MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1 9675
Description: If ๐น is created by adding a single term (๐นโ€˜๐‘‹) = ๐‘Œ to ๐บ, where ๐‘‹ is larger than any element of the support of ๐บ, then ๐น is also a finitely supported function and it is assigned the value ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘ง where ๐‘ง is the value of ๐บ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfp1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
cantnfp1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
cantnfp1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
cantnfp1.s (๐œ‘ โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
cantnfp1.f ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ต   ๐‘ก,๐ด   ๐‘ก,๐‘†   ๐‘ก,๐บ   ๐œ‘,๐‘ก   ๐‘ก,๐‘Œ   ๐‘ก,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ก)

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)))
2 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 cantnfp1.x . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
6 eloni 6374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ On โ†’ Ord ๐‘‹)
7 ordirr 6382 . . . . . . . . . . . 12 (Ord ๐‘‹ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹)
9 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ V
10 dif1o 8499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†” ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ V โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…))
119, 10mpbiran 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)
12 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
13 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
14 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1513, 14, 2cantnfs 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐บ:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐บ finSupp โˆ…)))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐บ:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐บ finSupp โˆ…))
1716simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ตโŸถ๐ด)
1817ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn ๐ต)
19 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆ… โˆˆ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
21 elsuppfn 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)))
2218, 2, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)))
2311bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o)))
2524anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))))
2622, 25bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))))
27 cantnfp1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
2827sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
2926, 28sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
303, 29mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
3111, 30biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
3231necon1bd 2958 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…))
338, 32mpd 15 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…)
35 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ก = ๐‘‹)
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ก) = (๐บโ€˜๐‘‹))
37 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ = โˆ…)
3834, 36, 373eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ = (๐บโ€˜๐‘ก))
39 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ก) = (๐บโ€˜๐‘ก))
4038, 39ifeqda 4564 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)) = (๐บโ€˜๐‘ก))
4140mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
421, 41eqtrid 2784 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4317feqmptd 6960 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4443adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐บ = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4542, 44eqtr4d 2775 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น = ๐บ)
4612adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
4745, 46eqeltrd 2833 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
48 oecl 8536 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
4914, 2, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
5013, 14, 2cantnff 9668 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต):๐‘†โŸถ(๐ด โ†‘o ๐ต))
5150, 12ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต))
52 onelon 6389 . . . . . . 7 (((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต)) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
5349, 51, 52syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
5453adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
55 oa0r 8537 . . . . 5 (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
57 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…))
58 oecl 8536 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘‹ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
5914, 5, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
60 om0 8516 . . . . . . 7 ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…) = โˆ…)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…) = โˆ…)
6257, 61sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) = โˆ…)
6362oveq1d 7423 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
6445fveq2d 6895 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
6556, 63, 643eqtr4rd 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
6647, 65jca 512 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
6714adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
682adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
6912adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
703adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
71 cantnfp1.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
7271adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
7327adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
7413, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 1cantnfp1lem1 9672 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
75 onelon 6389 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
7614, 71, 75syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
77 on0eln0 6420 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
7978biimpar 478 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
80 eqid 2732 . . . 4 OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
81 eqid 2732 . . . 4 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
82 eqid 2732 . . . 4 OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))
83 eqid 2732 . . . 4 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐บโ€˜(OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐บโ€˜(OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
8413, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 1, 79, 80, 81, 82, 83cantnfp1lem3 9674 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
8574, 84jca 512 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
8666, 85pm2.61dane 3029 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   E cep 5579  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446  1oc1o 8458   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9682  cantnflem1  9683  cantnflem3  9685  cantnfresb  42064
  Copyright terms: Public domain W3C validator