MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeulem2 8581
Description: Lemma for omeu 8583: uniqueness part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omeulem2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))

Proof of Theorem omeulem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ท โˆˆ On)
2 eloni 6367 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ On โ†’ Ord ๐ท)
3 ordsucss 7802 . . . . . 6 (Ord ๐ท โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ suc ๐ต โІ ๐ท))
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ suc ๐ต โІ ๐ท))
5 simp2l 1196 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
6 onsuc 7795 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
8 simp1l 1194 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
9 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
10 on0eln0 6413 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
118, 10syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
129, 11mpbird 257 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
13 omword 8568 . . . . . 6 (((suc ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (suc ๐ต โІ ๐ท โ†” (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท)))
147, 1, 8, 12, 13syl31anc 1370 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (suc ๐ต โІ ๐ท โ†” (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท)))
154, 14sylibd 238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท)))
16 omcl 8534 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
178, 1, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
18 simp3r 1199 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ด)
19 onelon 6382 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
208, 18, 19syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
21 oaword1 8550 . . . . . 6 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
22 sstr 3985 . . . . . . 7 (((๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท) โˆง (๐ด ยทo ๐ท) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
2322expcom 413 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ท) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2421, 23syl 17 . . . . 5 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2517, 20, 24syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐ต) โІ (๐ด ยทo ๐ท) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2615, 25syld 47 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
27 simp2r 1197 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
28 onelon 6382 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
298, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
30 omcl 8534 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
318, 5, 30syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
32 oaord 8545 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)))
3332biimpa 476 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
3429, 8, 31, 27, 33syl31anc 1370 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
35 omsuc 8524 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
368, 5, 35syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
3734, 36eleqtrrd 2830 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐ต))
38 ssel 3970 . . 3 ((๐ด ยทo suc ๐ต) โІ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
3926, 37, 38syl6ci 71 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
40 simpr 484 . . . . 5 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ธ)
41 oaord 8545 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ)))
4240, 41imbitrid 243 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ)))
43 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐ต = ๐ท โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ท))
4443oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐ต = ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
4544adantr 480 . . . . 5 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
4645eleq2d 2813 . . . 4 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ธ) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4742, 46mpbidi 240 . . 3 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4829, 20, 31, 47syl3anc 1368 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
4939, 48jaod 856 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  (class class class)co 7404   +o coa 8461   ยทo comu 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-oadd 8468  df-omul 8469
This theorem is referenced by:  omopth2  8582
  Copyright terms: Public domain W3C validator