Theorem omiscard 44131

Description: ω is a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omiscard	⊢ ω ∈ ran card

Proof of Theorem omiscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9603	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		nnsdom 9611	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomnen 8966	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
5	4	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω
6		elrncard 44125	. 2 ⊢ (ω ∈ ran card ↔ (ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω))
7	1, 5, 6	mpbir2an 723	1 ⊢ ω ∈ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ran crn 5653  Oncon0 6350  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≺ csdm 8930  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913

This theorem is referenced by: (None)