Theorem nnsind 28296

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsind.1	⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnsind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnsind.5	⊢ 𝜓
nnsind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnsind	⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnsind

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1545	. 2 ⊢ ⊤
2		dfnns2 28295	. . . 4 ⊢ ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕs = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 +s 1s )), 1s ) “ ω))
4		1sno 27769	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
6		nnsind.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1s → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		nnsind.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		nnsind.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +s 1s ) → (𝜑 ↔ 𝜃))
9		nnsind.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
10		nnsind.5	. . . 4 ⊢ 𝜓
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝜓)
12		nnsind.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕs → (𝜒 → 𝜃))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕs) → (𝜒 → 𝜃))
14	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	noseqinds 28221	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ 𝐴 ∈ ℕs) → 𝜏)
15	1, 14	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕs → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172   “ cima 5619  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328   No csur 27576   1_s c1s 27765   +_s cadds 27900  ℕ_scnns 28241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sle 27682  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-0s 27766  df-1s 27767  df-made 27786  df-old 27787  df-left 27789  df-right 27790  df-norec2 27890  df-adds 27901  df-n0s 28242  df-nns 28243

This theorem is referenced by:  nn1m1nns  28297