Theorem onoviun 8389

Description: A variant of onovuni 8388 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
onovuni.1	⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))

Assertion

Ref	Expression
onoviun	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5962	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
2	1	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
3	2	oveq2d 7467	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ 𝑇)
5		mptexg 7258	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6		rnexg 7948	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
7	4, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
10	9	fmpt 7142	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
11	8, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
12	11	frnd 6748	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On)
13		dmmptg 6262	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
16	14, 15	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5918	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅)
18	17	necon3bii 3011	. . . 4 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
20		onovuni.1	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21		onovuni.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
22	20, 21	onovuni 8388	. . 3 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
23	7, 12, 19, 22	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
25	24	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
26	9, 25	rexrnmptw 7127	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27	26	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28		eliun 4960	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29		eliun 4960	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
30	27, 28, 29	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
31	30	eqrdv 2761	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
32	3, 23, 31	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ran crn 5659  Oncon0 6388  Lim wlim 6389  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454

This theorem is used by:  oeoalem  8643  oeoelem  8645