Theorem cvrexch 39414

Description: A Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (cvexchi 32298 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexch	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrexch.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cvrexch.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 39413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
6		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 10	opoccl 39187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4	cvrexchlem 39413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
17	6, 12, 15, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
18		hlol 39354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
19	1, 2, 3, 10	oldmj1 39214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	18, 19	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21		hllat 39356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
23	1, 3	latmcom 18422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
24	22, 15, 12, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	20, 24	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	25	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	1, 2, 3, 10	oldmm1 39210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	18, 27	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
29	1, 2	latjcom 18406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	22, 15, 12, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
31	28, 30	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
32	31	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑋))))
33	17, 26, 32	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
34	1, 2	latjcl 18398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	21, 34	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
36	1, 10, 4	cvrcon3b 39270	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
37	8, 13, 35, 36	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
38	1, 3	latmcl 18399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
39	21, 38	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
40	1, 10, 4	cvrcon3b 39270	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
41	8, 39, 9, 40	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
42	33, 37, 41	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌))
43	5, 42	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  occoc 17228  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18390  OPcops 39165  OLcol 39167   ⋖ ccvr 39255  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  cvrat3  39436  2lplnmN  39553  2llnmj  39554  2llnm2N  39562  2lplnm2N  39615  2lplnmj  39616  lhpmcvr  40017