MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeulem2 8534
Description: Lemma for omeu 8536: uniqueness part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omeulem2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))

Proof of Theorem omeulem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ท โˆˆ On)
2 eloni 6331 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ On โ†’ Ord ๐ท)
3 ordsucss 7757 . . . . . 6 (Ord ๐ท โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ suc ๐ต โŠ† ๐ท))
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ suc ๐ต โŠ† ๐ท))
5 simp2l 1200 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
6 onsuc 7750 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
8 simp1l 1198 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
9 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
10 on0eln0 6377 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
118, 10syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
129, 11mpbird 257 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
13 omword 8521 . . . . . 6 (((suc ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (suc ๐ต โŠ† ๐ท โ†” (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท)))
147, 1, 8, 12, 13syl31anc 1374 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (suc ๐ต โŠ† ๐ท โ†” (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท)))
154, 14sylibd 238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท)))
16 omcl 8486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
178, 1, 16syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
18 simp3r 1203 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ด)
19 onelon 6346 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
208, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
21 oaword1 8503 . . . . . 6 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
22 sstr 3956 . . . . . . 7 (((๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท) โˆง (๐ด ยทo ๐ท) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
2322expcom 415 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ท) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2421, 23syl 17 . . . . 5 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2517, 20, 24syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2615, 25syld 47 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
27 simp2r 1201 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
28 onelon 6346 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
298, 27, 28syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
30 omcl 8486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
318, 5, 30syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
32 oaord 8498 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
3332biimpa 478 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
3429, 8, 31, 27, 33syl31anc 1374 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
35 omsuc 8476 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
368, 5, 35syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
3734, 36eleqtrrd 2837 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐ต))
38 ssel 3941 . . 3 ((๐ด ยทo suc ๐ต) โŠ† ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
3926, 37, 38syl6ci 71 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
40 simpr 486 . . . . 5 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ธ)
41 oaord 8498 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ)))
4240, 41imbitrid 243 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ)))
43 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐ต = ๐ท โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ท))
4443oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐ต = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
4544adantr 482 . . . . 5 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
4645eleq2d 2820 . . . 4 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4742, 46mpbidi 240 . . 3 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4829, 20, 31, 47syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4939, 48jaod 858 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  Ord word 6320  Oncon0 6321  suc csuc 6323  (class class class)co 7361   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omopth2  8535
  Copyright terms: Public domain W3C validator