MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnres 25453
Description: The restriction of a 𝓑C𝑛 function is 𝓑C𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘))

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘))
2 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
3 elfvdm 6928 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
43adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚))
5 fncpn 25449 . . . . . . . . 9 (β„‚ βŠ† β„‚ β†’ (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0)
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0
7 fndm 6652 . . . . . . . 8 ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) Fn β„•0 β†’ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) = β„•0)
86, 7mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ dom (𝓑Cπ‘›β€˜β„‚) = β„•0)
94, 8eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 elcpn 25450 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
112, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))))
121, 11mpbid 231 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚)))
1312simpld 495 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
14 pmresg 8863 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1513, 14syldan 591 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
16 simpl 483 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1712simprd 496 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚))
18 cncff 24408 . . . . . 6 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚)
2019fdmd 6728 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ dom ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = dom 𝐹)
21 dvnres 25447 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ dom ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = dom 𝐹) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
2216, 13, 9, 20, 21syl31anc 1373 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
23 resres 5994 . . . . . . 7 ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) β†Ύ dom 𝐹) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹))
24 rescom 6007 . . . . . . 7 ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) β†Ύ dom 𝐹) = ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆)
2523, 24eqtr3i 2762 . . . . . 6 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆)
26 ffn 6717 . . . . . . . 8 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) Fn dom 𝐹)
27 fnresdm 6669 . . . . . . . 8 (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) Fn dom 𝐹 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2819, 26, 273syl 18 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) = ((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
2928reseq1d 5980 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
3025, 29eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆))
31 inss2 4229 . . . . . 6 (𝑆 ∩ dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹
32 rescncf 24412 . . . . . 6 ((𝑆 ∩ dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹 β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (dom 𝐹–cnβ†’β„‚) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚)))
3331, 17, 32mpsyl 68 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚))
3430, 33eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚))
35 dmres 6003 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom 𝐹)
3635oveq1i 7418 . . . 4 (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚) = ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cnβ†’β„‚)
3734, 36eleqtrrdi 2844 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (((β„‚ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) β†Ύ 𝑆) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))
3822, 37eqeltrd 2833 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))
39 recnprss 25420 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
40 elcpn 25450 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))))
4139, 9, 40syl2an2r 683 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹 β†Ύ 𝑆))β€˜π‘) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ 𝑆)–cnβ†’β„‚))))
4215, 38, 41mpbir2and 711 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜β„‚)β€˜π‘)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆) ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„•0cn0 12471  β€“cnβ†’ccncf 24391   D𝑛 cdvn 25380  π“‘C𝑛ccpn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-dvn 25384  df-cpn 25385
This theorem is referenced by:  aalioulem3  25846
  Copyright terms: Public domain W3C validator