, 2, 6, 19	noseqind 28186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
21	20	sselda 3946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
22		noseqinds.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
23	22	elrab 3659	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
24	21, 23	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
25	24	simprd 495	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   “ cima 5641  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377   No csur 27551   1_s c1s 27735   +_s cadds 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378

This theorem is referenced by:  n0sind  28225  nnsind  28262