MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa00 8565
Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. Lemma 3.10 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oa00 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00
StepHypRef Expression
1 on0eln0 6420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3 oaword1 8558 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
43sseld 3981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
52, 4sylbird 260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 ne0i 4334 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
75, 6syl6 35 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
87necon4d 2963 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9 on0eln0 6420 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
11 0elon 6418 . . . . . . . 8 ∅ ∈ On
12 oaord 8553 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1311, 12mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1413ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1510, 14bitr3d 281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
16 ne0i 4334 . . . . 5 ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
1715, 16biimtrdi 252 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
1817necon4d 2963 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
198, 18jcad 512 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20 oveq12 7421 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (∅ +o ∅))
21 oa0 8522 . . . 4 (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
2211, 21ax-mp 5 . . 3 (∅ +o ∅) = ∅
2320, 22eqtrdi 2787 . 2 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = ∅)
2419, 23impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  c0 4322  Oncon0 6364  (class class class)co 7412   +o coa 8469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-oadd 8476
This theorem is referenced by:  oalimcl  8566  oeoa  8603
  Copyright terms: Public domain W3C validator