Theorem noseqinds 28289

Description: Induction schema for surreal sequences. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
noseqinds.3	⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
noseqinds.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
noseqinds.5	⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
noseqinds.6	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
noseqinds.7	⊢ (𝜑 → 𝜒)
noseqinds.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
noseqinds	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑧   𝜏,𝑦   𝜃,𝑦   𝑦,𝑍,𝑧   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝜏(𝑥,𝑧)   𝜂(𝑥,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem noseqinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		noseqinds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	1, 2	noseq0 28286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
5		noseqinds.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
6	3, 4, 5	elrabd 3648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
7		noseqinds.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
9	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ No )
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ 𝑍)
11	8, 9, 10	noseqp1 28287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍)
12	7, 11	jctild 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
13	12	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃) → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
14		noseqinds.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 3646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃))
16		noseqinds.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	16	elrab 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏))
18	13, 15, 17	3imtr4g 296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}))
19	18	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}) → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
20	1, 2, 6, 19	noseqind 28288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
21	20	sselda 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
22		noseqinds.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
23	22	elrab 3646	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
24	21, 23	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
25	24	simprd 495	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179   “ cima 5627  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340   No csur 27607   1_s c1s 27802   +_s cadds 27955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341

This theorem is referenced by:  n0sind  28329  nnsind  28369