Theorem noseqinds 28448

Description: Induction schema for surreal sequences. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
noseqinds.3	⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
noseqinds.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
noseqinds.5	⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
noseqinds.6	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
noseqinds.7	⊢ (𝜑 → 𝜒)
noseqinds.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
noseqinds	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑧   𝜏,𝑦   𝜃,𝑦   𝑦,𝑍,𝑧   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝜏(𝑥,𝑧)   𝜂(𝑥,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem noseqinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		noseqinds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	1, 2	noseq0 28445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑍)
5		noseqinds.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
6	3, 4, 5	elrabd 3661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
7		noseqinds.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → 𝜏))
8	1	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
9	2	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ No )
10		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ 𝑍)
11	8, 9, 10	noseqp1 28446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍)
12	7, 11	jctild 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝜃 → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
13	12	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃) → ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏)))
14		noseqinds.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 3659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝜃))
16		noseqinds.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +s 1s ) → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	16	elrab 3659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ ((𝑧 +s 1s ) ∈ 𝑍 ∧ 𝜏))
18	13, 15, 17	3imtr4g 299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}))
19	18	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓}) → (𝑧 +s 1s ) ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
20	1, 2, 6, 19	noseqind 28447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
21	20	sselda 3945	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓})
22		noseqinds.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜂))
23	22	elrab 3659	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ 𝑍 ∣ 𝜓} ↔ (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
24	21, 23	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝜂))
25	24	simprd 500	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5193   “ cima 5662  (class class class)co 7408  ωcom 7858  reccrdg 8392   No csur 27766   1_s c1s 27961   +_s cadds 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is referenced by:  n0sind  28488  nnsind  28528