Theorem om1om1r 44031

Description: Ordinal one is both a left and right identity of ordinal multiplication. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. See om1 8523 and om1r 8524 for individual statements. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
om1om1r	⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Proof of Theorem om1om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1r 8524	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = 𝐴)
2		om1 8523	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o))
4	3, 2	jca 520	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((1o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 1o) ∧ (𝐴 ·o 1o) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Oncon0 6360  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   ·_o comu 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454

This theorem is referenced by: (None)