Theorem onoviun 8174

Description: A variant of onovuni 8173 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
onovuni.1	⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))

Assertion

Ref	Expression
onoviun	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5873	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
2	1	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
3	2	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ 𝑇)
5		mptexg 7097	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6		rnexg 7751	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
10	9	fmpt 6984	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
11	8, 10	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
12	11	frnd 6608	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On)
13		dmmptg 6145	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14	13	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
16	14, 15	eqnetrd 3011	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5834	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅)
18	17	necon3bii 2996	. . . 4 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
20		onovuni.1	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21		onovuni.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
22	20, 21	onovuni 8173	. . 3 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
23	7, 12, 19, 22	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
25	24	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
26	9, 25	rexrnmptw 6971	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27	26	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28		eliun 4928	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29		eliun 4928	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
31	30	eqrdv 2736	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
32	3, 23, 31	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  oeoalem  8427  oeoelem  8429