Theorem nnsind 28363

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsind.1	⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnsind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnsind.5	⊢ 𝜓
nnsind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnsind	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnsind

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1544	. 2 ⊢ ⊤
2		dfnns2 28362	. . . 4 ⊢ ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω))
4		1sno 27872	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
6		nnsind.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		nnsind.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		nnsind.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		nnsind.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		nnsind.5	. . . 4 ⊢ 𝜓
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝜓)
12		nnsind.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕs) → (𝜒 → 𝜃))
14	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	noseqinds 28299	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ 𝐴 ∈ ℕs) → 𝜏)
15	1, 14	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225   “ cima 5688  (class class class)co 7431  ωcom 7887  reccrdg 8449   No csur 27684   1_s c1s 27868   +_s cadds 27992  ℕ_scnns 28319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-n0s 28320  df-nns 28321

This theorem is referenced by: (None)