Theorem oa00 8540

Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. Lemma 3.10 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oa00	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 6418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3		oaword1 8533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
4	3	sseld 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		ne0i 4294	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
7	5, 6	syl6 36	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
8	7	necon4d 2982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9		on0eln0 6418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11		0elon 6416	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
12		oaord 8528	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
13	11, 12	mp3an1 1477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
14	13	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
15	10, 14	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
16		ne0i 4294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
17	15, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
18	17	necon4d 2982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
19	8, 18	jcad 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20		oveq12 7419	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (∅ +o ∅))
21		oa0 8497	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
22	11, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ +o ∅) = ∅
23	20, 22	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = ∅)
24	19, 23	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +_o coa 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-oadd 8453

This theorem is referenced by:  oalimcl  8541  oeoa  8579