Theorem onoviun 8383

Description: A variant of onovuni 8382 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
onovuni.1	⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))

Assertion

Ref	Expression
onoviun	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5978	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
2	1	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
3	2	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ 𝑇)
5		mptexg 7241	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6		rnexg 7924	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
10	9	fmpt 7130	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
11	8, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
12	11	frnd 6744	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On)
13		dmmptg 6262	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
16	14, 15	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5935	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅)
18	17	necon3bii 2993	. . . 4 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
20		onovuni.1	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21		onovuni.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
22	20, 21	onovuni 8382	. . 3 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
23	7, 12, 19, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
25	24	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
26	9, 25	rexrnmptw 7115	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27	26	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28		eliun 4995	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29		eliun 4995	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
31	30	eqrdv 2735	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
32	3, 23, 31	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  oeoalem  8634  oeoelem  8636