Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrexch 39403
Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 32398 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j = (join‘𝐾)
cvrexch.m = (meet‘𝐾)
cvrexch.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrexch ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrexch.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cvrexch.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 cvrexch.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
51, 2, 3, 4cvrexchlem 39402 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
6 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 39344 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
10 eqid 2735 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 39176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
128, 9, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 10opoccl 39176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
158, 13, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4cvrexchlem 39402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
176, 12, 15, 16syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18 hlol 39343 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
191, 2, 3, 10oldmj1 39203 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2018, 19syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21 hllat 39345 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 3latmcom 18521 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2422, 15, 12, 23syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2520, 24eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2625breq1d 5158 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
271, 2, 3, 10oldmm1 39199 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2818, 27syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
291, 2latjcom 18505 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3022, 15, 12, 29syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3128, 30eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3231breq2d 5160 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
3317, 26, 323imtr4d 294 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
341, 2latjcl 18497 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3521, 34syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
361, 10, 4cvrcon3b 39259 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
378, 13, 35, 36syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
381, 3latmcl 18498 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3921, 38syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
401, 10, 4cvrcon3b 39259 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
418, 39, 9, 40syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
4233, 37, 413imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌)𝐶𝑌))
435, 42impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  occoc 17306  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  OPcops 39154  OLcol 39156  ccvr 39244  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  cvrat3  39425  2lplnmN  39542  2llnmj  39543  2llnm2N  39551  2lplnm2N  39604  2lplnmj  39605  lhpmcvr  40006
  Copyright terms: Public domain W3C validator