Theorem lmres 23340

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmres.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
lmres.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmres.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		toponmax 22966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4		cnex 11151	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5		ssid 3958	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
6		uzssz 12857	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7		zsscn 12573	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
9		pmss12g 8847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
10	5, 8, 9	mpanl12 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
11	3, 4, 10	sylancl 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
12		fvex 6876	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
13		lmres.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
14		pmresg 8848	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
15	12, 13, 14	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
16	11, 15	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
17	16, 13	2thd 267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
18		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19	18	uztrn2 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		dmres 5996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ dom 𝐹)
21	20	elin2 4155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
22	21	baib 543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23		fvres 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
24	23	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
25	22, 24	anbi12d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
27	26	ralbidva 3182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
28	27	rexbiia 3106	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
29	28	imbi2i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
30	29	ralbii 3107	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
32	17, 31	3anbi13d 1458	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
33		lmres.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34	1, 18, 33	lmbr2 23299	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
35	1, 18, 33	lmbr2 23299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
36	32, 34, 35	3bitr4rd 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_pm cpm 8804  ℂcc 11068  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  TopOnctopon 22950  ⇝_𝑡clm 23266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-top 22934  df-topon 22951  df-lm 23269

This theorem is referenced by:  esumcvg  34344  xlimres  46359