Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrexch 39423
Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 32389 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j = (join‘𝐾)
cvrexch.m = (meet‘𝐾)
cvrexch.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrexch ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch
StepHypRef Expression
1 cvrexch.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrexch.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cvrexch.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 cvrexch.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
51, 2, 3, 4cvrexchlem 39422 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
6 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 39364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 39196 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
128, 9, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 10opoccl 39196 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
158, 13, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4cvrexchlem 39422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
176, 12, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18 hlol 39363 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
191, 2, 3, 10oldmj1 39223 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2018, 19syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21 hllat 39365 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 3latmcom 18509 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2422, 15, 12, 23syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2520, 24eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2625breq1d 5152 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
271, 2, 3, 10oldmm1 39219 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2818, 27syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
291, 2latjcom 18493 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3022, 15, 12, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3128, 30eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3231breq2d 5154 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
3317, 26, 323imtr4d 294 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
341, 2latjcl 18485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3521, 34syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
361, 10, 4cvrcon3b 39279 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
378, 13, 35, 36syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
381, 3latmcl 18486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3921, 38syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
401, 10, 4cvrcon3b 39279 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
418, 39, 9, 40syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌))))
4233, 37, 413imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌)𝐶𝑌))
435, 42impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  occoc 17306  joincjn 18358  meetcmee 18359  Latclat 18477  OPcops 39174  OLcol 39176  ccvr 39264  HLchlt 39352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353
This theorem is referenced by:  cvrat3  39445  2lplnmN  39562  2llnmj  39563  2llnm2N  39571  2lplnm2N  39624  2lplnmj  39625  lhpmcvr  40026
  Copyright terms: Public domain W3C validator