Theorem lmres 23323

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmres.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
lmres.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmres.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		toponmax 22947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4		cnex 11233	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5		ssid 4017	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
6		uzssz 12896	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7		zsscn 12618	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 4004	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
9		pmss12g 8907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
10	5, 8, 9	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
11	3, 4, 10	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
12		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
13		lmres.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
14		pmresg 8908	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
16	11, 15	sseldd 3995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
17	16, 13	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
18		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19	18	uztrn2 12894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		dmres 6031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ dom 𝐹)
21	20	elin2 4212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
22	21	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23		fvres 6925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
24	23	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
25	22, 24	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
27	26	ralbidva 3173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
28	27	rexbiia 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
29	28	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
30	29	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
32	17, 31	3anbi13d 1437	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
33		lmres.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34	1, 18, 33	lmbr2 23282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
35	1, 18, 33	lmbr2 23282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
36	32, 34, 35	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_pm cpm 8865  ℂcc 11150  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  TopOnctopon 22931  ⇝_𝑡clm 23249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-top 22915  df-topon 22932  df-lm 23252

This theorem is referenced by:  esumcvg  34066  xlimres  45776