Theorem oa00 8474

Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. Lemma 3.10 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oa00	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 6363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3		oaword1 8467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
4	3	sseld 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		ne0i 4288	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
7	5, 6	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
8	7	necon4d 2952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9		on0eln0 6363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11		0elon 6361	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
12		oaord 8462	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
13	11, 12	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
14	13	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
15	10, 14	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
16		ne0i 4288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
17	15, 16	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
18	17	necon4d 2952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
19	8, 18	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20		oveq12 7355	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (∅ +o ∅))
21		oa0 8431	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
22	11, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ +o ∅) = ∅
23	20, 22	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = ∅)
24	19, 23	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  Oncon0 6306  (class class class)co 7346   +_o coa 8382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-oadd 8389

This theorem is referenced by:  oalimcl  8475  oeoa  8512