Theorem caures 37746

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Assertion

Ref	Expression
caures	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5		dmres 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
6	5	elin2 4212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
7	4, 6	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍)))
8	7	3anbi1d 1439	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
12		caures.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13	12	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
14		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		elfvdm 6943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom Met)
17		cnex 11233	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
18		ssid 4017	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
19		uzssz 12896	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
20		zsscn 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
22	1, 21	eqsstri 4029	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
23		pmss12g 8907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
24	18, 22, 23	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
25	16, 17, 24	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
26	1	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
27		pmresg 8908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
28	26, 12, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
29	25, 28	sseldd 3995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
30	29	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
31	11, 13, 30	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
32		metxmet 24359	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33	14, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34		caures.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
37	1, 33, 34, 35, 36	iscau4 25326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
38		fvres 6925	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
39	38	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40		fvres 6925	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
41	40	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
42	1, 33, 34, 39, 41	iscau4 25326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
43	31, 37, 42	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_pm cpm 8865  ℂcc 11150   < clt 11292  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  Cauccau 25300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-cau 25303

This theorem is referenced by: (None)