Theorem caures 38271

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Assertion

Ref	Expression
caures	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	biantrurd 541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5		dmres 6002	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
6	5	elin2 4158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
7	4, 6	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍)))
8	7	3anbi1d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
12		caures.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13	12	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
14		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		elfvdm 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom Met)
17		cnex 11169	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
18		ssid 3961	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
19		uzssz 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
20		zsscn 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
22	1, 21	eqsstri 3985	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
23		pmss12g 8855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
24	18, 22, 23	mpanl12 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
25	16, 17, 24	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
26	1	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
27		pmresg 8856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
28	26, 12, 27	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
29	25, 28	sseldd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
30	29	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
31	11, 13, 30	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
32		metxmet 24452	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33	14, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34		caures.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
37	1, 33, 34, 35, 36	iscau4 25399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
38		fvres 6890	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
39	38	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40		fvres 6890	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
41	40	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
42	1, 33, 34, 39, 41	iscau4 25399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
43	31, 37, 42	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  ℂcc 11086   < clt 11231  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ∞Metcxmet 21467  Metcmet 21468  Cauccau 25373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-cau 25376

This theorem is referenced by: (None)