Theorem oa00 8528

Description: An ordinal sum is zero iff both of its arguments are zero. Lemma 3.10 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oa00	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Proof of Theorem oa00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 6403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3		oaword1 8521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
4	3	sseld 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	sylbird 262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		ne0i 4293	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
7	5, 6	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
8	7	necon4d 2981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
9		on0eln0 6403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11		0elon 6401	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
12		oaord 8516	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
13	11, 12	mp3an1 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
14	13	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
15	10, 14	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
16		ne0i 4293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
17	15, 16	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
18	17	necon4d 2981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → 𝐵 = ∅))
19	8, 18	jcad 520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))
20		oveq12 7405	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (∅ +o ∅))
21		oa0 8485	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (∅ +o ∅) = ∅)
22	11, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ +o ∅) = ∅
23	20, 22	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = ∅)
24	19, 23	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  Oncon0 6346  (class class class)co 7396   +_o coa 8434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-oadd 8441

This theorem is referenced by:  oalimcl  8529  oeoa  8567