Theorem om1om1r 42986

Description: Ordinal one is both a left and right identity of ordinal multiplication. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. See om1 8563 and om1r 8564 for individual statements. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
om1om1r	⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Proof of Theorem om1om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1r 8564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
2		om1 8563	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o))
4	3, 2	jca 510	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Oncon0 6367  (class class class)co 7415  1_oc1o 8480   ·_o comu 8485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492

This theorem is referenced by: (None)