Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omiscard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omiscard 43505
Description: ω is a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
omiscard ω ∈ ran card

Proof of Theorem omiscard
StepHypRef Expression
1 omelon 9715 . 2 ω ∈ On
2 nnsdom 9723 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≺ ω)
3 sdomnen 9041 . . . 4 (𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
54rgen 3069 . 2 𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω
6 elrncard 43499 . 2 (ω ∈ ran card ↔ (ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω))
71, 5, 6mpbir2an 710 1 ω ∈ ran card
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2108  wral 3067   class class class wbr 5166  ran crn 5701  Oncon0 6395  ωcom 7903  cen 9000  csdm 9002  cardccrd 10004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator