MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1r 8542
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 2.15 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om1r (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem om1r
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo โˆ…))
2 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
31, 2eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo โˆ…) = โˆ…))
4 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐‘ฆ))
5 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
64, 5eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ))
7 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo suc ๐‘ฆ))
8 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ)
97, 8eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
10 oveq2 7416 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = (1o ยทo ๐ด))
11 id 22 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
1210, 11eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (1o ยทo ๐ด) = ๐ด))
13 1on 8477 . . 3 1o โˆˆ On
14 om0 8516 . . 3 (1o โˆˆ On โ†’ (1o ยทo โˆ…) = โˆ…)
1513, 14ax-mp 5 . 2 (1o ยทo โˆ…) = โˆ…
16 omsuc 8525 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
1713, 16mpan 688 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o))
18 oveq1 7415 . . . . 5 ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) +o 1o) = (๐‘ฆ +o 1o))
1917, 18sylan9eq 2792 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o 1o))
20 oa1suc 8530 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2120adantr 481 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) = suc ๐‘ฆ)
2219, 21eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ On โˆง (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ) โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ)
2322ex 413 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo suc ๐‘ฆ) = suc ๐‘ฆ))
24 iuneq2 5016 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ)
25 uniiun 5061 . . . 4 โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ
2624, 25eqtr4di 2790 . . 3 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ)
27 vex 3478 . . . . 5 ๐‘ฅ โˆˆ V
28 omlim 8532 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
2913, 28mpan 688 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
3027, 29mpan 688 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ))
31 limuni 6425 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฅ)
3230, 31eqeq12d 2748 . . 3 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = โˆช ๐‘ฅ))
3326, 32imbitrrid 245 . 2 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (1o ยทo ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (1o ยทo ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
343, 6, 9, 12, 15, 23, 33tfinds 7848 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  โˆช cuni 4908  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  1oc1o 8458   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  oe1  8543  omword2  8573  om1om1r  42024  omabs2  42072  omcl2  42073
  Copyright terms: Public domain W3C validator