MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa00 8555
Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. Lemma 3.10 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oa00 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00
StepHypRef Expression
1 on0eln0 6411 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3 oaword1 8548 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
43sseld 3974 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
52, 4sylbird 260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 ne0i 4327 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
75, 6syl6 35 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
87necon4d 2956 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9 on0eln0 6411 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
11 0elon 6409 . . . . . . . 8 ∅ ∈ On
12 oaord 8543 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1311, 12mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1413ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1510, 14bitr3d 281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
16 ne0i 4327 . . . . 5 ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
1715, 16biimtrdi 252 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
1817necon4d 2956 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
198, 18jcad 512 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20 oveq12 7411 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (∅ +o ∅))
21 oa0 8512 . . . 4 (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
2211, 21ax-mp 5 . . 3 (∅ +o ∅) = ∅
2320, 22eqtrdi 2780 . 2 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = ∅)
2419, 23impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  c0 4315  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   +o coa 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466
This theorem is referenced by:  oalimcl  8556  oeoa  8593
  Copyright terms: Public domain W3C validator