MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 8342
Description: A variant of onovuni 8341 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 β†’ (𝐴𝐹𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑦 (𝐴𝐹π‘₯))
onovuni.2 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (𝐴𝐹π‘₯) βŠ† (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5963 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
213ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿 = βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿))
32oveq2d 7424 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)))
4 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ 𝑇)
5 mptexg 7222 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝑇 β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7894 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V)
8 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)
109fmpt 7109 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟢On)
118, 10sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿):𝐾⟢On)
1211frnd 6725 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) βŠ† On)
13 dmmptg 6241 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
14133ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = 𝐾)
15 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 β‰  βˆ…)
1614, 15eqnetrd 3008 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
17 dm0rn0 5924 . . . . 5 (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = βˆ… ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) = βˆ…)
1817necon3bii 2993 . . . 4 (dom (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
1916, 18sylib 217 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…)
20 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 β†’ (𝐴𝐹𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑦 (𝐴𝐹π‘₯))
21 onovuni.2 . . . 4 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (𝐴𝐹π‘₯) βŠ† (𝐴𝐹𝑦))
2220, 21onovuni 8341 . . 3 ((ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) βŠ† On ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿) β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯))
237, 12, 19, 22syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯))
24 oveq2 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (𝐴𝐹π‘₯) = (𝐴𝐹𝐿))
2524eleq2d 2819 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
269, 25rexrnmptw 7096 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
27263ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28 eliun 5001 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)𝑀 ∈ (𝐴𝐹π‘₯))
29 eliun 5001 . . . 4 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐾 𝑀 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3027, 28, 293bitr4g 313 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3130eqrdv 2730 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ 𝐿)(𝐴𝐹π‘₯) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
323, 23, 313eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴𝐹βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 𝐿) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411
This theorem is referenced by:  oeoalem  8595  oeoelem  8597
  Copyright terms: Public domain W3C validator