Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrexch 38291
Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 31622 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrexch.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrexch ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrexch.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cvrexch.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cvrexch.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
51, 2, 3, 4cvrexchlem 38290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 38232 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
9 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
111, 10opoccl 38064 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
128, 9, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
13 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
141, 10opoccl 38064 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
158, 13, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
161, 2, 3, 4cvrexchlem 38290 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
176, 12, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
18 hlol 38231 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
191, 2, 3, 10oldmj1 38091 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2018, 19syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
21 hllat 38233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
22213ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
231, 3latmcom 18416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2422, 15, 12, 23syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2520, 24eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2625breq1d 5159 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
271, 2, 3, 10oldmm1 38087 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2818, 27syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
291, 2latjcom 18400 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3022, 15, 12, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3128, 30eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3231breq2d 5161 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
3317, 26, 323imtr4d 294 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
341, 2latjcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3521, 34syl3an1 1164 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
361, 10, 4cvrcon3b 38147 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
378, 13, 35, 36syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
381, 3latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3921, 38syl3an1 1164 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
401, 10, 4cvrcon3b 38147 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
418, 39, 9, 40syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
4233, 37, 413imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ))
435, 42impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  OPcops 38042  OLcol 38044   β‹– ccvr 38132  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by:  cvrat3  38313  2lplnmN  38430  2llnmj  38431  2llnm2N  38439  2lplnm2N  38492  2lplnmj  38493  lhpmcvr  38894
  Copyright terms: Public domain W3C validator