Theorem caures 38095

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Assertion

Ref	Expression
caures	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5		dmres 5971	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
6	5	elin2 4144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
7	4, 6	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍)))
8	7	3anbi1d 1443	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
12		caures.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13	12	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
14		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		elfvdm 6868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom Met)
17		cnex 11110	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
18		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
19		uzssz 12800	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
20		zsscn 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
22	1, 21	eqsstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
23		pmss12g 8810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
24	18, 22, 23	mpanl12 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
25	16, 17, 24	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
26	1	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
27		pmresg 8811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
28	26, 12, 27	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
29	25, 28	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
30	29	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
31	11, 13, 30	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
32		metxmet 24309	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33	14, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34		caures.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
37	1, 33, 34, 35, 36	iscau4 25256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
38		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
39	38	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40		fvres 6853	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
41	40	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
42	1, 33, 34, 39, 41	iscau4 25256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
43	31, 37, 42	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_pm cpm 8767  ℂcc 11027   < clt 11170  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ∞Metcxmet 21329  Metcmet 21330  Cauccau 25230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-cau 25233

This theorem is referenced by: (None)