Theorem onoviun 8399

Description: A variant of onovuni 8398 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
onovuni.1	⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))

Assertion

Ref	Expression
onoviun	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun3g 5990	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
2	1	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = ∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
3	2	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ 𝑇)
5		mptexg 7258	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6		rnexg 7942	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
10	9	fmpt 7144	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
11	8, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟶On)
12	11	frnd 6755	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On)
13		dmmptg 6273	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
16	14, 15	eqnetrd 3014	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5949	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = ∅)
18	17	necon3bii 2999	. . . 4 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅)
20		onovuni.1	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
21		onovuni.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
22	20, 21	onovuni 8398	. . 3 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
23	7, 12, 19, 22	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
24		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
25	24	eleq2d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
26	9, 25	rexrnmptw 7129	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27	26	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28		eliun 5019	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
29		eliun 5019	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
31	30	eqrdv 2738	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
32	3, 23, 31	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹∪ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ran crn 5701  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  oeoalem  8652  oeoelem  8654