MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmres 21433
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
lmres.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
lmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 toponmax 21059 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
4 cnex 10305 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 ssid 3819 . . . . . . 7 𝑋𝑋
6 uzssz 11950 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7 zsscn 11674 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3807 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
9 pmss12g 8122 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋 ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
105, 8, 9mpanl12 694 . . . . . 6 ((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
113, 4, 10sylancl 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
12 fvex 6424 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
13 lmres.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
14 pmresg 8123 . . . . . 6 (((ℤ𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1512, 13, 14sylancr 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1611, 15sseldd 3799 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ))
1716, 132thd 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)))
18 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918uztrn2 11948 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
20 dmres 5629 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑀) ∩ dom 𝐹)
2120elin2 3999 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
2221baib 532 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23 fvres 6430 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2423eleq1d 2863 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2522, 24anbi12d 625 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2726ralbidva 3166 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2827rexbiia 3221 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2928imbi2i 328 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3029ralbii 3161 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3217, 313anbi13d 1563 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
33 lmres.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
341, 18, 33lmbr2 21392 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
351, 18, 33lmbr2 21392 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
3632, 34, 353bitr4rd 304 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  wss 3769   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  pm cpm 8096  cc 10222  cz 11666  cuz 11930  TopOnctopon 21043  𝑡clm 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-top 21027  df-topon 21044  df-lm 21362
This theorem is referenced by:  esumcvg  30664  xlimres  40791
  Copyright terms: Public domain W3C validator