Theorem omiscard 44310

Description: ω is a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omiscard	⊢ ω ∈ ran card

Proof of Theorem omiscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9625	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		nnsdom 9633	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomnen 8987	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ 𝑥 ≈ ω)
5	4	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω
6		elrncard 44304	. 2 ⊢ (ω ∈ ran card ↔ (ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ ω ¬ 𝑥 ≈ ω))
7	1, 5, 6	mpbir2an 724	1 ⊢ ω ∈ ran card

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   class class class wbr 5114  ran crn 5667  Oncon0 6367  ωcom 7871   ≈ cen 8949   ≺ csdm 8951  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7872  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944

This theorem is used by: (None)