Theorem nnsdom 9685

Description: A natural number is strictly dominated by the set of natural numbers. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdom	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9674	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		nnsdomg 9333	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  ωcom 7876   ≺ csdm 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974

This theorem is referenced by:  cardom  10017  infxpenlem  10044  infdjuabs  10237  cflim2  10294  canthp1lem2  10684  ctbssinf  36918  omiscard  43004