Theorem caures 37767

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Assertion

Ref	Expression
caures	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5		dmres 6030	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
6	5	elin2 4203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
7	4, 6	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍)))
8	7	3anbi1d 1442	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
12		caures.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13	12	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
14		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		elfvdm 6943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom Met)
17		cnex 11236	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
18		ssid 4006	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
19		uzssz 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
20		zsscn 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
22	1, 21	eqsstri 4030	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
23		pmss12g 8909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
24	18, 22, 23	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
25	16, 17, 24	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
26	1	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
27		pmresg 8910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
28	26, 12, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
29	25, 28	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
30	29	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
31	11, 13, 30	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
32		metxmet 24344	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33	14, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34		caures.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
37	1, 33, 34, 35, 36	iscau4 25313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
38		fvres 6925	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
39	38	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40		fvres 6925	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
41	40	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
42	1, 33, 34, 39, 41	iscau4 25313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
43	31, 37, 42	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153   < clt 11295  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  Cauccau 25287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cau 25290

This theorem is referenced by: (None)