Theorem nnsind 28262

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsind.1	⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnsind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnsind.5	⊢ 𝜓
nnsind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnsind	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnsind

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1544	. 2 ⊢ ⊤
2		dfnns2 28261	. . . 4 ⊢ ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω))
4		1sno 27739	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
6		nnsind.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		nnsind.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		nnsind.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		nnsind.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		nnsind.5	. . . 4 ⊢ 𝜓
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝜓)
12		nnsind.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕs) → (𝜒 → 𝜃))
14	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	noseqinds 28187	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ 𝐴 ∈ ℕs) → 𝜏)
15	1, 14	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   “ cima 5641  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377   No csur 27551   1_s c1s 27735   +_s cadds 27866  ℕ_scnns 28207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-nadd 8630  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sle 27657  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-1s 27737  df-made 27755  df-old 27756  df-left 27758  df-right 27759  df-norec2 27856  df-adds 27867  df-n0s 28208  df-nns 28209

This theorem is referenced by:  nn1m1nns  28263