Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caures 37767
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
Assertion
Ref Expression
caures (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 12897 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43biantrurd 532 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5 dmres 6030 . . . . . . . . 9 dom (𝐹𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
65elin2 4203 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹))
74, 6bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍)))
873anbi1d 1442 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
98ralbidva 3176 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
109rexbidva 3177 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
1110ralbidv 3178 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
12 caures.5 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1312biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
14 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 elfvdm 6943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ dom Met)
17 cnex 11236 . . . . . 6 ℂ ∈ V
18 ssid 4006 . . . . . . 7 𝑋𝑋
19 uzssz 12899 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
20 zsscn 12621 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3993 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
221, 21eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
23 pmss12g 8909 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2418, 22, 23mpanl12 702 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2516, 17, 24sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
261fvexi 6920 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
27 pmresg 8910 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
2826, 12, 27sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
2925, 28sseldd 3984 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ))
3029biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
3111, 13, 303bitr3d 309 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
32 metxmet 24344 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3314, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34 caures.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
35 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
36 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
371, 33, 34, 35, 36iscau4 25313 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
38 fvres 6925 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3938adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
40 fvres 6925 . . . 4 (𝑗𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
4140adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
421, 33, 34, 39, 41iscau4 25313 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
4331, 37, 423bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  Cauccau 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cau 25290
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator