Theorem om1om1r 43937

Description: Ordinal one is both a left and right identity of ordinal multiplication. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. See om1 8527 and om1r 8528 for individual statements. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
om1om1r	⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Proof of Theorem om1om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1r 8528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
2		om1 8527	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o))
4	3, 2	jca 520	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Oncon0 6361  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446   ·_o comu 8451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458

This theorem is referenced by: (None)