MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1 9625
Description: If ๐น is created by adding a single term (๐นโ€˜๐‘‹) = ๐‘Œ to ๐บ, where ๐‘‹ is larger than any element of the support of ๐บ, then ๐น is also a finitely supported function and it is assigned the value ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘ง where ๐‘ง is the value of ๐บ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfp1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
cantnfp1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
cantnfp1.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
cantnfp1.s (๐œ‘ โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
cantnfp1.f ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ต   ๐‘ก,๐ด   ๐‘ก,๐‘†   ๐‘ก,๐บ   ๐œ‘,๐‘ก   ๐‘ก,๐‘Œ   ๐‘ก,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ก)

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)))
2 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
3 cantnfp1.x . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 onelon 6346 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
6 eloni 6331 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ On โ†’ Ord ๐‘‹)
7 ordirr 6339 . . . . . . . . . . . 12 (Ord ๐‘‹ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹)
9 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ V
10 dif1o 8450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†” ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ V โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…))
119, 10mpbiran 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)
12 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
13 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
14 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1513, 14, 2cantnfs 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐บ:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐บ finSupp โˆ…)))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐บ:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐บ finSupp โˆ…))
1716simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ตโŸถ๐ด)
1817ffnd 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn ๐ต)
19 0ex 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆ… โˆˆ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
21 elsuppfn 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)))
2218, 2, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…)))
2311bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†” (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o)))
2524anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))))
2622, 25bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o))))
27 cantnfp1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
2827sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐บ supp โˆ…) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
2926, 28sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
303, 29mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โˆˆ (V โˆ– 1o) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
3111, 30biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘‹) โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹))
3231necon1bd 2958 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…))
338, 32mpd 15 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = โˆ…)
35 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ก = ๐‘‹)
3635fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ก) = (๐บโ€˜๐‘‹))
37 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ = โˆ…)
3834, 36, 373eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ = (๐บโ€˜๐‘ก))
39 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โˆง ยฌ ๐‘ก = ๐‘‹) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ก) = (๐บโ€˜๐‘ก))
4038, 39ifeqda 4526 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก)) = (๐บโ€˜๐‘ก))
4140mpteq2dva 5209 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐บโ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
421, 41eqtrid 2785 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4317feqmptd 6914 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4443adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐บ = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐บโ€˜๐‘ก)))
4542, 44eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น = ๐บ)
4612adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
4745, 46eqeltrd 2834 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
48 oecl 8487 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
4914, 2, 48syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
5013, 14, 2cantnff 9618 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต):๐‘†โŸถ(๐ด โ†‘o ๐ต))
5150, 12ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต))
52 onelon 6346 . . . . . . 7 (((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต)) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
5349, 51, 52syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
5453adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On)
55 oa0r 8488 . . . . 5 (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ) โˆˆ On โ†’ (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
57 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘Œ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…))
58 oecl 8487 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘‹ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
5914, 5, 58syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
60 om0 8467 . . . . . . 7 ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…) = โˆ…)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo โˆ…) = โˆ…)
6257, 61sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) = โˆ…)
6362oveq1d 7376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)) = (โˆ… +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
6445fveq2d 6850 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))
6556, 63, 643eqtr4rd 2784 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
6647, 65jca 513 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
6714adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
682adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
6912adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘†)
703adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
71 cantnfp1.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
7271adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
7327adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐บ supp โˆ…) โŠ† ๐‘‹)
7413, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 1cantnfp1lem1 9622 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
75 onelon 6346 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
7614, 71, 75syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
77 on0eln0 6377 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
7978biimpar 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
80 eqid 2733 . . . 4 OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
81 eqid 2733 . . . 4 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
82 eqid 2733 . . . 4 OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))
83 eqid 2733 . . . 4 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐บโ€˜(OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐บโ€˜(OrdIso( E , (๐บ supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
8413, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 1, 79, 80, 81, 82, 83cantnfp1lem3 9624 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ)))
8574, 84jca 513 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
8666, 85pm2.61dane 3029 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  ifcif 4490   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   E cep 5540  dom cdm 5637  Ord word 6320  Oncon0 6321   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397  1oc1o 8409   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415   finSupp cfsupp 9311  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9632  cantnflem1  9633  cantnflem3  9635  cantnfresb  41706
  Copyright terms: Public domain W3C validator