Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omiscard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omiscard 42852
Description: ω is a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
omiscard ω ∈ ran card

Proof of Theorem omiscard
StepHypRef Expression
1 omelon 9640 . 2 ω ∈ On
2 nnsdom 9648 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≺ ω)
3 sdomnen 8976 . . . 4 (𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
54rgen 3057 . 2 𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω
6 elrncard 42846 . 2 (ω ∈ ran card ↔ (ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω))
71, 5, 6mpbir2an 708 1 ω ∈ ran card
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2098  wral 3055   class class class wbr 5141  ran crn 5670  Oncon0 6357  ωcom 7851  cen 8935  csdm 8937  cardccrd 9929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator