Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caures 33978
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
Assertion
Ref Expression
caures (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 11904 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32adantll 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43biantrurd 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5 dmres 5594 . . . . . . . . 9 dom (𝐹𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
65elin2 3963 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹))
74, 6syl6bbr 280 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍)))
873anbi1d 1564 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
98ralbidva 3132 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
109rexbidva 3196 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
1110ralbidv 3133 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
12 caures.5 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1312biantrurd 528 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
14 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 elfvdm 6407 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ dom Met)
17 cnex 10270 . . . . . 6 ℂ ∈ V
18 ssid 3783 . . . . . . 7 𝑋𝑋
19 uzssz 11906 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
20 zsscn 11632 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3770 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
221, 21eqsstri 3795 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
23 pmss12g 8087 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2418, 22, 23mpanl12 693 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2516, 17, 24sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
261fvexi 6389 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
27 pmresg 8088 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
2826, 12, 27sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
2925, 28sseldd 3762 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ))
3029biantrurd 528 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
3111, 13, 303bitr3d 300 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
32 metxmet 22418 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3314, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34 caures.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
35 eqidd 2766 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
36 eqidd 2766 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
371, 33, 34, 35, 36iscau4 23356 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
38 fvres 6394 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3938adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
40 fvres 6394 . . . 4 (𝑗𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
4140adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
421, 33, 34, 39, 41iscau4 23356 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
4331, 37, 423bitr4d 302 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  pm cpm 8061  cc 10187   < clt 10328  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  Cauccau 23330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-cau 23333
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator