MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem onoviun 8345
Description: A variant of onovuni 8344 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 β†’ (𝐴𝐹𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑦 (𝐴𝐹π‘₯))
onovuni.2 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (𝐴𝐹π‘₯) βŠ† (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)
Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5962 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
213ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
32oveq2d 7427 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ 𝑇)
5 mptexg 7224 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝑇 β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7897 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
109fmpt 7110 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟢On)
118, 10sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟢On)
1211frnd 6724 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) βŠ† On)
13 dmmptg 6240 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14133ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15 simp3 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 β‰  βˆ…)
1614, 15eqnetrd 3006 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
17 dm0rn0 5923 . . . . 5 (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = βˆ… ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = βˆ…)
1817necon3bii 2991 . . . 4 (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
1916, 18sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
20 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 β†’ (𝐴𝐹𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑦 (𝐴𝐹π‘₯))
21 onovuni.2 . . . 4 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (𝐴𝐹π‘₯) βŠ† (𝐴𝐹𝑦))
2220, 21onovuni 8344 . . 3 ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) βŠ† On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯))
237, 12, 19, 22syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯))
24 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (𝐴𝐹π‘₯) = (𝐴𝐹𝐿))
2524eleq2d 2817 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
269, 25rexrnmptw 7095 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27263ad2ant2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28 eliun 5000 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯))
29 eliun 5000 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3027, 28, 293bitr4g 313 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3130eqrdv 2728 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
323, 23, 313eqtrd 2774 1 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414
This theorem is referenced by:  oeoalem  8598  oeoelem  8600
  Copyright terms: Public domain W3C validator