MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnres 25973
Description: The restriction of a 𝓑C𝑛 function is 𝓑C𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁))

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁))
2 ssid 4006 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
3 elfvdm 6943 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁) → 𝑁 ∈ dom (𝓑C𝑛‘ℂ))
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ dom (𝓑C𝑛‘ℂ))
5 fncpn 25969 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0)
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0
7 fndm 6671 . . . . . . . 8 ((𝓑C𝑛‘ℂ) Fn ℕ0 → dom (𝓑C𝑛‘ℂ) = ℕ0)
86, 7mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → dom (𝓑C𝑛‘ℂ) = ℕ0)
94, 8eleqtrd 2843 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 elcpn 25970 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
112, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
121, 11mpbid 232 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
1312simpld 494 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
14 pmresg 8910 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1513, 14syldan 591 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 simpl 482 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1712simprd 495 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
18 cncff 24919 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
2019fdmd 6746 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹)
21 dvnres 25967 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
2216, 13, 9, 20, 21syl31anc 1375 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
23 resres 6010 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹))
24 rescom 6020 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
2523, 24eqtr3i 2767 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
26 ffn 6736 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹)
27 fnresdm 6687 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2819, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2928reseq1d 5996 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
3025, 29eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
31 inss2 4238 . . . . . 6 (𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
32 rescncf 24923 . . . . . 6 ((𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)))
3331, 17, 32mpsyl 68 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
3430, 33eqeltrrd 2842 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
35 dmres 6030 . . . . 5 dom (𝐹𝑆) = (𝑆 ∩ dom 𝐹)
3635oveq1i 7441 . . . 4 (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ) = ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)
3734, 36eleqtrrdi 2852 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
3822, 37eqeltrd 2841 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
39 recnprss 25939 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
40 elcpn 25970 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4139, 9, 40syl2an2r 685 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4215, 38, 41mpbir2and 713 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑C𝑛‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  {cpr 4628  dom cdm 5685  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  cr 11154  0cn0 12526  cnccncf 24902   D𝑛 cdvn 25899  𝓑C𝑛ccpn 25900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-cpn 25904
This theorem is referenced by:  aalioulem3  26376
  Copyright terms: Public domain W3C validator