Theorem om1 8541

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
om1	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem om1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8465	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3		peano1 7878	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		onmsuc 8528	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
7		om0 8516	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
8	7	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
9		oa0r 8537	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
10	6, 8, 9	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4322  Oncon0 6364  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  ωcom 7854  1_oc1o 8458   +_o coa 8462   ·_o comu 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470

This theorem is referenced by:  oe1m  8544  omword1  8572  oeordi  8586  oeoalem  8595  oeoa  8596  oeeui  8601  oaabs2  8647  infxpenc  10012  om1om1r  42024  oaabsb  42034  oaomoencom  42057  cantnfresb  42064  omabs2  42072  omcl3g  42074  om2  42145