MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 8381
Description: A variant of onovuni 8380 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5980 . . . 4 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
213ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
32oveq2d 7446 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)))
4 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾𝑇)
5 mptexg 7240 . . . 4 (𝐾𝑇 → (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7924 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿) ∈ V → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
8 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑧𝐾𝐿) = (𝑧𝐾𝐿)
109fmpt 7129 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
118, 10sylib 218 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
1211frnd 6744 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
13 dmmptg 6263 . . . . . 6 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
14133ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
15 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
1614, 15eqnetrd 3005 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
17 dm0rn0 5937 . . . . 5 (dom (𝑧𝐾𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) = ∅)
1817necon3bii 2990 . . . 4 (dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
1916, 18sylib 218 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
20 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21 onovuni.2 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
2220, 21onovuni 8380 . . 3 ((ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
237, 12, 19, 22syl3anc 1370 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
2524eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
269, 25rexrnmptw 7114 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27263ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28 eliun 4999 . . . 4 (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29 eliun 4999 . . . 4 (𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3027, 28, 293bitr4g 314 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3130eqrdv 2732 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
323, 23, 313eqtrd 2778 1 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338   cuni 4911   ciun 4995  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  Oncon0 6385  Lim wlim 6386  wf 6558  (class class class)co 7430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433
This theorem is referenced by:  oeoalem  8632  oeoelem  8634
  Copyright terms: Public domain W3C validator