MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflem4 9636
Description: Lemma for cantnf 9637. Complete the induction step of cantnflem3 9635. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
oemapval.t ๐‘‡ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅโ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต (๐‘ง โˆˆ ๐‘ค โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘ค) = (๐‘ฆโ€˜๐‘ค)))}
cantnf.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต))
cantnf.s (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† ran (๐ด CNF ๐ต))
cantnf.e (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
cantnf.x ๐‘‹ = โˆช โˆฉ {๐‘ โˆˆ On โˆฃ ๐ถ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘)}
cantnf.p ๐‘ƒ = (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ถ))
cantnf.y ๐‘Œ = (1st โ€˜๐‘ƒ)
cantnf.z ๐‘ = (2nd โ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
cantnflem4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ถ   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘‡,๐‘   ๐‘†,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ค,๐‘Œ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐ต(๐‘Ž,๐‘,๐‘‘)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐‘†(๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘)   ๐‘‹(๐‘)   ๐‘Œ(๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐‘(๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem cantnflem4
Dummy variables ๐‘” ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnf.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† ran (๐ด CNF ๐ต))
2 cantnfs.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
4 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘‡ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅโ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐ต (๐‘ง โˆˆ ๐‘ค โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘ค) = (๐‘ฆโ€˜๐‘ค)))}
6 cantnf.c . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต))
7 cantnf.e . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
83, 2, 4, 5, 6, 1, 7cantnflem2 9634 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‹ = ๐‘‹
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘Œ = ๐‘Œ
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ = ๐‘
129, 10, 113pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ = ๐‘‹ โˆง ๐‘Œ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ = ๐‘)
13 cantnf.x . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‹ = โˆช โˆฉ {๐‘ โˆˆ On โˆฃ ๐ถ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘)}
14 cantnf.p . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ƒ = (โ„ฉ๐‘‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)(๐‘‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ถ))
15 cantnf.y . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘Œ = (1st โ€˜๐‘ƒ)
16 cantnf.z . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ = (2nd โ€˜๐‘ƒ)
1713, 14, 15, 16oeeui 8553 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘) = ๐ถ) โ†” (๐‘‹ = ๐‘‹ โˆง ๐‘Œ = ๐‘Œ โˆง ๐‘ = ๐‘)))
1812, 17mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘) = ๐ถ))
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)) โˆง (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘) = ๐ถ))
2019simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)))
2120simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ On)
22 oecl 8487 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘‹ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
232, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On)
2420simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o))
2524eldifad 3926 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)
26 onelon 6346 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
272, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ On)
28 omcl 8486 . . . . . . . 8 (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) โˆˆ On)
2923, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) โˆˆ On)
3020simp3d 1145 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹))
31 onelon 6346 . . . . . . . 8 (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
3223, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
33 oaword1 8503 . . . . . . 7 ((((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) โŠ† (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘))
3429, 32, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) โŠ† (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘))
35 dif1o 8450 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
3635simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ (๐ด โˆ– 1o) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)
3724, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ…)
38 on0eln0 6377 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
3927, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ โ‰  โˆ…))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
41 omword1 8524 . . . . . . . 8 ((((๐ด โ†‘o ๐‘‹) โˆˆ On โˆง ๐‘Œ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โŠ† ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ))
4223, 27, 40, 41syl21anc 837 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘‹) โŠ† ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ))
4342, 30sseldd 3949 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ))
4434, 43sseldd 3949 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘))
4519simprd 497 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐‘‹) ยทo ๐‘Œ) +o ๐‘) = ๐ถ)
4644, 45eleqtrd 2836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ถ)
471, 46sseldd 3949 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต))
483, 2, 4cantnff 9618 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด CNF ๐ต):๐‘†โŸถ(๐ด โ†‘o ๐ต))
49 ffn 6672 . . . 4 ((๐ด CNF ๐ต):๐‘†โŸถ(๐ด โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) Fn ๐‘†)
50 fvelrnb 6907 . . . 4 ((๐ด CNF ๐ต) Fn ๐‘† โ†’ (๐‘ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘))
5148, 49, 503syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘))
5247, 51mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)
532adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
544adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
556adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ต))
561adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐ถ โŠ† ran (๐ด CNF ๐ต))
577adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
58 simprl 770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐‘” โˆˆ ๐‘†)
59 simprr 772 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)
60 eqid 2733 . . 3 (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐‘”โ€˜๐‘ก))) = (๐‘ก โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ก = ๐‘‹, ๐‘Œ, (๐‘”โ€˜๐‘ก)))
613, 53, 54, 5, 55, 56, 57, 13, 14, 15, 16, 58, 59, 60cantnflem3 9635 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐‘”) = ๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต))
6252, 61rexlimddv 3155 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ran (๐ด CNF ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  ifcif 4490  โŸจcop 4596  โˆช cuni 4869  โˆฉ cint 4911  {copab 5171   โ†ฆ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  Oncon0 6321  โ„ฉcio 6450   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  1oc1o 8409  2oc2o 8410   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnf  9637
  Copyright terms: Public domain W3C validator