MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1r 8494
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om1r (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem om1r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo โˆ…))
2 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
31, 2eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo โˆ…) = โˆ…))
4 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐‘ฆ))
5 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
64, 5eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ))
7 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo suc ๐‘ฆ))
8 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ)
97, 8eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
10 oveq2 7369 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐ด))
11 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
1210, 11eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐ด) = ๐ด))
13 1on 8428 . . 3 1o โˆˆ On
14 om0 8467 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
1513, 14ax-mp 5 . 2 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
16 omsuc 8476 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
1713, 16mpan 689 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
18 oveq1 7368 . . . . 5 ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o) = (๐‘ฆ +o 1o))
1917, 18sylan9eq 2793 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o 1o))
20 oa1suc 8481 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2120adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2219, 21eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ)
2322ex 414 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
24 iuneq2 4977 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ)
25 uniiun 5022 . . . 4 โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ
2624, 25eqtr4di 2791 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ)
27 vex 3451 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
28 omlim 8483 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
2913, 28mpan 689 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
3027, 29mpan 689 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
31 limuni 6382 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฅ)
3230, 31eqeq12d 2749 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ))
3326, 32imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
343, 6, 9, 12, 15, 23, 33tfinds 7800 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  โˆช cuni 4869  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  oe1  8495  omword2  8525  om1om1r  41666  omabs2  41714  omcl2  41715
  Copyright terms: Public domain W3C validator