Theorem onoviun 8273

Description: A variant of onovuni 8272 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
onovuni.1	⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))

Assertion

Ref	Expression
onoviun	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5910	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
2	1	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
3	2	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ 𝑇)
5		mptexg 7165	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6		rnexg 7842	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8		simp2 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
10	9	fmpt 7051	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
11	8, 10	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
12	11	frnd 6663	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On)
13		dmmptg 6193	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14	13	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
16	14, 15	eqnetrd 3001	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5866	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅)
18	17	necon3bii 2986	. . . 4 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
20		onovuni.1	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21		onovuni.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
22	20, 21	onovuni 8272	. . 3 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
23	7, 12, 19, 22	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
25	24	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
26	9, 25	rexrnmptw 7036	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27	26	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28		eliun 4925	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29		eliun 4925	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
30	27, 28, 29	3bitr4g 315	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
31	30	eqrdv 2737	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
32	3, 23, 31	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619  Oncon0 6310  Lim wlim 6311  ⟶wf 6481  (class class class)co 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  oeoalem  8522  oeoelem  8524