MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmres 22733
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
lmres.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
lmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 toponmax 22357 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
4 cnex 11173 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 ssid 4000 . . . . . . 7 𝑋𝑋
6 uzssz 12825 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7 zsscn 12548 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3987 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
9 pmss12g 8846 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋 ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
105, 8, 9mpanl12 700 . . . . . 6 ((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
113, 4, 10sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
12 fvex 6891 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
13 lmres.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
14 pmresg 8847 . . . . . 6 (((ℤ𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1611, 15sseldd 3979 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ))
1716, 132thd 264 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)))
18 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918uztrn2 12823 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
20 dmres 5995 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑀) ∩ dom 𝐹)
2120elin2 4193 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
2221baib 536 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23 fvres 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2423eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2522, 24anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2726ralbidva 3174 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2827rexbiia 3091 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2928imbi2i 335 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3029ralbii 3092 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3217, 313anbi13d 1438 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
33 lmres.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
341, 18, 33lmbr2 22692 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
351, 18, 33lmbr2 22692 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
3632, 34, 353bitr4rd 311 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3944   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cres 5671  cfv 6532  (class class class)co 7393  pm cpm 8804  cc 11090  cz 12540  cuz 12804  TopOnctopon 22341  𝑡clm 22659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-neg 11429  df-z 12541  df-uz 12805  df-top 22325  df-topon 22342  df-lm 22662
This theorem is referenced by:  esumcvg  32915  xlimres  44310
  Copyright terms: Public domain W3C validator