MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1r 8539
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om1r (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem om1r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo โˆ…))
2 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
31, 2eqeq12d 2740 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo โˆ…) = โˆ…))
4 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐‘ฆ))
5 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
64, 5eqeq12d 2740 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ))
7 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo suc ๐‘ฆ))
8 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ)
97, 8eqeq12d 2740 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
10 oveq2 7410 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐ด))
11 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
1210, 11eqeq12d 2740 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐ด) = ๐ด))
13 1on 8474 . . 3 1o โˆˆ On
14 om0 8513 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
1513, 14ax-mp 5 . 2 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
16 omsuc 8522 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
1713, 16mpan 687 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
18 oveq1 7409 . . . . 5 ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o) = (๐‘ฆ +o 1o))
1917, 18sylan9eq 2784 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o 1o))
20 oa1suc 8527 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2120adantr 480 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2219, 21eqtrd 2764 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ)
2322ex 412 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
24 iuneq2 5007 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ)
25 uniiun 5052 . . . 4 โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ
2624, 25eqtr4di 2782 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ)
27 vex 3470 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
28 omlim 8529 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
2913, 28mpan 687 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
3027, 29mpan 687 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
31 limuni 6416 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฅ)
3230, 31eqeq12d 2740 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ))
3326, 32imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
343, 6, 9, 12, 15, 23, 33tfinds 7843 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315  โˆช cuni 4900  โˆช ciun 4988  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  suc csuc 6357  (class class class)co 7402  1oc1o 8455   +o coa 8459   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  oe1  8540  omword2  8570  om1om1r  42548  omabs2  42596  omcl2  42597
  Copyright terms: Public domain W3C validator