Theorem noseqssno 28375

Description: A surreal sequence is a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
noseqssno	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )

Proof of Theorem noseqssno

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		peano2no 28065	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ No → (𝑦 +s 1s ) ∈ No )
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑦 +s 1s ) ∈ No )
5	1, 2, 2, 4	noseqind 28373	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178   “ cima 5646  (class class class)co 7391  ωcom 7841  reccrdg 8374   No csur 27692   1_s c1s 27887   +_s cadds 28040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-nadd 8630  df-no 27695  df-lts 27696  df-bday 27697  df-slts 27839  df-cuts 27841  df-0s 27888  df-1s 27889  df-made 27908  df-old 27909  df-left 27911  df-right 27912  df-norec2 28030  df-adds 28041

This theorem is referenced by:  noseqno  28376  om2noseqlt  28380  om2noseqlt2  28381  om2noseqf1o  28382  n0ssno  28401