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Theorem onnseq 8295
Description: There are no length Ο‰ decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 9603 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onnseq ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem onnseq
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 7714 . . . . 5 E We On
2 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜βˆ…))
32eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ On ↔ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ On))
4 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘§))
54eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ On ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ On))
6 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜suc 𝑧))
76eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = suc 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ On ↔ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ On))
8 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜βˆ…) ∈ On)
9 suceq 6388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ suc π‘₯ = suc 𝑧)
109fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜suc π‘₯) = (πΉβ€˜suc 𝑧))
11 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
1210, 11eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ (πΉβ€˜π‘§)))
1312rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ (πΉβ€˜π‘§)))
14 onelon 6347 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ On ∧ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ On)
1514expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ On β†’ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ On))
1613, 15syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ On β†’ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ On)))
1716adantld 492 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ On β†’ (πΉβ€˜suc 𝑧) ∈ On)))
183, 5, 7, 8, 17finds2 7842 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ On))
1918com12 32 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ On))
2019ralrimiv 3143 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ On)
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
2221fmpt 7063 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ On ↔ (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)):Ο‰βŸΆOn)
2320, 22sylib 217 . . . . . 6 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)):Ο‰βŸΆOn)
2423frnd 6681 . . . . 5 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) βŠ† On)
25 peano1 7830 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ Ο‰
2623fdmd 6684 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ dom (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = Ο‰)
2725, 26eleqtrrid 2845 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ… ∈ dom (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
2827ne0d 4300 . . . . . 6 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ dom (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…)
29 dm0rn0 5885 . . . . . . 7 (dom (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = βˆ…)
3029necon3bii 2997 . . . . . 6 (dom (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…)
3128, 30sylib 217 . . . . 5 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…)
32 wefrc 5632 . . . . 5 (( E We On ∧ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) βŠ† On ∧ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦))(ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = βˆ…)
331, 24, 31, 32mp3an2i 1467 . . . 4 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦))(ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = βˆ…)
34 fvex 6860 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
3534rgenw 3069 . . . . 5 βˆ€π‘€ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
36 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘€))
3736cbvmptv 5223 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑀 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘€))
38 ineq2 4171 . . . . . . 7 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)))
3938eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ ((ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = βˆ… ↔ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…))
4037, 39rexrnmptw 7050 . . . . 5 (βˆ€π‘€ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜π‘€) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦))(ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ ∈ Ο‰ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…))
4135, 40ax-mp 5 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦))(ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ 𝑧) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ ∈ Ο‰ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…)
4233, 41sylib 217 . . 3 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ Ο‰ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…)
43 peano2 7832 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑀 ∈ Ο‰)
4443adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ suc 𝑀 ∈ Ο‰)
45 eqid 2737 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc 𝑀)
46 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = suc 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜suc 𝑀))
4746rspceeqv 3600 . . . . . . . 8 ((suc 𝑀 ∈ Ο‰ ∧ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜suc 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜π‘¦))
4844, 45, 47sylancl 587 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜π‘¦))
49 fvex 6860 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ V
5021elrnmpt 5916 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ V β†’ ((πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜π‘¦)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc 𝑀) = (πΉβ€˜π‘¦))
5248, 51sylibr 233 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
53 suceq 6388 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ suc π‘₯ = suc 𝑀)
5453fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜suc π‘₯) = (πΉβ€˜suc 𝑀))
55 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘€))
5654, 55eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ (πΉβ€˜π‘€)))
5756rspccva 3583 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ (πΉβ€˜π‘€))
5857adantll 713 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ (πΉβ€˜π‘€))
59 inelcm 4429 . . . . . 6 (((πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (πΉβ€˜suc 𝑀) ∈ (πΉβ€˜π‘€)) β†’ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) β‰  βˆ…)
6052, 58, 59syl2anc 585 . . . . 5 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) β‰  βˆ…)
6160neneqd 2949 . . . 4 ((((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑀 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…)
6261nrexdv 3147 . . 3 (((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘€ ∈ Ο‰ (ran (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∩ (πΉβ€˜π‘€)) = βˆ…)
6342, 62pm2.65da 816 . 2 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
64 rexnal 3104 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ Ο‰ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
6563, 64sylibr 233 1 ((πΉβ€˜βˆ…) ∈ On β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ Β¬ (πΉβ€˜suc π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   ↦ cmpt 5193   E cep 5541   We wwe 5592  dom cdm 5638  ran crn 5639  Oncon0 6322  suc csuc 6324  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Ο‰com 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-om 7808
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