Theorem noseqssno 28687

Description: A surreal sequence is a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
noseqssno	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No)

Proof of Theorem noseqssno

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noseq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐴) “ ω))
2		noseq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3		peano2no 28377	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ No → (𝑦 +s 1s ) ∈ No)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ No) → (𝑦 +s 1s ) ∈ No)
5	1, 2, 2, 4	noseqind 28685	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185   “ cima 5653  (class class class)co 7422  ωcom 7879  reccrdg 8422  Nocsur 28004   1_s c1s 28199   +_s cadds 28352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8680  df-no 28007  df-lts 28008  df-bday 28009  df-slts 28151  df-cuts 28153  df-0s 28200  df-1s 28201  df-made 28220  df-old 28221  df-left 28223  df-right 28224  df-norec2 28342  df-adds 28353

This theorem is used by:  noseqno  28688  om2noseqlt  28692  om2noseqlt2  28693  om2noseqf1o  28694  n0ssno  28713