Theorem om1 8580

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
om1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem om1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8506	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3		peano1 7910	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onmsuc 8567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
7		om0 8555	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
8	7	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
9		oa0r 8576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1_oc1o 8499   +_o coa 8503   ·_o comu 8504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511

This theorem is referenced by:  oe1m  8583  omword1  8611  oeordi  8625  oeoalem  8634  oeoa  8635  oeeui  8640  oaabs2  8687  infxpenc  10058  om1om1r  43297  oaabsb  43307  oaomoencom  43330  cantnfresb  43337  omabs2  43345  omcl3g  43347  om2  43417