Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caures 36269
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caures.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
caures.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
caures.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
Assertion
Ref Expression
caures (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (Cauβ€˜π·)))

Proof of Theorem caures
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21uztrn2 12790 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
32adantll 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
43biantrurd 534 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹)))
5 dmres 5963 . . . . . . . . 9 dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
65elin2 4161 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
74, 6bitr4di 289 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍)))
873anbi1d 1441 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
98ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
109rexbidva 3170 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
1110ralbidv 3171 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
12 caures.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1312biantrurd 534 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
14 caures.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 elfvdm 6883 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom Met)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom Met)
17 cnex 11140 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
18 ssid 3970 . . . . . . 7 𝑋 βŠ† 𝑋
19 uzssz 12792 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
20 zsscn 12515 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† β„‚
2119, 20sstri 3957 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
221, 21eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„‚
23 pmss12g 8813 . . . . . . 7 (((𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑍 βŠ† β„‚) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ β„‚ ∈ V)) β†’ (𝑋 ↑pm 𝑍) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
2418, 22, 23mpanl12 701 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑋 ↑pm 𝑍) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
2516, 17, 24sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ↑pm 𝑍) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
261fvexi 6860 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
27 pmresg 8814 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
2826, 12, 27sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
2925, 28sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
3029biantrurd 534 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
3111, 13, 303bitr3d 309 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
32 metxmet 23710 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3314, 32syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
34 caures.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
35 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
36 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
371, 33, 34, 35, 36iscau4 24666 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
38 fvres 6865 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3938adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
40 fvres 6865 . . . 4 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍)β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
4140adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍)β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
421, 33, 34, 39, 41iscau4 24666 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
4331, 37, 423bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ (Cauβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator