Theorem nnsind 28285

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsind.1	⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnsind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnsind.5	⊢ 𝜓
nnsind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnsind	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnsind

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1544	. 2 ⊢ ⊤
2		dfnns2 28284	. . . 4 ⊢ ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω))
4		1sno 27759	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
6		nnsind.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		nnsind.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		nnsind.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		nnsind.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		nnsind.5	. . . 4 ⊢ 𝜓
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝜓)
12		nnsind.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕs) → (𝜒 → 𝜃))
14	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	noseqinds 28210	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ 𝐴 ∈ ℕs) → 𝜏)
15	1, 14	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176   “ cima 5626  (class class class)co 7353  ωcom 7806  reccrdg 8338   No csur 27567   1_s c1s 27755   +_s cadds 27889  ℕ_scnns 28230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27673  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-1s 27757  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-n0s 28231  df-nns 28232

This theorem is referenced by:  nn1m1nns  28286