MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1 8537
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
om1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)

Proof of Theorem om1
StepHypRef Expression
1 df-1o 8461 . . . 4 1o = suc โˆ…
21oveq2i 7412 . . 3 (๐ด ยทo 1o) = (๐ด ยทo suc โˆ…)
3 peano1 7872 . . . 4 โˆ… โˆˆ ฯ‰
4 onmsuc 8524 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o ๐ด))
53, 4mpan2 688 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o ๐ด))
62, 5eqtrid 2776 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o ๐ด))
7 om0 8512 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
87oveq1d 7416 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) +o ๐ด) = (โˆ… +o ๐ด))
9 oa0r 8533 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o ๐ด) = ๐ด)
106, 8, 93eqtrd 2768 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4314  Oncon0 6354  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  ฯ‰com 7848  1oc1o 8454   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  oe1m  8540  omword1  8568  oeordi  8582  oeoalem  8591  oeoa  8592  oeeui  8597  oaabs2  8644  infxpenc  10009  om1om1r  42523  oaabsb  42533  oaomoencom  42556  cantnfresb  42563  omabs2  42571  omcl3g  42573  om2  42644
  Copyright terms: Public domain W3C validator