MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omord 8519
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. Theorem 3.16 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omord ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omord
StepHypRef Expression
1 omord2 8518 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
21ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
32pm5.32rd 579 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
4 simpl 484 . . 3 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))
5 ne0i 4298 . . . . . . . 8 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…)
6 om0r 8489 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
7 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
87eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…))
96, 8syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = โˆ…))
109necon3d 2961 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
115, 10syl5 34 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
1211adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
13 on0eln0 6377 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
1413adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
1512, 14sylibrd 259 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
16153adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
1716ancld 552 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
184, 17impbid2 225 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
193, 18bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4286  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omlimcl  8529  oneo  8532  omord2lim  41682  omord2com  41684
  Copyright terms: Public domain W3C validator