MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnres 25324
Description: The restriction of a 𝓑C𝑛 function is 𝓑C𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘))

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘))
2 ssid 3970 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
3 elfvdm 6883 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
43adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
5 fncpn 25320 . . . . . . . . 9 (β„‚ βŠ† β„‚ β†’ (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0)
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0
7 fndm 6609 . . . . . . . 8 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0 β†’ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) = β„•0)
86, 7mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) = β„•0)
94, 8eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 elcpn 25321 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
112, 9, 10sylancr 588 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
121, 11mpbid 231 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)))
1312simpld 496 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
14 pmresg 8814 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1513, 14syldan 592 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
16 simpl 484 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1712simprd 497 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
18 cncff 24279 . . . . . 6 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚)
2019fdmd 6683 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ dom ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = dom 𝐹)
21 dvnres 25318 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ dom ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = dom 𝐹) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
2216, 13, 9, 20, 21syl31anc 1374 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
23 resres 5954 . . . . . . 7 ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) β†Ύ dom 𝐹) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹))
24 rescom 5967 . . . . . . 7 ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) β†Ύ dom 𝐹) = ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆)
2523, 24eqtr3i 2763 . . . . . 6 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆)
26 ffn 6672 . . . . . . . 8 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) Fn dom 𝐹)
27 fnresdm 6624 . . . . . . . 8 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) Fn dom 𝐹 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2819, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2928reseq1d 5940 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
3025, 29eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
31 inss2 4193 . . . . . 6 (𝑆 ∩ dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹
32 rescncf 24283 . . . . . 6 ((𝑆 ∩ dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚)))
3331, 17, 32mpsyl 68 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚))
3430, 33eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚))
35 dmres 5963 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom 𝐹)
3635oveq1i 7371 . . . 4 (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚) = ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚)
3734, 36eleqtrrdi 2845 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))
3822, 37eqeltrd 2834 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))
39 recnprss 25291 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
40 elcpn 25321 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))))
4139, 9, 40syl2an2r 684 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))))
4215, 38, 41mpbir2and 712 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  {cpr 4592  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„•0cn0 12421  β€“cnβ†’ccncf 24262   D𝑛 cdvn 25251  π“‘C𝑛ccpn 25252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-dvn 25255  df-cpn 25256
This theorem is referenced by:  aalioulem3  25717
  Copyright terms: Public domain W3C validator