Theorem cvrexch 37422

Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 30719 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexch	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrexch.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cvrexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 37421	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
6		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 37364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 37196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 10	opoccl 37196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 37421	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
17	6, 12, 15, 16	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18		hlol 37363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
19	1, 2, 3, 10	oldmj1 37223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	18, 19	syl3an1 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21		hllat 37365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
23	1, 3	latmcom 18171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
24	22, 15, 12, 23	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	20, 24	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	25	breq1d 5089	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	1, 2, 3, 10	oldmm1 37219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	18, 27	syl3an1 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
29	1, 2	latjcom 18155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	22, 15, 12, 29	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
31	28, 30	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
32	31	breq2d 5091	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
33	17, 26, 32	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
34	1, 2	latjcl 18147	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	21, 34	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
36	1, 10, 4	cvrcon3b 37279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
37	8, 13, 35, 36	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	1, 3	latmcl 18148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
39	21, 38	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
40	1, 10, 4	cvrcon3b 37279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
41	8, 39, 9, 40	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
42	33, 37, 41	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌))
43	5, 42	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902  occoc 16960  joincjn 18019  meetcmee 18020  Latclat 18139  OPcops 37174  OLcol 37176   ⋖ ccvr 37264  HLchlt 37352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-proset 18003  df-poset 18021  df-plt 18038  df-lub 18054  df-glb 18055  df-join 18056  df-meet 18057  df-p0 18133  df-lat 18140  df-clat 18207  df-oposet 37178  df-ol 37180  df-oml 37181  df-covers 37268  df-ats 37269  df-atl 37300  df-cvlat 37324  df-hlat 37353

This theorem is referenced by:  cvrat3  37444  2lplnmN  37561  2llnmj  37562  2llnm2N  37570  2lplnm2N  37623  2lplnmj  37624  lhpmcvr  38025