Theorem cvrexch 39925

Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 32460 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexch	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrexch.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cvrexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 39924	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
6		simp1 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		simp3 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13		simp2 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 10	opoccl 39699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	8, 13, 14	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 39924	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
17	6, 12, 15, 16	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18		hlol 39866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
19	1, 2, 3, 10	oldmj1 39726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	18, 19	syl3an1 1170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21		hllat 39868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	3ad2ant1 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
23	1, 3	latmcom 18424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
24	22, 15, 12, 23	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	20, 24	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	25	breq1d 5084	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	1, 2, 3, 10	oldmm1 39722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	18, 27	syl3an1 1170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
29	1, 2	latjcom 18408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	22, 15, 12, 29	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
31	28, 30	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
32	31	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
33	17, 26, 32	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
34	1, 2	latjcl 18400	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	21, 34	syl3an1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
36	1, 10, 4	cvrcon3b 39782	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
37	8, 13, 35, 36	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	1, 3	latmcl 18401	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
39	21, 38	syl3an1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
40	1, 10, 4	cvrcon3b 39782	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
41	8, 39, 9, 40	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
42	33, 37, 41	3imtr4d 296	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌))
43	5, 42	impbid 214	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  occoc 17223  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18392  OPcops 39677  OLcol 39679   ⋖ ccvr 39767  HLchlt 39855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39681  df-ol 39683  df-oml 39684  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856

This theorem is referenced by:  cvrat3  39947  2lplnmN  40064  2llnmj  40065  2llnm2N  40073  2lplnm2N  40126  2lplnmj  40127  lhpmcvr  40528