MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmres 21900
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
lmres.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
lmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 toponmax 21526 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
4 cnex 10610 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 ssid 3987 . . . . . . 7 𝑋𝑋
6 uzssz 12256 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7 zsscn 11981 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3974 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
9 pmss12g 8425 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋 ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
105, 8, 9mpanl12 700 . . . . . 6 ((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
113, 4, 10sylancl 588 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
12 fvex 6676 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
13 lmres.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
14 pmresg 8426 . . . . . 6 (((ℤ𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1512, 13, 14sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1611, 15sseldd 3966 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ))
1716, 132thd 267 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)))
18 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918uztrn2 12254 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
20 dmres 5868 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑀) ∩ dom 𝐹)
2120elin2 4172 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
2221baib 538 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23 fvres 6682 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2423eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2522, 24anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2726ralbidva 3194 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2827rexbiia 3244 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2928imbi2i 338 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3029ralbii 3163 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3217, 313anbi13d 1432 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
33 lmres.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
341, 18, 33lmbr2 21859 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
351, 18, 33lmbr2 21859 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
3632, 34, 353bitr4rd 314 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7148  pm cpm 8399  cc 10527  cz 11973  cuz 12235  TopOnctopon 21510  𝑡clm 21826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236  df-top 21494  df-topon 21511  df-lm 21829
This theorem is referenced by:  esumcvg  31338  xlimres  42091
  Copyright terms: Public domain W3C validator