MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmres 22804
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
lmres.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
lmres.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
lmres (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 toponmax 22428 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
4 cnex 11191 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
5 ssid 4005 . . . . . . 7 𝑋 βŠ† 𝑋
6 uzssz 12843 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
7 zsscn 12566 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„‚
86, 7sstri 3992 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
9 pmss12g 8863 . . . . . . 7 (((𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ β„‚ ∈ V)) β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
105, 8, 9mpanl12 701 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
113, 4, 10sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
12 fvex 6905 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∈ V
13 lmres.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
14 pmresg 8864 . . . . . 6 (((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
1611, 15sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1716, 132thd 265 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1918uztrn2 12841 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
20 dmres 6004 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ dom 𝐹)
2120elin2 4198 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
2221baib 537 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ↔ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
23 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2522, 24anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2726ralbidva 3176 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2827rexbiia 3093 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2928imbi2i 336 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
3029ralbii 3094 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
3130a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
3217, 313anbi13d 1439 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
33 lmres.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
341, 18, 33lmbr2 22763 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
351, 18, 33lmbr2 22763 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
3632, 34, 353bitr4rd 312 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-top 22396  df-topon 22413  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  esumcvg  33084  xlimres  44537
  Copyright terms: Public domain W3C validator