Theorem om1 8466

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
om1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem om1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8394	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7366	. . 3 ⊢ (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3		peano1 7828	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onmsuc 8453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
7		om0 8441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
8	7	oveq1d 7370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
9		oa0r 8462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  Oncon0 6314  suc csuc 6316  (class class class)co 7355  ωcom 7805  1_oc1o 8387   +_o coa 8391   ·_o comu 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399

This theorem is referenced by:  oe1m  8469  omword1  8497  oeordi  8511  oeoalem  8520  oeoa  8521  oeeui  8526  oaabs2  8573  infxpenc  9920  om1om1r  43441  oaabsb  43451  oaomoencom  43474  cantnfresb  43481  omabs2  43489  omcl3g  43491  om2  43561