Theorem lmres 23329

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmres.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
lmres.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmres.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		toponmax 22953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4		cnex 11265	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5		ssid 4031	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
6		uzssz 12924	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7		zsscn 12647	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 4018	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
9		pmss12g 8927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
10	5, 8, 9	mpanl12 701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
11	3, 4, 10	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
12		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
13		lmres.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
14		pmresg 8928	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
16	11, 15	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
17	16, 13	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19	18	uztrn2 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		dmres 6041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ dom 𝐹)
21	20	elin2 4226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
22	21	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23		fvres 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
24	23	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
25	22, 24	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
27	26	ralbidva 3182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
28	27	rexbiia 3098	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
29	28	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
30	29	ralbii 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
32	17, 31	3anbi13d 1438	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
33		lmres.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34	1, 18, 33	lmbr2 23288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
35	1, 18, 33	lmbr2 23288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
36	32, 34, 35	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  TopOnctopon 22937  ⇝_𝑡clm 23255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-top 22921  df-topon 22938  df-lm 23258

This theorem is referenced by:  esumcvg  34050  xlimres  45742