Theorem nnsind 28524

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsind.1	⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnsind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnsind.5	⊢ 𝜓
nnsind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnsind	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnsind

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1567	. 2 ⊢ ⊤
2		dfnns2 28523	. . . 4 ⊢ ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω))
4		1no 27961	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
6		nnsind.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		nnsind.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		nnsind.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		nnsind.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		nnsind.5	. . . 4 ⊢ 𝜓
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝜓)
12		nnsind.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))
13	12	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕs) → (𝜒 → 𝜃))
14	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	noseqinds 28444	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ 𝐴 ∈ ℕs) → 𝜏)
15	1, 14	mpan 702	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5186   “ cima 5655  (class class class)co 7400  ωcom 7850  reccrdg 8384   No csur 27762   1_s c1s 27957   +_s cadds 28110  ℕ_scnns 28464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-les 27867  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-1s 27959  df-made 27978  df-old 27979  df-left 27981  df-right 27982  df-norec2 28100  df-adds 28111  df-n0s 28465  df-nns 28466

This theorem is referenced by:  nn1m1nns  28525