MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 7725
Description: A variant of onovuni 7724 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5626 . . . 4 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
213ad2ant2 1125 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
32oveq2d 6940 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)))
4 simp1 1127 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾𝑇)
5 mptexg 6758 . . . 4 (𝐾𝑇 → (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7378 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿) ∈ V → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
8 simp2 1128 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑧𝐾𝐿) = (𝑧𝐾𝐿)
109fmpt 6646 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
118, 10sylib 210 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
1211frnd 6300 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
13 dmmptg 5888 . . . . . 6 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
14133ad2ant2 1125 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
15 simp3 1129 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
1614, 15eqnetrd 3036 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
17 dm0rn0 5589 . . . . 5 (dom (𝑧𝐾𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) = ∅)
1817necon3bii 3021 . . . 4 (dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
1916, 18sylib 210 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
20 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21 onovuni.2 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
2220, 21onovuni 7724 . . 3 ((ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
237, 12, 19, 22syl3anc 1439 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24 oveq2 6932 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
2524eleq2d 2845 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
269, 25rexrnmpt 6635 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27263ad2ant2 1125 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28 eliun 4759 . . . 4 (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29 eliun 4759 . . . 4 (𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3027, 28, 293bitr4g 306 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3130eqrdv 2776 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
323, 23, 313eqtrd 2818 1 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792  c0 4141   cuni 4673   ciun 4755  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  Oncon0 5978  Lim wlim 5979  wf 6133  (class class class)co 6924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927
This theorem is referenced by:  oeoalem  7962  oeoelem  7964
  Copyright terms: Public domain W3C validator